Власні значення матриці часто обчислюють послідовно, починаючи з найбільшого за модулем. Проте повторне застосування степеневого методу до тієї самої матриці знову приведе до вже знайденого значення. Метод вичерпування розв’язує цю проблему за допомогою перетворення, після якого знайдене власне значення замінюється нулем.
Власні Значення Матриці: Ідея Методу Вичерпування
Нехай задано дійсну квадратну матрицю \( A \) порядку \( n \):
\[
A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix}.
\]
Припустимо, що матриця \( A \) має \( n \) лінійно незалежних власних векторів, а її власні значення є дійсними та впорядкованими за спаданням модулів:
\[
|\lambda_1|>|\lambda_2|>\dots>|\lambda_n|.
\]
Таке впорядкування дає змогу послідовно знаходити власні значення за допомогою степеневого методу. Сукупність усіх власних значень матриці називають її спектром.
Праві власні вектори матриці \( A \) позначимо через
\[
X_1,X_2,\dots,X_n.
\]
Для кожного з них виконується рівність
\[
A\cdot X_j=\lambda_j\cdot X_j,\qquad j=1,2,\dots,n.
\]
Найбільше за модулем власне значення \( \lambda_1 \) та відповідний йому власний вектор \( X_1 \) можна знайти степеневим методом. Якщо повторно застосувати цей метод до початкової матриці, він знову наближатиме значення \( \lambda_1 \). Тому перед знаходженням \( \lambda_2 \) потрібно побудувати перетворену матрицю, у спектрі якої значення \( \lambda_1 \) буде замінене нулем.
Для несиметричної матриці разом із правими власними векторами розглядають ліві власні вектори
\[
Y_1,Y_2,\dots,Y_n.
\]
Вони є власними векторами транспонованої матриці \( A^{T} \):
\[
A^{T}\cdot Y_j=\lambda_j\cdot Y_j.
\]
Після транспонування отримуємо
\[
Y_j^{T}\cdot A=\lambda_j\cdot Y_j^{T}.
\]
Праві та ліві власні вектори нормують так, щоб виконувалася умова біортогональності:
\[
Y_i^{T}\cdot X_j=
\begin{cases}
1, & i=j,\\
0, & i\ne j.
\end{cases}
\]
Зокрема,
\[
Y_1^{T}\cdot X_1=1,
\]
а для інших правих власних векторів
\[
Y_1^{T}\cdot X_j=0,\qquad j=2,3,\dots,n.
\]
Ці співвідношення дають змогу замінити власне значення \( \lambda_1 \) нулем, не змінюючи решту спектра матриці.
Перетворення Матриці: Заміна Першого Власного Значення Нулем
Припустимо, що власне значення \( \lambda_1 \), правий власний вектор \( X_1 \) і лівий власний вектор \( Y_1 \) уже знайдено. Побудуємо нову матрицю:
\[
A_1=A-\lambda_1\cdot X_1\cdot Y_1^{T}.
\]
Матриця
\[
\lambda_1\cdot X_1\cdot Y_1^{T}
\]
є частиною спектрального розкладу, пов’язаною з власним значенням \( \lambda_1 \). Вона утворюється множенням вектора-стовпця на вектор-рядок, тому її ранг дорівнює одиниці.
Нехай власні вектори мають вигляд
\[
X_1=
\begin{pmatrix}
x_{11}\\
x_{21}\\
\vdots\\
x_{n1}
\end{pmatrix},
\qquad
Y_1^{T}=
\begin{pmatrix}
y_{11} & y_{21} & \dots & y_{n1}
\end{pmatrix}.
\]
Тоді їхній добуток дорівнює
\[
X_1\cdot Y_1^{T}=
\begin{pmatrix}
x_{11}\cdot y_{11} & x_{11}\cdot y_{21} & \dots & x_{11}\cdot y_{n1}\\
x_{21}\cdot y_{11} & x_{21}\cdot y_{21} & \dots & x_{21}\cdot y_{n1}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
x_{n1}\cdot y_{11} & x_{n1}\cdot y_{21} & \dots & x_{n1}\cdot y_{n1}
\end{pmatrix}.
\]
Елементи перетвореної матриці \( A_1 \) обчислюють за формулою
\[
a_{ij}^{(1)}=a_{ij}-\lambda_1\cdot x_{i1}\cdot y_{j1},\qquad i,j=1,2,\dots,n.
