Для визначення другого власного значення матриці та відповідного йому власного вектора можна скористатись ще одним способом, який називається методом вичерпування. Нехай маємо деяку матрицю , елементами якої є дійсні числа, і нехай власні значення даної матриці впорядковані наступним чином: .

Поряд з матрицею , розглянемо ще одну матрицю , де – перше власне значення матриці ; – відповідний власний вектор матриці , розглядуваний як матриця-стовпець; – власний ветор, явий відповідає власному значенню  транспонованої матриці до , розглядуваний як матриця-рядок, причому вектори та нормовані таким чином, що їх скалярний добуток дорівнює одиниці:

В розгорнутому вигляді матриця записується наступним чином:

Покажемо, що власні значення і власні вектори матриці  та  рівні, за винятком першого, замість якого появляється власне значення рівне нулю. Для цього, скористаємося асоціативною властивістю множення матриць та формулою (2). В результаті отримаємо:

Тобто і відповідно нуль являється власним значенням матриці .

Далі, при , і враховуючи, що , отримуємо:

Таким чином, для матриці  найбільшим по абсолютній величині є власне значення . Для визначення  та відповідного йому власного вектора , можна скористатись, наприклад, степеневим методом. Даний прийом називається методом вичерпування.

Власні значення матриці – приклад знаходження:

Для матриці , що міститься нижче, знайти друге власне значення:

Виходячи з того, що метод вичерпування, при знаходженны другого власного значення вимагає, як власного значення номер один, так і відповідних йому власних векторів, як матриці  так і матриці , то при використанні даного методу, необхідно паралельно з обчисленням послідовності ітерацій  (обчислювальний процес степеневого методу), обчислювати і послідовність ітерацій . Для цього, в якості початкового наближення власних векторів, виберемо одиничний вектори , задамо точність обчислень , після чого побудуємо наступний ітераційний процес:

Таким чином, отримане на четвертій ітерації значення задовольняє заданій точності, тому . Ділі, переходимо до знаходження значень елементів власних векторів. Для цього, достатньо пронормувати отримані вектори  та :

Зауваження: для того, щоб нормувати вектор, необхідно знайти його модуль, і кожну координату розділити на нього.

Після того, як всі необхідні величини знайдено, переходимо до побудови матриці :

Далі, для знаходження другого власного значення, задамо початкове наближення  та точність обчислень , після чого, для знайденої матриці , аналогічним чином, будуємо ітераційний процес:

Таким чином ми отримали друге власне значення заданої матриці , тобто .

Блок-схема алгоритму знаходження власних значень матриці використовуючи метод вичерпування:

Власні значення матриці блок-схема

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*