Розв'язування квадратних нерівностей

Нехай потрібно розв’язати нерівність (аналогічні міркування проводяться при розв’язуванні непівностей ).

У залежності від знака дискримінанта квадратного тричлена потрібно розглянути два випадки.

Якщо , а старший коефіцієнт додатний, то при всіх значеннях виконується нерівність .
Якщо , то для розв’язування нерівності потрібно квадратний тричлен , за формулою , розкласти на множники, потім від квадратної нерівності перейти до двох систем лінійних нерівностей і знайти їх рішення.

Зауваження: квадратні нерівності, а також нерівності вищих степенів можна розв’язувати методом інтервалів (методом проміжків). В його основі лежить така властивість двочлена : точка ділить вісь на дві частини – праворуч від точки двочлен , а ліворуч від точки – .

Ілюстрація до пояснення методу інтервалів

Квадратні нерівності – приклади розв’язування:

Приклад 1: розв’язати нерівність .

Отже, знайдемо корені відповідного квадратного тричлена та розкладемо його за відомою нам формулою на лінійні множники. В результаті матимемо:

Не важко переконатись, що добуток більший нуля, якщо множники мають однакові знаки (обидва додатні або від’ємні). Тобто, від квадратної нерівності ми переходимо до двох систем лінійних нерівностей наступного вигляду:

Розв’язуючи першу систему, отримаємо . Друга система дає рішення . Звідси .

Приклад 2: розв’язати нерівність .

Зазначимо, що знайшовши дискримінант відповідного квадратного рівняння бачимо, що його значення є меншим нуля (). А це означає, що квадратний тричлен додатний при всіх дійсних значеннях змінної , тому задана нерівність розв’язків немає.

Приклад 3: розв’язати нерівність .

Добуток перетворюється в нуль у точках і . Ці точки розбивають координатну пряму на проміжки, у середині кожного з яких функція зберігає знак.

Метод інтервалів розв'язування нерівностей

Розв’язок нерівності методом інтервалів

Оскільки на проміжку співмножники і додатні, то їхній добуток також додатний на даному проміжку, тобто . Відзначимо даний проміжок знаком «+». Далі, знаки в проміжках чергуються.

Через визначені проміжки проводимо «криву знаків». На проміжках позначених знаком «+» виконується нерівність , а на проміжках позначених знаком «-» – . Отже, розв’язком заданої нерівності є об’єднання проміжків і .