\]
Покажемо, що після такого перетворення вектору \( X_1 \) відповідатиме нульове власне значення:
\[
A_1\cdot X_1=
\left(A-\lambda_1\cdot X_1\cdot Y_1^{T}\right)\cdot X_1=
A\cdot X_1-\lambda_1\cdot X_1\cdot\left(Y_1^{T}\cdot X_1\right).
\]
Оскільки
\[
A\cdot X_1=\lambda_1\cdot X_1
\]
і
\[
Y_1^{T}\cdot X_1=1,
\]
маємо
\[
A_1\cdot X_1=
\lambda_1\cdot X_1-\lambda_1\cdot X_1\cdot 1=0.
\]
Отже,
\[
A_1\cdot X_1=0\cdot X_1.
\]
Таким чином, вектор \( X_1 \) залишається власним вектором матриці \( A_1 \), але тепер йому відповідає нульове власне значення.
Розглянута формула підходить для загального випадку. Якщо матриця \( A \) є симетричною, її ліві та праві власні вектори збігаються. Крім того, їх можна вибрати ортонормованими:
\[
X_i^{T}\cdot X_j=
\begin{cases}
1, & i=j,\\
0, & i\ne j.
\end{cases}
\]
Тому для симетричної матриці перетворення набуває простішого вигляду:
\[
A_1=A-\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}.
\]
Збереження Спектра: Чому Інші Власні Значення Не Змінюються
Тепер перевіримо, як це перетворення впливає на власні вектори \( X_2,X_3,\dots,X_n \). Розглянемо власний вектор \( X_j \), для якого
\[
j=2,3,\dots,n.
\]
Помножимо матрицю \( A_1 \) на цей вектор:
\[
A_1\cdot X_j=
\left(A-\lambda_1\cdot X_1\cdot Y_1^{T}\right)\cdot X_j=
A\cdot X_j-\lambda_1\cdot X_1\cdot\left(Y_1^{T}\cdot X_j\right).
\]
Для вектора \( X_j \) виконується рівність
\[
A\cdot X_j=\lambda_j\cdot X_j.
\]
Водночас умова біортогональності дає
\[
Y_1^{T}\cdot X_j=0.
\]
Тому
\[
A_1\cdot X_j=
\lambda_j\cdot X_j-\lambda_1\cdot X_1\cdot 0=
\lambda_j\cdot X_j.
\]
Отже, власні значення
\[
\lambda_2,\lambda_3,\dots,\lambda_n
\]
і відповідні їм власні вектори залишаються незмінними. Спектр матриці \( A_1 \) має вигляд
\[
0,\lambda_2,\lambda_3,\dots,\lambda_n.
\]
Таким чином, перетворення змінює лише перше власне значення, тоді як решта спектра матриці зберігається.
Послідовне Перетворення: Перехід до Наступних Власних Значень
Оскільки власні значення впорядковані за спаданням модулів, найбільшим за модулем власним значенням матриці \( A_1 \) є \( \lambda_2 \). Тому застосування степеневого методу до перетвореної матриці дає змогу визначити друге за модулем власне значення початкової матриці та відповідний йому власний вектор.
Після знаходження \( \lambda_2 \) будують наступну матрицю:
\[
A_2=A_1-\lambda_2\cdot X_2\cdot Y_2^{T}.
\]
Її спектр має вигляд
\[
0,0,\lambda_3,\dots,\lambda_n.
\]
Найбільшим за модулем власним значенням матриці \( A_2 \) стає \( \lambda_3 \). Після його знаходження можна побудувати матрицю
\[
A_3=A_2-\lambda_3\cdot X_3\cdot Y_3^{T}
\]
і продовжити обчислення.
У загальному випадку після послідовної заміни перших \( k \) власних значень нулями отримують матрицю
\[
A_k=A-\sum_{i=1}^{k}\lambda_i\cdot X_i\cdot Y_i^{T}.
\]
Її ненульовими власними значеннями залишаються
\[
\lambda_{k+1},\lambda_{k+2},\dots,\lambda_n.
\]
Отже, метод вичерпування дає змогу послідовно перетворювати матрицю так, щоб уже знайдені власні значення замінювалися нулями. Після кожного такого перетворення до отриманої матриці застосовують степеневий метод для знаходження наступного за модулем власного значення.
Практична Частина: Власні Значення Матриці Методом Вичерпування
Тепер розглянемо, як метод вичерпування працює для матриць різних порядків. У кожному прикладі побудуємо матрицю, у спектрі якої найбільше за модулем власне значення замінене нулем, а потім застосуємо до неї степеневий метод із точністю \( \varepsilon=0.1 \).
Приклад 1. Знайти друге за модулем власне значення матриці методом вичерпування:
\[
A=
\begin{pmatrix}
4 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}.
\]
Для початкової матриці найбільше за модулем власне значення та відповідний нормований власний вектор дорівнюють
\[
\lambda_1\approx4.414,
\qquad
X_1\approx
\begin{pmatrix}
0.924\\
0.383
\end{pmatrix}.
\]
Оскільки задана матриця є симетричною, для побудови \( A_1 \) використовуємо формулу
\[
A_1=A-\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}.
\]
Транспонований власний вектор має вигляд
\[
X_1^{T}\approx
\begin{pmatrix}
0.924 & 0.383
\end{pmatrix}.
\]
Помножимо вектор-стовпець \( X_1 \) на вектор-рядок \( X_1^{T} \):
\[
X_1\cdot X_1^{T}\approx
\begin{pmatrix}
0.924\\
0.383
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0.924 & 0.383
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.854 & 0.354\\
0.354 & 0.146
\end{pmatrix}.
\]
Помножимо отриману матрицю на \( \lambda_1 \):
\[
\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}\approx
4.414\cdot
\begin{pmatrix}
0.854 & 0.354\\
0.354 & 0.146
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3.768 & 1.561\\
1.561 & 0.646
\end{pmatrix}.
\]
Віднімемо отриману спектральну складову від початкової матриці:
\[
A_1\approx
\begin{pmatrix}
4 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}
–
\begin{pmatrix}
3.768 & 1.561\\
1.561 & 0.646
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.232 & -0.561\\
-0.561 & 1.354
\end{pmatrix}.
\]
До матриці \( A_1 \) застосуємо степеневий метод. Виберемо початковий нормований вектор
\[
Y^{(0)}=
\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
0.707\\
0.707
\end{pmatrix}.
\]
На першій ітерації помножимо матрицю \( A_1 \) на вектор \( Y^{(0)} \):
\[
Z^{(1)}=
A_1\cdot Y^{(0)}
\approx
\begin{pmatrix}
0.232 & -0.561\\
-0.561 & 1.354
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0.707\\
0.707
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-0.232\\
0.561
\end{pmatrix}.
\]
Обчислимо норму отриманого вектора:
\[
\left\lVert Z^{(1)}\right\rVert_2
\approx
\sqrt{(-0.232)^2+0.561^2}
\approx0.607.
\]
Нормуємо вектор:
\[
Y^{(1)}=
\frac{1}{0.607}\cdot
\begin{pmatrix}
-0.232\\
0.561
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
-0.383\\
0.924
\end{pmatrix}.
\]
Перше наближення другого за модулем власного значення знайдемо за відношенням Релея:
\[
\lambda_2^{(1)}=
\frac{\left(Y^{(1)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot Y^{(1)}}
{\left(Y^{(1)}\right)^{T}\cdot Y^{(1)}}
\approx1.586.
\]
Виконаємо другу ітерацію:
\[
Z^{(2)}=
A_1\cdot Y^{(1)}
\approx
\begin{pmatrix}
0.232 & -0.561\\
-0.561 & 1.354
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-0.383\\
0.924
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-0.607\\
1.465
\end{pmatrix}.
\]
Обчислимо норму:
\[
\left\lVert Z^{(2)}\right\rVert_2
\approx
\sqrt{(-0.607)^2+1.465^2}
\approx1.586.
\]
Нормуємо вектор:
\[
Y^{(2)}=
\frac{1}{1.586}\cdot
\begin{pmatrix}
-0.607\\
1.465
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
-0.383\\
0.924
\end{pmatrix}.
\]
Нове наближення дорівнює
\[
\lambda_2^{(2)}=
\frac{\left(Y^{(2)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot Y^{(2)}}
{\left(Y^{(2)}\right)^{T}\cdot Y^{(2)}}
\approx1.586.
\]
Перевіримо умову завершення:
\[
\left|\lambda_2^{(2)}-\lambda_2^{(1)}\right|
=
|1.586-1.586|
=
0
\leq0.1.
\]
Необхідної точності досягнуто. Отже,
\[
\lambda_2\approx1.586.
\]
Приклад 2. Знайти друге за модулем власне значення матриці методом вичерпування:
\[
A=
\begin{pmatrix}
5 & 1 & 0\\
1 & 3 & 1\\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}.
