Середньою лінією трикутника називається відрізок, що з’єднує середини двох сторін трикутника. Кожен трикутник має три середні лінії. Самі середні лінії трикутника утворюють новий трикутник, вершини якого містяться в серединах сторін даного трикутника.
Трикутник і його середні лінії
Кожна з середніх ліній трикутника, наприклад, лінія що з’єднує середини сторін і
, має такі властивості:
- паралельна третій його стороні;
- дорівнює половині третьої сторони.
Для доведення даних властивостей розглянемо трикутник .
Середня лінія трикутника паралельна третій його стороні
Опустимо висоту на сторону
даного трикутника. Зазначимо, що в даному випадку, вона розіб’є трикутник на два прямокутних трикутника
і
. По властивості медіани прямокутного трикутника, проведеної з вершини
прямого кута, знайдемо
і також
. Тепер точки
і
, як рівновіддалені від точок
і
, лежать на перпендикулярі, проведеному до висоти в її середині, а тому відрізок, що з’єднує їх, паралельний сторні
трикутника
. Тим самим першу властивість доведено.
Розглянемо тепер фігуру, на якій проведені всі три середні лінії трикутника (перший з розглянутих вище рисунків). Трикутник
розбитий на чотири рівних трикутника. Справді, рівність кутів трикутників забезпечено паралельністю їх сторін, кожні два з них мають або пару рівних по побудові сторін (наприклад,
і
), або спільну сторону. Зокрема, з рівності трикутників випливає, що
, що і доводить другу властивість.
Середні лінії трикутника – приклади:
Приклад 1: у трикутнику провели середню лінію
, паралельну
. Знайти площу трикутника
, якщо відомо, що
, а висота
, опущена на сторону
, дорівнює
.
Трикутник ABC та його середня лінія KL
У трикутнику середня лінія
дорівнює половині сторони
, тому
.
Знайдемо далі площу трикутника :
Так як середня лінія відсікає трикутник
, площа якого дорівнює одній четвертій площі заданого трикутника
, то площа трикутника
дорівнює:
Приклад 2: у прямокутному трикутнику провели три середні лінії:
. В отриманому прямокутнику
відомо, що синус кута між діагоналями дорівнює
. А середні лінії
і
рівні
і
відповідно. Знайти площу великого прямокутного трикутника.
Серідні лінії трикутника ABC
Як відомо, в прямокутнику дві діагоналі між собою рівні. Одна з діагоналей – це гіпотенуза прямокутного трикутника
. Катети трикутника відомі, а отже, скориставшись теоремою Піфагора, знайдемо його гіпотенузу:
На наступному кроці, знайдемо площу прямокутника, як добуток діагоналей на синус кута між ними:
Далі, виходячи з того, що в прямокутнику два малих трикутника, а у великому трикутнику – чотири і всі вони між собою рівні, приходимо до висновку, що для того, щоб знайти площу прямокутного трикутника
, потрібно помножити площу прямокутника на два:
Приклад 3: у трикутнику провели середні лінії
. Знайти периметр трикутника
.
Так як середня лінія дорівнює половині сторони, якій вона паралельна, то можемо знайти довжини всіх сторін заданого трикутника:
Далі, знайшовши суму довжин усіх сторін трикутника отримаємо шуканий периметр: