Обчислення подвійних інтегралів методом клітин

Розглянемо метод клітин на прикладі подвійного інтеграла. Відмітимо, що зробивши відповідні зміни, його можна поширити і на випадок інтегралів більшої кратності. Отже, нехай маємо інтеграл виду , де – прямокутник, такий що .

З курсу математичного аналізу відома теорема про середнє. Якщо підінтегральна функція неперервна і інтегровна, то існує така точка , що, де площа прямокутника .

Якщо середнє значення функції замінити на значення функції в центрі прямокутника, то отримаємо наближену формулу:

Точність цієї формули можна підвищити, якщо область розбити на частини (на елементарні клітини) і до кожної з них застосувати формулу (1). Тобто якщо область інтегрування є прямокутник, то останню формулу перепишемо у наступному вигляді:

де ; –    кількість           елементарних

відрізків по горизонталі; – по вертикалі.

Проте слід зазначити, що отримана таким чином формула являється актуальною для найпростішого випадку обчислення подвійних інтегралів – для прямокутної області. У разі не прямокутної області, формулу (2) використовують іншим чином.  Нехай  – криволінійний чотирикутник, такий що . Накладемо на область  прямокутну сітку. Ті клітини сітки, всі точки яких належать області будемо називати внутрішніми. Якщо частина точок клітини належать області , а частина – ні, то назвемо клітину граничною. Площа внутрішньої клітини дорівнює добутку її сторін. В якості площі граничної клітини вважатимемо площу тієї її частини, яка потрапляє в середину. Цю площу будемо обчислювати наближено, замінюючи в межах даної комірки справжню границю області на хорду. Ці площі підставимо в (2) і обчислимо інтеграл.

Виходячи з того, що обчислення площі граничної клітин є досить трудомістким процесом (вимагає визначення положення границі в середині точки), то на практиці, зазвичай, з допомогою заміни змінних  перетворюють область інтегрування  в прямокутник виду  (це відноситься практично до всіх методів обчислення кратних інтегралів) або обчислюють інтеграли по граничних клітинах більш грубо, або взагалі не включати їх в суму (2). В такому випадку, для зменшення похибки обчислень, область інтегрування розбивають на дуже маленькі клітини.

Зауваження: метод клітин має другий порядок точності, як у напрямку , так і у напрямку . Тому згущення сітки по обох напрямках слід проводити однаково, тобто подвоювати кількість відрізків потрібно таким чином, щоб відношення  залишалося постійним.

Обчислення подвійних інтегралів методом клітин для випадку прямокутної області інтегрування – приклад:

За допомогою методу клітин знайти значення інтеграла , де  – область задана у вигляді прямокутника .

Для цього, як зазначалося вище, розіб’ємо область інтегрування, наприклад, на шістнадцять частин, і до кожної з них застосувати формулу (1). В результаті отримаємо:

Далі, просумувавши отримані значення знайдемо наближене значення подвійного інтеграла:

Обчислення подвійних інтегралів методом клітин для випадку криволінійної області інтегрування – приклад:

За допомогою методу клітин знайти значення подвійного інтеграла , де  – область задана у вигляді криволінійного чотирикутника виду .

Для цього, аналогічним чином, розіб’ємо область інтегрування на частини, і до кожної з них, центр якої міститься в заданій області , застосуємо формулу (1). В результаті отримаємо:

Далі, просумувавши отримані значення знайдемо наближене значення для заданого подвійного інтеграла:

Блок-схема алгоритму обчислення подвійних інтегралів методом клітин для прямокутної області інтегрування

Блок-схема алгоритму обчислення подвійних інтегралів методом клітин для криволінійної області інтегрування