\]
Для початкової матриці найбільше за модулем власне значення та відповідний нормований власний вектор дорівнюють
\[
\lambda_1\approx5.461,
\qquad
X_1\approx
\begin{pmatrix}
0.902\\
0.415\\
0.12
\end{pmatrix}.
\]
Оскільки задана матриця є симетричною, побудуємо перетворену матрицю за формулою
\[
A_1=A-\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}.
\]
Транспонований власний вектор має вигляд
\[
X_1^{T}\approx
\begin{pmatrix}
0.902 & 0.415 & 0.12
\end{pmatrix}.
\]
Обчислимо зовнішній добуток:
\[
X_1\cdot X_1^{T}\approx
\begin{pmatrix}
0.902\\
0.415\\
0.12
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0.902 & 0.415 & 0.12
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.813 & 0.374 & 0.108\\
0.374 & 0.172 & 0.05\\
0.108 & 0.05 & 0.014
\end{pmatrix}.
\]
Помножимо отриману матрицю на \( \lambda_1 \):
\[
\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}\approx
5.461\cdot
\begin{pmatrix}
0.813 & 0.374 & 0.108\\
0.374 & 0.172 & 0.05\\
0.108 & 0.05 & 0.014
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4.44 & 2.045 & 0.591\\
2.045 & 0.942 & 0.272\\
0.591 & 0.272 & 0.079
\end{pmatrix}.
\]
Віднімемо спектральну складову від початкової матриці:
\[
A_1\approx
\begin{pmatrix}
5 & 1 & 0\\
1 & 3 & 1\\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
–
\begin{pmatrix}
4.44 & 2.045 & 0.591\\
2.045 & 0.942 & 0.272\\
0.591 & 0.272 & 0.079
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.56 & -1.045 & -0.591\\
-1.045 & 2.058 & 0.728\\
-0.591 & 0.728 & 1.921
\end{pmatrix}.
\]
Виберемо початковий нормований вектор
\[
Y^{(0)}=
\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
0.577\\
0.577\\
0.577
\end{pmatrix}.
\]
На першій ітерації отримуємо
\[
Z^{(1)}=
A_1\cdot Y^{(0)}
\approx
\begin{pmatrix}
0.56 & -1.045 & -0.591\\
-1.045 & 2.058 & 0.728\\
-0.591 & 0.728 & 1.921
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0.577\\
0.577\\
0.577
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-0.621\\
1.005\\
1.188
\end{pmatrix}.
\]
Обчислимо норму:
\[
\left\lVert Z^{(1)}\right\rVert_2
\approx
\sqrt{(-0.621)^2+1.005^2+1.188^2}
\approx1.676.
\]
Нормуємо вектор:
\[
Y^{(1)}=
\frac{1}{1.676}\cdot
\begin{pmatrix}
-0.621\\
1.005\\
1.188
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
-0.371\\
0.6\\
0.709
\end{pmatrix}.
\]
Перше наближення другого за модулем власного значення дорівнює
\[
\lambda_2^{(1)}=
\frac{\left(Y^{(1)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot Y^{(1)}}
{\left(Y^{(1)}\right)^{T}\cdot Y^{(1)}}
\approx3.178.
\]
На другій ітерації маємо
\[
Z^{(2)}=
A_1\cdot Y^{(1)}
\approx
\begin{pmatrix}
0.56 & -1.045 & -0.591\\
-1.045 & 2.058 & 0.728\\
-0.591 & 0.728 & 1.921
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-0.371\\
0.6\\
0.709
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1.253\\
2.138\\
2.018
\end{pmatrix}.
\]
Обчислимо норму:
\[
\left\lVert Z^{(2)}\right\rVert_2
\approx
\sqrt{(-1.253)^2+2.138^2+2.018^2}
\approx3.196.
\]
Нормуємо вектор:
\[
Y^{(2)}=
\frac{1}{3.196}\cdot
\begin{pmatrix}
-1.253\\
2.138\\
2.018
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
-0.392\\
0.669\\
0.631
\end{pmatrix}.
\]
Друге наближення дорівнює
\[
\lambda_2^{(2)}=
\frac{\left(Y^{(2)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot Y^{(2)}}
{\left(Y^{(2)}\right)^{T}\cdot Y^{(2)}}
\approx3.229.
