Наближення таблично заданої функції з допомогою лінійної інтерполяції

При великій кількості вузлів інтерполяції сильно зростає степінь інтерполяціонних многочленів, що робить їх незручними для обчислень. Уникнути даної проблеми можна розбивши відрізок інтерполяції на кілька частин з побудовою на кожній з них окремого интерполяционного многочлена.

Найпростішим і водночас часто використовуваним видом такого роду інтерполяції, є кусочно-лінійна інтерполяція. Вона полягає в тому, що задані точки з’єднуються прямолінійними відрізками, а функція наближається до ламаної з вершинами в даних точках.

Лінійна інтерполяція

Тобто, через кожні дві точки  та  проводиться пряма, рівнянням якої являється поліном першої степені (де ), невідомі коефіцієнти якого можна знайти з умови проходження прямої через задані дві точки, тобто розв’язавши наступну систему з двох лінійних рівнянь:

де перше рівняння – це умова проходження прямої через точку з координатами , друге рівняння – умова проходження прямої через точку з координатами .

Розв’язок даної системи можна отримати за будь-яким з чисельних методів (метод Крамера, метод Гаусса,…) а можна скористатись методом підстановок, з допомогою якого невідомі коефіцієнти визначаються за наступними формулами:

Отже, при використанні кусочно-лінійної інтерполяції, спочатку необхідно визначити інтервал, в який потрапляє значення аргументу , потім підставити це значення у формулу (1) з відповідними для даного інтервалу коефіцієнтами і знайти наближене значення функції.

Лінійна інтерполяція – приклад:

Знайти наближене значення функції в точці , якщо відома наступна таблиця її значень:

Таблиця фіксованих значень функції

Розв’язок даної задачі будемо здійснювати використовуючи формули лінійної інтерполяції (1), (3). Для цього, спочатку визначемо між якими вузлами фіксованих значень міститься точка . В нашому випадку вона міститься між вузлами та . Далі, підставляючи дані точки та значення функції в них у формулу (3) – знаходимо коефіцієнти полінома першої степені, після чого, знаходимо значення функції у заданій точці:

Блок-схема програмної реалізації методу лінійної інтерполяції: