Мітки: багатокрокові методи

Знаходження розв’язку задачі Коші засобами Delphi використовуючи метод Мілна

Розглянемо delphi-проект, який використовуючи метод Мілна четвертого порядку точності (відноситься до групи методів прогнозу і коррекції) знаходить чисельний розв’язок задачі Коші. Перш ніж приступити до розгляду головної форми delphi-програми, нагадаємо, що основна ідея методів прогнозу і коррекції полягає в тому, що рішення в наступній точці знаходиться у два етапи. На першому етапі знаходимо прогнозоване значення функції. На другому – корекція значення отриманого на попередньому етапі. Більш детальну інформацію про метод Мілна можна знайти за посиланням Знаходження розв’язку задачі Коші використовуючи метод Мілна.

Отже, після запуску програми, яка реалізує Метод Мілна, на екрані появиться форма наступного виду:

Головна форма delphi-проекту, який використовуючи метод мылна знаходить розвєязок задачі Коші

Головна форма delphi-проекту, який використовуючи метод Мілна знаходить розв’язок задачі Коші

Знаходження розв’язку задачі Коші використовуючи метод Мілна

Одним з найбільш простих і практично зручних методів чисельного рішення диференціальних рівнянь є метод Мілна. Метод Мілна відноситься до багатокрокових методів і представляє один з методів прогнозу і корекції, тобто, рішення в наступній точці знаходиться у два етапи. На першому етапі здійснюється за спеціальною формулою прогноз значення функції, а потім на другому етапі – корекція отриманого значення. Якщо отримане значення після корекції істотно відрізняється від спрогнозованого, то проводять ще один етап корекції. Якщо знову має місце суттєва відмінність від попереднього значення (тобто від попередньої корекції), то проводять ще одну корекцію і так далі. Однак, при використанні методу Мілна, дуже часто обмежуються лише одним етапом корекції.

Нехай потрібно знайти розв’язок задічі Коші:

Для цього, виберемо деякий крок , і покладемо:

Далі, виходячи з того, що для знаходження значення метод Мілна використовує інформацію з чотирьох попередніх точок , знаходимо їх використовуючи початкову умову та будь-який з однокрокових методів (метод Ейлера, методо Рунге-Кутта).

Розв’язок диференціального рівняння методом Адамса четвертого порядку точності

Програма знаходить розв’язок диференціального рівняння першого порядку використовуючи метод Адамса четвертого порядку точності (відносяться до групи багатокрокових методів розв’язування задачі Коші). Даний метод для знаходження значенняYn+1 використовує інформацію з чотирьох попереднійх точок (Xn, Xn-1, Xn-2, Xn-3), що цілком ймовірним, дає змогу досягнути більшої точності. Тобто, щоб почати розрахунок за методом Адамса, недостатньо знати початкову умову Y(a). Для початку розрахунку за формулою треба знайти величини рішення в чотирьох точках, які можна обчислити методом Ейлера чи методом Рунге-Кутта (відносяться до групи однокрокових методів).

Нагадаємо, що однокрокові методи для знаходження Yn+1 використовують інформацію лише з однієї попередньої точки Xn.

В програмі від користувача вимагається інформація про початок та кінець відрізка, початкова умова і крок h. Саме рівняння задається програмно. Тобто, якщо потрібно буде знайти розв’язок диференціального рівняння, яке відмінне від заданого, необхідно внести відповідні зміни в коді програми.

Результатом виконання програми є вивід послідовності точок X1…Xn і значень функції в цих точках Y(X1)…Y(Xn), та побудова графіка в компоненті TChart.

Розв’язування звичайних диференціальних рівнянь методом Адамса

Нехай потрібно зняйти чисельний розв’язок зажачі Коші:

При використанні однокрокових методів для розв’язання зідічі (1), значення залежить тільки від інформації, яка міститься в одній – попередній точці . Припустимо, що можна досягнути більш точного результату, якщо використовувати інформацію з декількох попередніх точок . Дана ідея і закладена в основу багатокрокових методів.