\]
Перевіримо точність:
\[
\left|\lambda_2^{(2)}-\lambda_2^{(1)}\right|
=
|3.229-3.178|
=
0.051
\leq0.1.
\]
Необхідної точності досягнуто. Отже,
\[
\lambda_2\approx3.229.
\]
Приклад 3. Знайти друге за модулем власне значення матриці методом вичерпування:
\[
A=
\begin{pmatrix}
6 & 1 & 0 & 0\\
1 & 4 & 1 & 0\\
0 & 1 & 3 & 1\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}.
\]
Для початкової матриці найбільше за модулем власне значення та відповідний нормований власний вектор дорівнюють
\[
\lambda_1\approx6.464,
\qquad
X_1\approx
\begin{pmatrix}
0.899\\
0.417\\
0.129\\
0.029
\end{pmatrix}.
\]
Оскільки задана матриця є симетричною, побудуємо перетворену матрицю за формулою
\[
A_1=A-\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}.
\]
Транспонований власний вектор дорівнює
\[
X_1^{T}\approx
\begin{pmatrix}
0.899 & 0.417 & 0.129 & 0.029
\end{pmatrix}.
\]
Обчислимо зовнішній добуток:
\[
X_1\cdot X_1^{T}\approx
\begin{pmatrix}
0.899\\
0.417\\
0.129\\
0.029
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0.899 & 0.417 & 0.129 & 0.029
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.809 & 0.375 & 0.116 & 0.026\\
0.375 & 0.174 & 0.054 & 0.012\\
0.116 & 0.054 & 0.017 & 0.004\\
0.026 & 0.012 & 0.004 & 0.001
\end{pmatrix}.
\]
Помножимо отриману матрицю на \( \lambda_1 \):
\[
\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}\approx
6.464\cdot
\begin{pmatrix}
0.809 & 0.375 & 0.116 & 0.026\\
0.375 & 0.174 & 0.054 & 0.012\\
0.116 & 0.054 & 0.017 & 0.004\\
0.026 & 0.012 & 0.004 & 0.001
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5.226 & 2.425 & 0.748 & 0.168\\
2.425 & 1.125 & 0.347 & 0.078\\
0.748 & 0.347 & 0.107 & 0.024\\
0.168 & 0.078 & 0.024 & 0.005
\end{pmatrix}.
\]
Віднімемо цю спектральну складову від початкової матриці:
\[
A_1\approx
\begin{pmatrix}
6 & 1 & 0 & 0\\
1 & 4 & 1 & 0\\
0 & 1 & 3 & 1\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
–
\begin{pmatrix}
5.226 & 2.425 & 0.748 & 0.168\\
2.425 & 1.125 & 0.347 & 0.078\\
0.748 & 0.347 & 0.107 & 0.024\\
0.168 & 0.078 & 0.024 & 0.005
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.774 & -1.425 & -0.748 & -0.168\\
-1.425 & 2.875 & 0.653 & -0.078\\
-0.748 & 0.653 & 2.893 & 0.976\\
-0.168 & -0.078 & 0.976 & 1.995
\end{pmatrix}.
\]
Виберемо початковий нормований вектор
\[
Y^{(0)}=
\frac{1}{2}\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.5\\
0.5\\
0.5\\
0.5
\end{pmatrix}.
\]
На першій ітерації отримуємо
\[
Z^{(1)}=
A_1\cdot Y^{(0)}
\approx
\begin{pmatrix}
0.774 & -1.425 & -0.748 & -0.168\\
-1.425 & 2.875 & 0.653 & -0.078\\
-0.748 & 0.653 & 2.893 & 0.976\\
-0.168 & -0.078 & 0.976 & 1.995
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0.5\\
0.5\\
0.5\\
0.5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-0.784\\
1.013\\
1.887\\
1.363
\end{pmatrix}.
\]
Обчислимо норму:
\[
\left\lVert Z^{(1)}\right\rVert_2
\approx
\sqrt{(-0.784)^2+1.013^2+1.887^2+1.363^2}
\approx2.656.
\]
Нормуємо вектор:
\[
Y^{(1)}=
\frac{1}{2.656}\cdot
\begin{pmatrix}
-0.784\\
1.013\\
1.887\\
1.363
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
-0.295\\
0.381\\
0.71\\
0.513
\end{pmatrix}.
\]
Перше наближення другого за модулем власного значення дорівнює
\[
\lambda_2^{(1)}=
\frac{\left(Y^{(1)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot Y^{(1)}}
{\left(Y^{(1)}\right)^{T}\cdot Y^{(1)}}
\approx4.189.
