Нехай потрібно розв’язати нерівність (аналогічні міркування проводяться при розв’язуванні непівностей
).
У залежності від знака дискримінанта квадратного тричлена потрібно розглянути два випадки.
- Якщо
, а старший коефіцієнт
додатний, то при всіх значеннях
виконується нерівність
.
- Якщо
, то для розв’язування нерівності
потрібно квадратний тричлен
, за формулою
, розкласти на множники, потім від квадратної нерівності перейти до двох систем лінійних нерівностей і знайти їх рішення.
Зауваження: квадратні нерівності, а також нерівності вищих степенів можна розв’язувати методом інтервалів (методом проміжків). В його основі лежить така властивість двочлена : точка
ділить вісь на дві частини – праворуч від точки
двочлен
, а ліворуч від точки
–
.
Ілюстрація до пояснення методу інтервалів
Квадратні нерівності – приклади розв’язування:
Приклад 1: розв’язати нерівність .
Отже, знайдемо корені відповідного квадратного тричлена та розкладемо його за відомою нам формулою на лінійні множники. В результаті матимемо:
Не важко переконатись, що добуток більший нуля, якщо множники мають однакові знаки (обидва додатні або від’ємні). Тобто, від квадратної нерівності
ми переходимо до двох систем лінійних нерівностей наступного вигляду:
Розв’язуючи першу систему, отримаємо . Друга система дає рішення
. Звідси
.
Приклад 2: розв’язати нерівність .
Зазначимо, що знайшовши дискримінант відповідного квадратного рівняння бачимо, що його значення є меншим нуля (). А це означає, що квадратний тричлен додатний при всіх дійсних значеннях змінної
, тому задана нерівність розв’язків немає.
Приклад 3: розв’язати нерівність .
Добуток перетворюється в нуль у точках
і
. Ці точки розбивають координатну пряму на проміжки, у середині кожного з яких функція
зберігає знак.
Розв’язок нерівності методом інтервалів
Оскільки на проміжку співмножники
і
додатні, то їхній добуток також додатний на даному проміжку, тобто
. Відзначимо даний проміжок знаком «+». Далі, знаки в проміжках чергуються.
Через визначені проміжки проводимо «криву знаків». На проміжках позначених знаком «+» виконується нерівність , а на проміжках позначених знаком «-» –
. Отже, розв’язком заданої нерівності є об’єднання проміжків
і
.