Навігація по сторінці.
Що являє собою прямокутник. Визначення прямокутника.
Прямокутник – це чотирикутник, а якщо бути більш точним, то паралелограм, у якого всі кути прямі.
До прикладу, на рисунку що міститься нижче зображено паралелограм , який, виходячи з того, що
, являється прямокутником.
Властивості прямокутника.
Властивості прямокутника збігається з всіма властивостями паралелограма:
- протилежні сторони прямокутника паралельні;
- протилежні сторони прямокутника рівні;
- діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл.
Крім того, діагоналі прямокутника рівні.
Для доведення останньої властивості скористаємось тим фактом, що та
рівні за першою ознакою рівності трикутників (
– спільна,
як протилежні сторони прямокутника,
). А в рівних трикутниках проти рівних кутів (у нашому випадку прямих кутів) лежать рівні сторони.
Отже, діагональ прямокутника рівна діагоналі
, як гіпотенузи рівних прямокутних трикутників, що і треба було довести.
Таким чином, якщо в паралелограмі рівні всі кути або один прямий, або однакові діагоналі то це прямокутник.
Приклади розв’язування задач на тему означення та властивості прямокутника.
Приклад 1: сторона і діагональ прямокутника
дорівнюють
і
відповідно. Знайти другу сторону.
Отже, за теоремою Піфагора маємо:
Приклад 2: діагональ прямокутника дорівнює . Одна сторона менша за іншу на два сантиметра. Знайти сторони прямокутника.
Отже, нехай . Тоді, за умовою,
.
Далі, виходячи з того, що у прямокутнику довжину діагоналі обчислюють через довжини сторін за теоремою Піфагора матимемо:
Підносимо останній вираз до квадрату і розв’язуємо квадратне рівняння:
Виходячи з того, що друге з отриманих значень не має змісту, то сторони та
заданого прямокутника дорівнюють
і
відповідно.
Приклад 3: діагональ прямокутника ділить кут у відношенні
, менша сторона дорівнює
. Знайти діагоналі прямокутника.
Нехай , де
. Тоді,
.
Оскільки , маємо:
. Отже,
і
.
, як внутрішні різносторонні при паралельних прямих
та
і січній
.
Таким чином, у трикутнику (кут
прямий) катет
, що лежить проти кута в 30 градусів, дорівнює половині гіпотенузи, тобто
.
Отже, і, виходячи з того, що діагоналі прямокутника рівні, отримаємо, що
.