By | 09/11/2013

Нехай в результеті деякого експеременту (наукового чи інженерного) отримано систему точок Апроксимація функції методо найменших квадратів. Необхідно знайти наближену функцію (емпіричну формулу) Апроксимація функції методом найменших квадратів, значення якої при Апроксимація функції методом найменших квадратів мало відрізняються від заданих експерементальних даних Апроксимація функції методом найменших квадратів. Для знаходження такої функції скористаємось методом найменших квадратів.

Будемо вважати, що емпірична формула являє собою многочлен степені m (де m<n):

Апроксимація функції методом найменших квадратів

деАпроксимація функції методом найменших квадратів – невідомі параметри. Задача полягає в тому, щоб визначити такі значення цих параметрів, при яких емпірична формула дає достатньо добре наближення до таблично заданої функції. Для того, слідуючи методу найменших квадратів, запишемо суму квадратів відхилень для всіх точок Апроксимація функції методом найменших квадратів.

Апроксимація функції методом найменших квадратів

Для визначення параметрів Апроксимація функції методом найменших квадратівполіномаАпроксимація функції методо найменших квадратів, потрібно знайти мінімум функції S. Знайти його можна записавши частинні похідні для даної функції по незалежних змінних Апроксимація функції методом найменших квадратів і прирівнявши їх до нуля. В результаті отримаємо наступну систему рівнянь:

Апроксимація функції методом найменших квадратів

Збираючи коефіцієнти при невідомих Апроксимація функції методом найменших квадратів система рівнянь набуде наступного вигляду:

Апроксимація функції методом найменших квадратів

В результаті ми отримали систему, яка представляє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів полінома Апроксимація функції методом найменших квадратів, які необхідно знайти, для того, щоб визначити аналітичну залежність, яка описує експерементальний масив даних.

Блок-схема алгоритму апроксимації функції методом найменших квадратів:

Апроксимація функції методом найменших квадратів

4 Replies to “Рівномірне наближення функцій методом найменших квадратів”

  1. Nik

    Объясните, что за параметры m и n ?
    Для тех людей, у кого плохо с высшей математикой

  2. admin Автор

    Шановний Nik, тут все доволі просто: n – це кількість точок в яких значення функції відомі (отримані в результеті наукового чи інженерного експеременту) і m – степінь многочлена за допомогою якого здійснюється апроксимація функції.

  3. Nik

    На сколько я понял, если я имею, к примеру, два вектора длинной в 10 элементов (Реализую алгоритм в программе, длина вектора = количество элементов в массиве, думаю поняли 🙂 ), то n это количество элементов в векторе, в этом случае n = 10, а m это самый высший степень в векторе, верно?
    Спасибо большое за ответ <3

  4. admin Автор

    Не зовсім так Nik. Давайте почнемо з наступного означення: апроксимація (наближення) – це заміна заданої функції наближеною (апроксимуючою) функцією так, щоб відхилення в заданому діапазоні зміни х було мінімальним.

    Зазначимо, що вибір апроксимуючої функцій – це окрема задача, яка часто може бути вирішена методом проб і послідовних наближень. У цьому випадку вихідні дані, представляють в графічній формі (у вигляді сімейства точок або кривих) і зіставляють їх з сімейством графіків ряду типових функцій, які використовуються, зазвичай, для цілей апроксимації. Однак, у багатьох випадках, в якості наближеної функції вибирають степеневий поліном Pm(x).

    Так ось, параметр m – це степінь (порядок) даного полінома (значення m не повинно перевищувати n).

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*