Формули для обчислення периметра та площі паралелограма

Паралелограм – це геометрична фігура, яка є різновидом чотирикутника. У нього протилежні сторони лежать на паралельних лініях, а відповідно є паралельними по відношенню один до одного.

Як знайти периметр паралелограма, якщо відомі сторони?

Периметр паралелограма, як і будь-якого багатокутника, дорівнює сумі довжин кожної з його сторін. Наприклад, периметр зображеного нижче паралелограма  дорівнює сумі довжин сторін  і .

Проте, скориставшись однійє з властивостей паралелограма, а саме властивістю яка свідчить про те, що протилежні його сторони рівні, приходимо до висновку, що для того, щоб знайти периметр паралелограма, достатньо суму довжин його суміжних сторін помножити на два, тобто , де  – периметр паралелограма .

Зауваження: якщо позначити довжини суміжних сторін паралелограма буквами  та  відповідно, то знайти периметр паралелограма, можна скориставшись наступною формулою: .

Формула площі паралелограма за висотою.

Площа паралелограма дорівнює добутку будь-якої його сторони на висоту, яка проведена до цієї сторони.

На рисунку, що міститься вище, зображено паралелограм , висота  якого проведена до сторін  та . Покажемо, що , де  – площа паралелограма .

Для цього, проведемо ще одну висоту . В результаті отримаємо чотирикутник , який, виходячи з того що всі його кути прямі, являється прямокутником. Покажемо, що даний прямокутник є рівновеликим паралелограму .

Отже, як видно з рисунка, площа паралелограма дорівнює сумі площ трикутника  і трапеції . Площа прямокутника  дорівнює сумі площ зазначеної трапеції та трикутника .

Проте, трикутники  та  рівні за гіпотенузою та гострим кутом (відрізки  і  рівні як протилежні сторони паралелограма, кути  і  рівні як різносторонні при паралельних прямих  і  та січній ).

Звідси, паралелограм  та прямокутник  рівновеликі. Отже, скориставшись означенням площі прямокутника (дорівнює добутку довжин сторін  та ) отримаємо формулу для обчислення площі паралелограма: .

Зауваження: якщо позначити довжини сторони паралелограма та проведеної до неї висоти буквами  та  відповідно, то знайти площу паралелограма, можна скориставшись наступною формулою: .

Площа паралелограма через діагоналі

Розглянемо також загальний для всіх чотирикутників випадок, коли відомими є величини двох діагоналей і градусна міри кута, який вони між собою утворюють.

Зазначимо, що цими даними можна скористатися і для знаходження площі паралелограма. У цьому випадку формула матиме такий вигляд (оскільки , то в якості кута між діагоналями можна брати будь-який кут – як гострий, так і тупий):

Зауваження: позначивши довжини діагоналей паралелограма буквами  та  відповідно, формулу площі паралелограма перепишемо в більш звичній буквенній формі:

Периметр і площа паралелограма. Приклади з рішеннями.

Приклад 1: бісектриса кута  паралелограма  перетинає сторону  в точці . Знайти периметр паралелограма, якщо відомо, що  і .

Виходячи з того, що кути  і  рівні як різносторонні при паралельних прямих  і  та січній  ( – бісектриса кута ), приходимо до висновку, що .

Звідси,  рівнобедрений, а отже . Далі, скориставшись формулою обчислення периметра паралелограма, отримаємо:

Приклад 2: площа паралелограма дорівнює , а довжини його висот  і . Знайти периметр паралелограма.

Виходячи з того, що площа паралелограма дорівнює добутку будь-якої його сторони на висоту, матимемо:

Отже, периметр паралелограма дорівнює:

Приклад 3: діагоналі паралелограма дорівнюють  та . Градусна міра кут , який вони між собою утворюють дорівнює 30 градусів. Знайти площу паралелограма.

Відповідно до формули через діагоналі, для шуканої площі матимемо:

Приклад 4: знайти площу паралелограма, якщо відомо, що його сторони дорівнюють  та  відповідно і .

Для цього, на першому кроці, з точки  опустимо перпендикуляр на сторону , який перетне її в деякій точці  ( – висота паралелограма).

Після цього, з прямокутного трикутника  знаходимо довжину даного перпендикуляра (катет, що лежить навпроти кута 30 градусів, дорівнює половині гіпотенузи): .

Далі, скориставшись формулою обчислення площі паралелограма, отримаємо: .

Запитання для самоконтролю.

1. Яку фігуру називають паралелограмом?
2. Чому дорівнює периметр паралелограма? Якою літерою позначається?
3. Якою літерою позначається площа паралелограма і як її виміряти?
4. Як знайти площу паралелограма за його діагоналями та кутом між ними. Який кут необхідно використовувати?
5. Довжини сторін паралелограма задані в сантиметрах. Якою буде одиниця виміру для його площі?

Блок-схема алгоритму знаходження периметра паралелограма

Блок-схема алгоритму знаходження площі паралелограма