Нехай потрібно розв’язати нерівність 
(аналогічні міркування проводяться при розв’язуванні непівностей 
).
У залежності від знака дискримінанта квадратного тричлена 
потрібно розглянути два випадки.
- Якщо
, а старший коефіцієнт 
додатний, то при всіх значеннях 
виконується нерівність . - Якщо
, то для розв’язування нерівності потрібно квадратний тричлен 
, за формулою 
, розкласти на множники, потім від квадратної нерівності перейти до двох систем лінійних нерівностей і знайти їх рішення.
Зауваження: квадратні нерівності, а також нерівності вищих степенів можна розв’язувати методом інтервалів (методом проміжків). В його основі лежить така властивість двочлена 
: точка 
ділить вісь на дві частини – праворуч від точки 
двочлен 
, а ліворуч від точки – 
.
Ілюстрація до пояснення методу інтервалів
Квадратні нерівності – приклади розв’язування:
Приклад 1: розв’язати нерівність 
.
Отже, знайдемо корені відповідного квадратного тричлена та розкладемо його за відомою нам формулою на лінійні множники. В результаті матимемо:
Не важко переконатись, що добуток 
більший нуля, якщо множники мають однакові знаки (обидва додатні або від’ємні). Тобто, від квадратної нерівності ми переходимо до двох систем лінійних нерівностей наступного вигляду:
Розв’язуючи першу систему, отримаємо 
. Друга система дає рішення 
. Звідси 
.
Приклад 2: розв’язати нерівність 
.
Зазначимо, що знайшовши дискримінант відповідного квадратного рівняння бачимо, що його значення є меншим нуля (
). А це означає, що квадратний тричлен додатний при всіх дійсних значеннях змінної , тому задана нерівність розв’язків немає.
Приклад 3: розв’язати нерівність 
.
Добуток 
перетворюється в нуль у точках 
і 
. Ці точки розбивають координатну пряму на проміжки, у середині кожного з яких функція 
зберігає знак.
Розв’язок нерівності методом інтервалів
Оскільки на проміжку 
співмножники 
і 
додатні, то їхній добуток також додатний на даному проміжку, тобто 
. Відзначимо даний проміжок знаком «+». Далі, знаки в проміжках чергуються.
Через визначені проміжки проводимо «криву знаків». На проміжках позначених знаком «+» виконується нерівність , а на проміжках позначених знаком «-» – 
. Отже, розв’язком заданої нерівності є об’єднання проміжків 
і .
Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку квадратних нерівностей
