Середньою лінією трикутника називається відрізок, що з’єднує середини двох сторін трикутника. Кожен трикутник має три середні лінії. Самі середні лінії трикутника утворюють новий трикутник, вершини якого містяться в серединах сторін даного трикутника.

Середні лінії трикутника

Трикутник і його середні лінії

Кожна з середніх ліній трикутника, наприклад, лінія що з’єднує середини сторін  і , має такі властивості:

  • паралельна третій його стороні;
  • дорівнює половині третьої сторони.

Для доведення даних властивостей розглянемо трикутник .

Середня лінія трикутника дорівнює половині третьої сторони

Середня лінія трикутника паралельна третій його стороні

Опустимо висоту  на сторону  даного трикутника. Зазначимо, що в даному випадку, вона розіб’є трикутник на два прямокутних трикутника  і . По властивості медіани прямокутного трикутника, проведеної з вершини  прямого кута, знайдемо  і також . Тепер точки  і , як рівновіддалені від точок і , лежать на перпендикулярі, проведеному до висоти в її середині, а тому відрізок, що з’єднує їх, паралельний сторні  трикутника . Тим самим першу властивість доведено.

Розглянемо тепер фігуру, на якій проведені всі три середні лінії трикутника  (перший з розглянутих вище рисунків). Трикутник  розбитий на чотири рівних трикутника. Справді, рівність кутів трикутників забезпечено паралельністю їх сторін, кожні два з них мають або пару рівних по побудові сторін (наприклад,  і ), або спільну сторону. Зокрема, з рівності трикутників випливає, що , що і доводить другу властивість.

Середні лінії трикутника – приклади:

Приклад 1: у трикутнику провели середню лінію , паралельну . Знайти площу трикутника , якщо відомо, що , а висота , опущена на сторону , дорівнює .

Середня лінія трикутника ABC

Трикутник ABC та його середня лінія KL

У трикутнику середня лінія дорівнює половині сторони , тому .

Знайдемо далі площу трикутника :

Так як середня лінія відсікає трикутник , площа якого дорівнює одній четвертій площі заданого трикутника , то площа трикутника дорівнює:

Приклад 2: у прямокутному трикутнику провели три середні лінії: . В отриманому прямокутнику  відомо, що синус кута між діагоналями дорівнює . А середні лінії  і рівні  і  відповідно. Знайти площу великого прямокутного трикутника.

Серідні лінії трикутника ABC

Серідні лінії трикутника ABC

Як відомо, в прямокутнику дві діагоналі між собою рівні. Одна з діагоналей  – це гіпотенуза прямокутного трикутника . Катети трикутника відомі, а отже, скориставшись теоремою Піфагора, знайдемо його гіпотенузу:

На наступному кроці, знайдемо площу прямокутника, як добуток діагоналей на синус кута між ними:

Далі, виходячи з того, що в прямокутнику  два малих трикутника, а у великому трикутнику – чотири і всі вони між собою рівні, приходимо до висновку, що для того, щоб знайти площу прямокутного трикутника , потрібно помножити площу прямокутника на два:

Приклад 3: у трикутнику  провели середні лінії . Знайти периметр трикутника .

Так як середня лінія дорівнює половині сторони, якій вона паралельна, то можемо знайти довжини всіх сторін заданого трикутника:

Далі, знайшовши суму довжин усіх сторін трикутника отримаємо шуканий периметр:

Блок-схема алгоритму знаходження довжин середніх ліній трикутника

Середні лінії трикутника блок-схема

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*