Алгоритм методу Хаусхолдера (також відомий як метод відображень) при знаходженні розв’язку системи лінійних рівнянь складається з
-го кроку (де
– розмірність матриці), після виконання яких матриця
системи (1) приводиться до верхньої трикутної формі. Наступним етам алгоритму є відшукання значень вектора невідомих, які отримують аналогічно, як і у методі Гаусса, тобто спочатку знаходяться значення останньої компоненти вектора невідомих, потім передостанньої і так далі.
Розглянемо даний алгоритм більш детально. Нехай в результаті виконання -го кроку матриця коефіцієнтів
і вектор вільних членів
системи (1) набули наступного вигляду:
Опишемо послідовність дій -го крок алгоритму методу відображень. Метою даного кроку є обнулення всіх піддіагональних елементів
-го стовпця матриці
. Для цього визначимо вектор нормалі
, де
Після цього, запишемо матрицю відображень з елементами
, де
– символ Кронеккера.
Далі, елементи матриці та стовпця вільних членів
обчислюються за наступними формулами:
. Тобто в результаті виконання
-го кроку, матриця коефіцієнтів та стовпець вільних членів системи (1), приймуть наступного вигляду:
де піддіагональні елементи -го стовпця матриці
дорівнюють нулю, а перших
-н рядків і стовпців збігаються, з відповідними рядками та стовпцями матриці
. В результаті виконання
-го кроку, матриця
набуде вигляду верхньої трикутної матриці:
Наступним етапом методу Хаусхолдера є визначення значень вектора невідомих, які, як уже було сказано вище, обчислюються аналогічно методу Гаусса за наступнимим формулами:
Розв’язок системи рівнянь використовуючи метод відображень – приклад:
Використовуючи метод Хаусхолдера, розв’язати сестему рівнянь наступного вигляду:
Отже, для початку, покладемо ,
і знайдемо ортогональну матрицю Хаусхолдера
, таку що в матриці
всі піддіагональні елементи першого стовпця дорівнювали б нулю. З цією метою компоненти вектора нормалі
визначимо, використовуючи елементи першого стовпця матриці
:
В результаті отримаємо вектор . Далі, обчислюємо елементи відповідної цьому вектору матриці Хаусхолдера
:
Далі, обчислюємо елементи матриці та стовпця вільних членів
:
Таким чином, після виконання першого кроку, ми отримали матрицю в якій всі елементи першого стовпця, що містяться нижче головної діагоналі рівні нулю. На другому кроці, проробимо аналогічну процедуру, і таким чином обнулимо піддіагональні елементи другого стовпця.
На останньому кроці виконуємо обнулення всіх піддіагональних елементів третього стовпця:
Таким чином, вихідна матриця коефіцієнтів приведена до верхнього трикутного вигляду, і на цьому перший етап методу відображень можна вважаи завершиним. Далі, переходимо до другого етапу, та скорисавшись формулами (8) знайдемо розв’язок заданої сисеми рівнянь: