Площа чотирикутника з різними сторонами

Чотирикутник – це геометрична фігура, що складається з чотирьох точок, три з яких не знаходяться на одній прямій та чотирьох відрізків, що поєднують попарно ці точки. Точки називаються вершинами чотирикутника а відрізки – його сторонами.

Площа чотирикутника

У багатьох задачах геометрії пов’язаних з обчисленням площі використовуються формули площі чотирикутника.

Перерахувати ці формули було б надто просто і користі жодної. Ми ж розберемо походження та доведення істенності основних формул, що використовуються найчастіше.

Отже, один з найпростіших способів визначення площі чотирикутника, полягає в його розбитті, наприклад, діагоналлю AC на два трикутника. В такому випадку матимемо:

Площа чотирикутника формула

Слід, однак, мати на увазі, що цей спосіб не завжди зручний, оскільки чотирикутник може бути заданий по різному. Все ж навіть ця проста ідея інколи дає змогу розв’язувати задачі на площу.

Площа чотирикутника, також може бути знайдена, якщо розбити його на чотири трикутника за допомогою двох діагоналей. Зазначимо, що такий підхід, дає можливість отримати дуже просту формулу площі чотирикутника:

Площа чотирикутника формула

Доведемо істенність даної формули. Для цього, розглянемо деякий чотирикутник ABCD та за допомогою діагоналей AC та BD розіб’ємо його на чотири трикутники ABO, BCO, CDO і ADO відповідно.

Площа чотирикутника

Зауважимо, що площа кожного з цих трикутників дорівнює половині добутку сторін на синус кута між ними:

Площа чотирикутника доведення

Площа чотирикутника ABCD дорівнює сумі площ трикутників, на які він розбивається діагоналями:

Площа чотирикутника доведення

Оскільки sin(β) = sin(α), то остання формула перепишеться в наступному вигляді:

Площа чотирикутника доведення
Що і треба було довести.

Іншу просту формулу, за допомогою якої може бути знайдена площа чотирикутника, можна вивести з використанням паралелограма Варіньона. Нагадаємо, що вершини цього паралелограма збігаються із серединами сторін даного чотирикутника ABCD.

Площа чотирикутника

Отже, для початку, покажемо, що площа паралелограма Варіньона EFGH дорівнює половині площі чотирикутника ABCD. Справді,

Площа чотирикутника доведення

Додавши ці рівності, отримаємо:

Площа чотирикутника доведення

Звідси, площа паралелограма EFGH дорівнює половині площі чотирикутника ABCD, що і треба було довести.

Зазначимо, що розглянутою вище формулою, легко довести наступне твердження: площа чотирикутника дорівнює добутку його двох перших середніх ліній на синус кута між ними. Доведемо дане твердження також.

Площа чотирикутника

Отже, середні лінії EG та FH є діагоналями паралелограма Варіньона, а тому:

Площа чотирикутника доведення

Звідси, площа чотирикутника дорівнює Площа чотирикутника формула.

Приклад 1: площа чотирикутника ABCD дорівнює 3 см^2, а довжини його діагоналей AC і BD – 6 см та 2 см відповідно. Знайдіть кут між діагоналями.

Як зазначалося вище, площа чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними, тобто:

Площа чотирикутника формула

Звідси, sin(α) = 1 / 2 і, виходячи з того, що α < 90° (кут між прямими), приходимо до висновку, що α = 30°.

Приклад 2: відрізки, що з’єднують середини протилежних сторін опуклого чотирикутника ABCD, рівні між собою. Чому дорівнює площа чотирикутника, якщо його діагоналі дорівнюють 8 см і 12 см.

Площа чотирикутника ABCD

Нехай E, F, G і H – середини сторін відповідно AB, BC, CD та AD заданого опуклого чотирикутника ABCD.

Оскільки EF та GH – середні лінії трикутників ABC та ACD, то EF || GH і EF = GH. Отже, чотирикутник EFGH – паралелограм, а виходячи з того, що його діагоналі EG та FH рівні, то EFGH – прямокутник.

Сторони прямокутника EFGH паралельні діагоналям AC і BD чотирикутника ABCD, тому діагоналі заданого чотирикутника взаємно перпендикулярні. Отже,

Площа чотирикутника дорівнює 48 см^2

Приклад 3: відрізки, що з’єднують середини протилежних сторін опуклого чотирикутника ABCD, перпендикулярні, AC = 4 см, CAB + DBA = 75°. Скільики квадратних сантиметрів дорівнює площа чотирикутника.

Площа чотирикутника ABCD

Нехай E, F, G і H – середини сторін AB, BC, CD та AD відповідно.

Оскільки EH – середня лінія трикутника ABD, то EH || BD і EH = BD / 2. Аналогічно FG || BD і FG = BD / 2.

Отже, чотирикутник EFGH – паралелограм, а оскільки його діагоналі EG і FH перпендикулярні, це – ромб. Діагоналі чотирикутника ABCD удвічі більші за сторони ромба, отже, BD = AC = 4 см. Гострий кут між діагоналями дорівнює 75° (за теоремою про зовнішній кут трикутника). Отже,

Площа чотирикутника дорівнює 7.72741 см^2

Блок-схема алгоритму обчислення площі чотирикутника за діагоналями та кутом між ними

Площа чотирикутника блок-схема

Ми в соціальних мережах

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*