Площа чотирикутника з різними сторонами

Чотирикутник – це геометрична фігура, що складається з чотирьох точок, три з яких не знаходяться на одній прямій та чотирьох відрізків, що поєднують попарно ці точки. Точки називаються вершинами чотирикутника а відрізки – його сторонами.

У багатьох задачах геометрії пов’язаних з обчисленням площі використовуються формули площі чотирикутника.

Перерахувати ці формули було б надто просто і користі жодної. Ми ж розберемо походження та доведення істенності основних формул, що використовуються найчастіше.

Отже, один з найпростіших способів визначення площі чотирикутника, полягає в його розбитті, наприклад, діагоналлю  на два трикутника. В такому випадку матимемо:

Слід, однак, мати на увазі, що цей спосіб не завжди зручний, оскільки чотирикутник може бути заданий по різному. Все ж навіть ця проста ідея інколи дає змогу розв’язувати задачі на площу.

Площа чотирикутника за діагоналями та кутом між ними.

Площа чотирикутника, також може бути знайдена, якщо розбити його на чотири трикутника за допомогою двох діагоналей. Зазначимо, що такий підхід, дає можливість отримати дуже просту формулу площі чотирикутника:

Доведемо істенність даної формули. Для цього, розглянемо деякий чотирикутник  та за допомогою діагоналей та  розіб’ємо його на чотири трикутники , ,  і  відповідно.

Зауважимо, що площа кожного з цих трикутників дорівнює половині добутку сторін на синус кута між ними:

Площа чотирикутника дорівнює сумі площ трикутників, на які він розбивається діагоналями:

Оскільки , то остання формула перепишеться в наступному вигляді:

Що і треба було довести.

Застосування теореми Варіньона для виведення формули площі чотирикутника.

Іншу просту формулу, за допомогою якої може бути знайдена площа чотирикутника, можна вивести з використанням паралелограма Варіньона. Нагадаємо, що вершини цього паралелограма збігаються із серединами сторін даного чотирикутника .

Отже, для початку, покажемо, що площа паралелограма Варіньона  дорівнює половині площі чотирикутника . Справді,

Додавши ці рівності, отримаємо:

Звідси, площа паралелограма  дорівнює половині площі чотирикутника , що і треба було довести.

Формула площі чотирикутника через його середні лінії.

Зазначимо, що розглянутою вище формулою, легко довести наступне твердження: площа чотирикутника дорівнює добутку його двох перших середніх ліній на синус кута між ними. Доведемо дане твердження також.

Отже, середні лінії  та  є діагоналями паралелограма Варіньона, а тому:

Звідси, площа чотирикутника дорівнює .

Розв’язування прикладів з застосуванням формул площі чотирикутника.

Приклад 1: площа чотирикутника  дорівнює , а довжини його діагоналей  і  –  та  відповідно. Знайдіть кут між діагоналями.

Як зазначалося вище, площа чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними, тобто:

Звідси,  і, виходячи з того, що  (кут між прямими), приходимо до висновку, що .

Приклад 2: відрізки, що з’єднують середини протилежних сторін опуклого чотирикутника , рівні між собою. Чому дорівнює площа чотирикутника, якщо його діагоналі дорівнюють  і .

Нехай , ,  і  – середини сторін відповідно , ,  та  заданого опуклого чотирикутника .

Оскільки  та  – середні лінії трикутників  та , то  і . Отже, чотирикутник – паралелограм, а виходячи з того, що його діагоналі та рівні, то – прямокутник.

Сторони прямокутника паралельні діагоналям і чотирикутника , тому діагоналі заданого чотирикутника взаємно перпендикулярні. Отже,

Приклад 3: відрізки, що з’єднують середини протилежних сторін опуклого чотирикутника , перпендикулярні, , . Скільики квадратних сантиметрів дорівнює площа чотирикутника.

Нехай , ,  і  – середини сторін , ,  та  відповідно.

Оскільки  – середня лінія трикутника , то  і . Аналогічно  і .

Отже, чотирикутник – паралелограм, а оскільки його діагоналі і перпендикулярні, це – ромб. Діагоналі чотирикутника удвічі більші за сторони ромба, отже, . Гострий кут між діагоналями дорівнює  (за теоремою про зовнішній кут трикутника). Отже,

Блок-схема алгоритму обчислення площі чотирикутника за діагоналями та кутом між ними

Ми в соціальних мережах

• 
• 
• 
•