Площа та периметр прямокутника

Прямокутник – плоска геометрична фігура у вигляді чотирикутника, протилежні сторони якого не тільки паралельні, але і рівні, а всі чотири кута прямі.

Для того, щоб знайти периметр прямокутника необхідно обчислити суму довжин кожної з його сторін. Тобто, для прямокутника ABCD зображеного на рисунку нижче, будемо мати: Периметр прямокутника формула, де Периметр прямокутника – периметр прямокутника.

Периметр прямокутника, формула периметра прямокутника

Проте, виходячи з того, що прямокутник має по дві пари рівних сторін, то при знаходженні периметра достатньо суму довжин двох його суміжних сторін (довжина плюс ширина) помножити на два. Тобто, знову-таки, повертаючись до прямокутника ABCD, матимемо: Периметр прямокутника формула.

Зауваження: якщо позначити довжину та ширину прямокутника буквами a та b відповідно, то формула периметра перепишеться у більш звичній буквенній формі: Периметр прямокутника формула.

Площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін (довжини на ширину) і визначається за формулою: Формула площі прямокутника, де Площа прямокутника – площа прямокутника.

Для доведення даного твердження добудуємо прямокутник ABCD до квадрата зі стороною AB + AD.

Площа прямокутника, площа прямокутника формула

Як нам відомо, площа отриманого квадрата дорівнює (AB + AD)^2.

З іншого боку, цей квадрат складений з прямокутника ABCD з площею S, рівного йому прямокутника, також з площею S (так як, по властивості площ, рівні багатокутники мають рівні площі) і двох квадратів з площами AB^2 та AD^2 відповідно.

Але, виходячи з того, що площа многокутника складеного з кількох многокутників дорівнює сумі площ цих многокутників, отримаємо:

Площа прямокутника, формула площі прямокутника

Таким чином твердження доведено, тобто площа прямокутника дорівнює добутку суміжних сторін.

Зауваження: якщо позначити довжини суміжних сторін прямокутника буквами a та b відповідно, то формула площі перепишеться у більш звичній буквенній формі: Формула площі прямокутника.

Також доволі часто трапляються ситуації, коли доводиться шукати площу прямокутника, значення довжини чи ширини якого являються невідомими.

Що робити тоді? В такому випадку доцільно скористатися загальною для всіх чотирьокутників формулою і знайти площу прямокутника через діагоналі.

Площа прямокутника, площа прямокутника формула

Площа будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює добутку діагоналей на синус кута між ними. Діагоналі прямокутника рівні між собою, тому значення кута та однієї діагоналі вистачить для знаходження площі:

Формула площі прямокутника

Зауваження: якщо довжини діагоналей прямокутника позначити  буквю d, то формула  площі через діагоналі перепишеться у більш звичній буквенній формі:

Формула площі прямокутника

Приклад 1: бісектриса одного з кутів прямокутника ABCD ділить його сторону навпіл. Знайти периметр прямокутника, якщо його менша сторона дорівнює 5 см.

Периметр прямокутника, формула периметра прямокутника

Отже, врахувавши те, що за умовою, AE = ED = AB = 5 см., отримаємо: AD = 2 * AB = 2 * 5 = 10 см.

Скориставшись далі формулою обчислення периметра прямокутника, знайдемо розв’язок задачі: Периметр прямокутника дорівнює 30 см.

Приклад 2: периметр прямокутника ABCD дорівнює 192 см. Знайдіть його площу, якщо одна сторона прямокутника в одинадцять разів менша від іншої.

Площа прямокутника, площа прямокутника формула

Отже, припустимо, що AB = x. Тоді, за умовою задачі, AD = 11 * x. Далі, за формулою периметра прямокутника будемо мати:

x = 8;

Звідси, AB = 8 см. і AD = 88 см.

Після того, як значення довжин сторін відомі, переходимо до обчислення площі прямокутника ABCD: Площа прямокутника дорівнює 704 см^2.

Зауваження: при розв’язуванні задач потрібно пам’ятати, що площа вимірюється в одиницях квадратних, тому якщо розміри задані в міліметрах, то площа буде в міліметрах квадратних, сантиметрах – площа в сантиметрах квадратних, метрах – площа в метрах квадратних і так далі.

Приклад 3: знайти площу прямокутника ABCD якщо відомо, що діагональ AC = 10 см. і сторона AD = 8 см.

Площа прямокутника, площа прямокутника формула

Отже, розглянемо прямокутний трикутник ACD, з якого, за теоремою Піфагора, знаходимо невідому сторону заданого прямокутника:

CD = 6 см.

Тоді, шукана площа дорівнює: Площа прямокутника дорівнює 48 см^2.

Приклад 4: діагоналі прямокутника перетинаються під кутом 30 градусів і дорівнюють 10 см. Чому дорівнює площа прямокутника?

Підставляючи дані у формулу площі прямокутника через діагоналі отримаємо:

Площа прямокутника дорівнює 25 см^2

Блок-схема алгоритму знаходження периметра прямокутника

Периметр прямокутника блок-схема

Блок-схема алгоритму знаходження площі прямокутника

Площа прямокутника блок-схема

Ми в соціальних мережах

Один коментар

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*