Знаходження розв’язку задачі Коші використовуючи метод Мілна

Одним з найбільш простих і практично зручних методів чисельного рішення диференціальних рівнянь є метод Мілна. Метод Мілна відноситься до багатокрокових методів і представляє один з методів прогнозу і корекції, тобто, рішення в наступній точці знаходиться у два етапи. На першому етапі здійснюється за спеціальною формулою прогноз значення функції, а потім на другому етапі – корекція отриманого значення. Якщо отримане значення після корекції істотно відрізняється від спрогнозованого, то проводять ще один етап корекції. Якщо знову має місце суттєва відмінність від попереднього значення (тобто від попередньої корекції), то проводять ще одну корекцію і так далі. Однак, при використанні методу Мілна, дуже часто обмежуються лише одним етапом корекції.

Нехай потрібно знайти розв’язок задічі Коші:

Для цього, виберемо деякий крок , і покладемо:

Далі, виходячи з того, що для знаходження значення метод Мілна використовує інформацію з чотирьох попередніх точок , знаходимо їх використовуючи початкову умову та будь-який з однокрокових методів (метод Ейлера, методо Рунге-Кутта).

Після того, як значення в чотирьох початкових точках відомі, наступні значення обчислюються за наступним алгоритмом:

1. 1. Використовуючи флрмулу (2), обчислюємо прогнозоване значення :

      

   2. Дане прогнозоване значення підставляємо в диференціальне рівняння (1), в результаті отримуємо відповідне значення .
   3. На насутпному кроці проводимо корекцію прогнозованого значення за наступною формулою:

Таким чином, ми бачимо, що відмінність методу Мілна від методу Адамса чи перерахованих вище однокрокових методів полягає в тому, що на кожному кроці ми здійснюємо коригування щойно отриманого значення інтеграла функції.

Блок-схема програмної реалізації методу Мілна: