Знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод квадратного кореня

Метод квадратного кореня (відноситься до категорії точних чисельних методів) використовується для знаходження розв’язку систем рівнянь, з симетричною матрицею коефіцієнтів при невідомих, тобто для систем виду:

де . Процес відшукання розв’язку за даним методом складається з двох етапів. Перший етап (прямий хід): виходячи з того, що – симетрична матриця, то її можна представити у вигляді добутку двох взаємно транспонованих між собою трикутних матриць: , де

Перемноживши і , отримаємо деяку матрицю, яку прирівнюємо до матриці . В результаті отримаємо формули, для знаходження невідомих :

Виходячи з формули (2), систему (1) можна еквівалентним чином замінити двома системами лінійних рівнянь виду: , або в розгорнутому вигляді:.

Далі переходимо до другого етапу (обернений хід методу квадратного кореня). З першої системи формули (3), послідовно знаходимо невідомі , ведучи розрахунки «зверху вниз» за наступними формулами:

Після цього, з другої системи формули (3), за знайденими значеннями невідомих , ведучи розрахунки «знизу вверх», визначаємо невідомі :

Метод квадратного кореня більш зручний і економічний у порівнянні з методом Гаусса. Він легко програмується. Алгоритм цього методу заснований на формулах (3), (4), (5). Також слід відмітити, що метод квадратного кореня можна також використовувати і для знаходження визначника матриці. Для цього використовують наступну формулу: . Тобто, для обчислення визначника достатньо скористатись розрахунковими формулами прямого ходу методу квадратного кореня.

Обчислення визначника матриці методом квадратного кореня – приклад:

Використовуючи метод квадратного кореня, обчислити  визначник наступної матриці:

Для цього, як зазначалося вище, скориставшись формулами, що описують прямий хід методу квадратного кореня, визначемо елементи  матриць  та . В результаті отримаємо:

Далі, скориставшись формулою , знаходимо значення визначника заданої матриці:

Розв’язок системи рівнянь використовуючи метод квадратного кореня – приклад:

Використовуючи методом квадратного кореня знайти розв’язок системи рівнянь наступного вигляду:

Для цього, слідуючи алгоритму методу квадратного кореня, на першому кроці, необхідно визначити елементи  матриць  та , тобто реалізувати прямий хід методу. Але, виходячи з того, що матриця коефіцієнтів заданої системи збігається з матрицею, для якої, використвуючи розглядуваний метод, ми знаходили визначник і для якої процес обчислення елементів  вже було реалізовано, то скориставшись отриманими у попередньому прикладі обчисленнями, запишемо значення елементів :

Після цього, перейшовши до другого етапу (обернений хід методу квадратного кореня) та скориставшись формулами (4) знайдемо розв’язок системи , тобто визначимо значення невідомих .

І на останньому кроці, для того щоб отримати розв’язок системи рівнянь , а відповідно і розв’язок заданої системи, достатньо підставити отримані на попередніх кроках значення у формули (5). В результаті будемо мати:

Блок-схема алгоритму обчислення визначника матриці використовуючи метод квадратного кореня:

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод квадратного кореня