\]
На другій ітерації обчислюємо
\[
Z^{(2)}=
A_1\cdot Y^{(1)}
\approx
\begin{pmatrix}
0.774 & -1.425 & -0.748 & -0.168\\
-1.425 & 2.875 & 0.653 & -0.078\\
-0.748 & 0.653 & 2.893 & 0.976\\
-0.168 & -0.078 & 0.976 & 1.995
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-0.295\\
0.381\\
0.71\\
0.513
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1.389\\
1.94\\
3.025\\
1.736
\end{pmatrix}.
\]
Обчислимо норму:
\[
\left\lVert Z^{(2)}\right\rVert_2
\approx
\sqrt{(-1.389)^2+1.94^2+3.025^2+1.736^2}
\approx4.226.
\]
Нормуємо вектор:
\[
Y^{(2)}=
\frac{1}{4.226}\cdot
\begin{pmatrix}
-1.389\\
1.94\\
3.025\\
1.736
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
-0.329\\
0.459\\
0.716\\
0.411
\end{pmatrix}.
\]
Друге наближення дорівнює
\[
\lambda_2^{(2)}=
\frac{\left(Y^{(2)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot Y^{(2)}}
{\left(Y^{(2)}\right)^{T}\cdot Y^{(2)}}
\approx4.31.
\]
Перевіримо точність:
\[
\left|\lambda_2^{(2)}-\lambda_2^{(1)}\right|
=
|4.31-4.189|
=
0.121
>
0.1.
\]
Необхідної точності ще не досягнуто, тому виконаємо третю ітерацію:
\[
Z^{(3)}=
A_1\cdot Y^{(2)}
\approx
\begin{pmatrix}
0.774 & -1.425 & -0.748 & -0.168\\
-1.425 & 2.875 & 0.653 & -0.078\\
-0.748 & 0.653 & 2.893 & 0.976\\
-0.168 & -0.078 & 0.976 & 1.995
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-0.329\\
0.459\\
0.716\\
0.411
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1.513\\
2.223\\
3.017\\
1.538
\end{pmatrix}.
\]
Обчислимо норму:
\[
\left\lVert Z^{(3)}\right\rVert_2
\approx
\sqrt{(-1.513)^2+2.223^2+3.017^2+1.538^2}
\approx4.325.
\]
Нормуємо вектор:
\[
Y^{(3)}=
\frac{1}{4.325}\cdot
\begin{pmatrix}
-1.513\\
2.223\\
3.017\\
1.538
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
-0.35\\
0.514\\
0.698\\
0.356
\end{pmatrix}.
\]
Третє наближення дорівнює
\[
\lambda_2^{(3)}=
\frac{\left(Y^{(3)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot Y^{(3)}}
{\left(Y^{(3)}\right)^{T}\cdot Y^{(3)}}
\approx4.359.
\]
Перевіримо критерій завершення:
\[
\left|\lambda_2^{(3)}-\lambda_2^{(2)}\right|
=
|4.359-4.31|
=
0.049
\leq0.1.
\]
Необхідної точності досягнуто. Отже,
\[
\lambda_2\approx4.359.
\]
Що Вивчати Далі: Інші Методи Обчислення Спектра
Метод вичерпування — лише один зі способів дослідження спектра матриці. Далі варто порівняти його з іншими підходами та побачити, як кожен із них організовує обчислення.
- Метод обертання: Як діагоналізувати симетричну матрицю — Стаття пояснить, як послідовні обертання зануляють позадіагональні елементи та наближено визначають власні значення і вектори.
- Метод LU-розкладання: Як наближати спектр матриці — Матеріал покаже, як повторні LU-розкладання перетворюють матрицю та поступово наближають її діагональні елементи до власних значень.
- Метод Фадєєва: Як побудувати характеристичний поліном — У статті розглядатиметься обчислення коефіцієнтів характеристичного полінома за слідами степенів матриці та пошук його коренів.
Власні Значення Матриці: Від Блок-Схеми до Програмного Коду
Захоплюєтеся програмуванням? Спробуйте реалізувати алгоритм із блок-схеми своєю улюбленою мовою програмування та створити програму, яка методом вичерпування знаходить друге за модулем власне значення матриці другого порядку. Така реалізація допоможе краще зрозуміти побудову перетвореної матриці, нормування векторів, перевірку точності та організацію ітераційних обчислень.
