Нехай в результеті деякого експеременту (наукового чи інженерного) отримано систему точок 
. Необхідно знайти наближену функцію (емпіричну формулу) 
, значення якої при 
мало відрізняються від заданих експерементальних даних 
. Для знаходження такої функції скористаємось методом найменших квадратів.
Будемо вважати, що емпірична формула являє собою многочлен степені m (де m<n):
де
– невідомі параметри. Задача полягає в тому, щоб визначити такі значення цих параметрів, при яких емпірична формула дає достатньо добре наближення до таблично заданої функції. Для того, слідуючи методу найменших квадратів, запишемо суму квадратів відхилень для всіх точок 
.
Для визначення параметрів полінома
, потрібно знайти мінімум функції S. Знайти його можна записавши частинні похідні для даної функції по незалежних змінних і прирівнявши їх до нуля. В результаті отримаємо наступну систему рівнянь:
Збираючи коефіцієнти при невідомих система рівнянь набуде наступного вигляду:
В результаті ми отримали систему, яка представляє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів полінома , які необхідно знайти, для того, щоб визначити аналітичну залежність, яка описує експерементальний масив даних.
Блок-схема алгоритму апроксимації функції методом найменших квадратів:
Объясните, что за параметры m и n ?
Для тех людей, у кого плохо с высшей математикой
Шановний Nik, тут все доволі просто: n – це кількість точок в яких значення функції відомі (отримані в результеті наукового чи інженерного експеременту) і m – степінь многочлена за допомогою якого здійснюється апроксимація функції.
На сколько я понял, если я имею, к примеру, два вектора длинной в 10 элементов (Реализую алгоритм в программе, длина вектора = количество элементов в массиве, думаю поняли 🙂 ), то n это количество элементов в векторе, в этом случае n = 10, а m это самый высший степень в векторе, верно?
Спасибо большое за ответ <3
Не зовсім так Nik. Давайте почнемо з наступного означення: апроксимація (наближення) – це заміна заданої функції наближеною (апроксимуючою) функцією так, щоб відхилення в заданому діапазоні зміни х було мінімальним.
Зазначимо, що вибір апроксимуючої функцій – це окрема задача, яка часто може бути вирішена методом проб і послідовних наближень. У цьому випадку вихідні дані, представляють в графічній формі (у вигляді сімейства точок або кривих) і зіставляють їх з сімейством графіків ряду типових функцій, які використовуються, зазвичай, для цілей апроксимації. Однак, у багатьох випадках, в якості наближеної функції вибирають степеневий поліном Pm(x).
Так ось, параметр m – це степінь (порядок) даного полінома (значення m не повинно перевищувати n).