Розв’язання ірраціональних рівнянь

Ірраціональним називається рівняння, що містить невідоме під знаком кореня. Прикладами ірраціональних рівнянь є: .

Загальний метод розв’язання ірраціональних рівнянь полягає в наступному: спочатку ізолюють один радикал, потім обидві частини підносять до степеня, потім знову ізолюють радикал і так далі. При піднесенні обох частин рівняння до одного і того ж степеня отримуємо рівняння, яке в загальному випадку не є рівносильним до даного, тому обов’язково потрібно перевірити, чи знайдені значення невідомої змінної задовольняють початкове рівняння. Другий спосіб розв’язку – спосіб заміни змінної. Розв’язуючи ірраціональне рівняння, необхідно, також, перевірити область допустимих значень.

Отже, при розв’язуванні ірраціональних рівнянь:

1. знаходять область допустимих значень рівняння;
2. розв’язують рівняння одним з методів;
3. виконують перевірку отриманих коренів.

Ірраціональні рівняння – приклади розв’язання:

Приклад 1: розв’язати ірраціональне рівняння наступного вигляду: .

Отже, піднесемо обидві частини рівняння до квадрату. В результаті отримаємо:

Підставляючи далі  в задане рівняння, переконуємося, що число 2 є його коренем: .

Приклад 2: розв’язати рівняння .

Відокремимо радикал (запишемо його в лівій частині), а решта перенесому в праву частину:

Піднесемо далі обидві частини останнього рівняння до квадрату, зведемо до стандартного вигляду і розв’яжемо його. В результаті будемо мати:

По черзі підставляючи і в задане ірраціональне рівняння, переконуємося, що  є його коренем (), а  – не є (виходить невірна числова рівність ).

Зауваження: позначивши новою буквою наявний корінь рішення даного рівняння можна отримати і в дещо інший спосіб. Покажемо яким чином це реалізується. Отже, позначимо . Тоді, і , причому . Зазначимо, що в даному випадку, дане рівняння перепишеться в наступному вигляді:

Умові  задовольняє лише число . Тому, – корінь даного ірраціонального рівняння.

Приклад 3: знайти розв’язок наступного ірраціонального рівняння: .

Отже, діючи, як і в попередніх прикладах, будемо мати:

Перевіримо, чи є числа 5 та 17 коренями заданого рівняння. При будемо мати: . При отримаємо: . Отже, дане ірраціональне рівняння має два корені:  і .

Приклад 4: розв’язати ірраціональне рівняння .

Піднесумо обидві частини рівняння до квадрату:

Зазначимо, що в результаті виконання даного кроку, ми отримали рівняння, що також містить невідоме під знаком кореня. Отже, відокремимо радикал, зведемо подібні доданки і знову-таки піднесемо обидві його чатини до квадрату:

Далі, зведемо останнє рівняння до стандартного вигляду і розв’яжемо його. В результаті матимемо:

Перевіримо знайдені корені за вихідним рівнянням. Отже, при будемо мати: – не має змісту, тому  – сторонній корінь (його відкидаємо). При , отримаємо: .

Отже,  – корінь даного ірраціонального рівняння.