Нерівності, що містять невідомі величини або деякі функції невідомих величин під знаком кореня називаються ірраціональними нерівностями.

При розв’язуванні ірраціональних нерівностей використовується наступне твердження: якщо обидві частини нерівності приймають на деякій множині тільки додатні значення, то, звівши обидві її частини в квадрат (або в будь-яку іншу парну степінь) і зберігши знак вихідної нерівності, отримаємо нерівність, рівносильну даній.

Зведення обох частин нерівності в одну і ту ж непарну степінь (зі збереженням знака нерівності) завжди є рівносильним перетворенням нерівності.

Отже, розглянемо ірраціональну нерівність наступного вигляду:

Ірраціональна нерівність

Очевидно, що рішення цієї нерівності є в той же час розв’язком нерівності  і розв’язком нерівності  (з нерівності (1) випливає, що ). Значить, ірраціональна нерівність (1) рівносильна системі нерівностей:

Так як при виконанні умов, що задаються першими двома нерівностями системи (2), обидві частини третьої нерівності даної системи визначені і приймають тільки додатні значення, їх зведення в квадрат є рівносильним перетворення нерівності. Виконавши це перетворення, приходимо до системи:

Отже, нерівність Ірраціональна нерівність рівносильна системі нерівностей (3).

Розглянемо тепер нерівність виду:

Ірраціональна нерівність

Як і вище, робимо висновок, що , але на відміну від попереднього випадку тут  може приймати як додатні, так і від’ємні значення. Тому задану нерівність (4) розглянемо в кожному з наступних випадків: . В результаті, отримаємо сукупність систем нерівностей:

Зазначимо, що у першій з цих систем можна опустити останню нерівність – вона випливає з перших двох нерівностей системи. У другій системі можна виконати зведення в квадрат обох частин останньої нерівності. У підсумку, приходимо до наступного результату: ірраціональна нерівність Ірраціональна нерівність рівносильна сукупності двох систем нерівностей:

Ірраціональні нерівності – приклади розв’язування:

Приклад 1: розв’язати нерівність .

Виходячи з того, що, за визначенням, корінь квадратний – число додатне, робимо висновок, що задана нерівність розв’язків не має.

Приклад 2: розв’язати нерівність .

Переглянувши теоретичний матеріал вище, приходимо до висновку, що дана нерівність рівносильна наступній системі нерівностей:

Розв’язавши першу нерівність системи отримаємо . Тобто, рішенням нерівності  є об’єднання інтервалів .

Розв’язками другої і третьої нерівностей є інтервали  та  відповідно.

Таким чином, множиною рішень заданої ірраціональної нерівності є проміжок .

Приклад 3: розв’язати нерівність .

Отже, дане нерівність рівносильна сукупності двох систем нерівностей:

Зауваження: другу нерівність другої системи можна опустити як наслідок третьої нерівності тієї ж системи.

Розв’язавши першу систему, матимемо:

З другої системи отримаємо:

Об’єднавши, далі, знайдені рішення, отримаємо розв’язок ірраціональної нерівності .

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*