Нерівністю з однією змінною називається нерівність, що містить одну незалежну змінну. Розв’язком нерівності називається будь-яке значення змінної, при якому початкова нерівність зі змінною обертається у правильну числову нерівність. Розв’язати нерівність зі змінною – значить знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Дві нерівності називаються рівносильними (еквівалентними), якщо розв’язки цих нерівностей збігаються. Зокрема, нерівності рівносильні, якщо вони не мають розв’язків.

Основні теореми про рівносильні нерівності:

  1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.
  2. Якщо до обох частин нерівності додати або відняти будь-яке число, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.
  3. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на додатнє число, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.
  4. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на від’ємне число, то рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту.

Лінійною нерівністю з однією змінною називається нерівність виду , або ті, які зводяться до них. Розглянемо далі особливості розв’язування лінійних нерівностей. Зазначимо, що особливу увагу, в даному випадку, необхідно звернути на залежність розв’язків нерівності від значень коефіцієнтів і :

  1. якщо , то нерівність ;
  2. якщо , то нерівність ;
  3. якщо , то нерівність набуває вигляду і вона правильна для будь-якого ;
  4. якщо , то нерівність розв’язків немає.

Лінійні нерівності – приклади розв’язування:

Приклад 1: розв’язати нерівність .

Поділимо обидві частини заданої нерівності на 3:

Звідси, розв’язком нерівності є інтервал .

Приклад 2: розв’язати нерівність .

Поділимо обидві частини нерівності на –7, змінивши, при цьому, знак нерівності на протилежний:

Приклад 3: розв’язати нерівність .

Перенесемо доданки, які містять змінну, в ліву частину нерівності, а доданки, які не містять змінної – у праву та зведемо подібні доданки:

На наступному кроці, поділимо обидві частини нерівності на число -4. Зазначимо, що в даному випадку ми змінимо зміст нерівності на протилежний:

Звідси, множиною рішень заданої нерівності є нескінченний інтервал .

Приклад 4: розв’язати нерівність .

Отже, на першому кроці, розкриємо дужки в лівій та правій частинах нерівності. Далі, перенесемо доданки, які містять змінну, в ліву частину нерівності, а доданки, які не містять змінної – у праву та зведемо подібні доданки. В результаті будемо мати:

На наступному кроці, поділимо обидві частини нерівності на –3, змінивши знак нерівності на протилежний:

Звідси, множина розв’язків лінійної нерівності є проміжок .

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку лінійних нерівностей

Розв'язання лінійних нерівностей блок-схема

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*