Графічний метод. Приклад розв’язання задачі лінійного програмування графічним методом

Для виготовлення товару A і B підприємство використовує три види сировини I, II, III. Норми витрат сировини на виробництво одного товару кожного виду, ціна одиниці товару A, B а також загальна кількість сировини наведені в наступній таблиці:

Потрібно організувати випуск даної продукції таким чином, щоб прибуток від її реалізації був максимальним.

Позначимо через — кількість товару виду А; — кількість товару виду В. Тоді математична модель даної задачі полягає у визначенні максимального значення функції мети:

при обмеженнях:

Для того, щоб розв’язати дану задачу графічним методом замінимо знаки нерівностей  в системі обмежень на знаки рівності. Після чого побудуємо прямі, рівняння яких ми отримали в результаті даної заміни.

На наступному кроці визначаємо півплощини, що відповідоють кожному обмеженню задачі і знаходимо багатокутник розв’язків:

Далі побудуємо вектор , який визначає напрямок зростання значення функції мети, і пряму перпендикулярну до даного вектора.

Рухаючи пряму в напрямку вектора  знаходимо вершину багатокутника розв’язків в якому функція мети набуває максимального значення.

Бачимо, що функція мети набуває максимального значення в точці А, у якій пряма перетинається з віссю . Підставляючи в дане рівняння отримаємо:

І значення функції в точці А рівне .

Таким чином прибуток буде максимальним у розмірі 6 умовних одиниць, якщо реалізувати дві одиниці продукції В і нуль одиниць продукції типу А.