Розв’язування рівнянь теплопровідності методом скінченних різниць

Розглянемо одномірне рівняння теплопровідності (відноситься до диференціальних рівнянь параболічного типу), яке має наступний вигляд де:

з початковими умовами:

і граничними умовами:

Рівняння теплопровідності – це модель температури в ізольованому бруску, який має на кінцях постійну температуру і та початкову температуру по цілому бруску . Для даної задачі потрібно знайти чисельний розв’язок з допомогою методу скінченних різниць.

Припустимо, що прямокутник розділений на прямокутників зі сторонами рівними і . Почнемо з нижнього ряду, де і розв’язок рівний . Запишемо метод розрахунку наближень до в точках сітки в наступному вигляді: .

Різницеві формули, які використовуємо для і мають вигляд:

Решітка рівномірно розміщена в кожному ряді і в кожному стовбці . Дальше використаємо наближення для в різницевих формулах, які по черзі підставимо в рівняння теплопровідності, в результаті отримаємо:

Для зручності, в дане рівняння підставимо . Отримаємо:

Останнє рівняння служить для знаходження (j+1)-го ряду в сітці при тому, що наближення в j-муряді відомо. Простота цієї формули робить її привабливою для застосування. Крім того, важливо використовувати стабільну обчислювальну техніку. Якщо будь-яка помилка, отримана на одному етапі обчислення, в кінці кінців зменшується, то метод називають стійким. Дане рівняння стійке тоді і тільки тоді коли r знаходиться на інтервалі . Це означає, що довжина кроку k повинна задовільняти нерівність . Якщо ця умова не виконується, то помилки, які фіксуються в одному рядку , можуть збільшуватися в наступних рядках для деякого p>j.

Блок-схема програмної реалізації методу скінченних різниць: