Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, який сполучає його вершину з точкою на протилежній стороні і ділить даний кут на дві рівні частини. Кожний трикутник має три бісектриси.
Бісектриси трикутника перетинаються в точці О
Бісектриса характеризується наступними властивостями:
-
Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в точці
, що знаходиться врседині трикутника, рівновіддалена від трьох його сторін і є центром вписаного кола.
Дійсно, розглянемо, спочатку, точку перетину двох біссектрис, наприклад,
і
. Ця точка однаково віддалена від сторін
та
, так як вона лежить на бісектрисі кута
, і однаково віддалена від сторін
та
, оскільки належить бісектрисі кута
. Значить, вона однаково віддалена від сторін
та
і тим самим належить третій бісектрисі
, тобто в точці
перетинаються всі три бісектриси трикутника.
-
Бісектриса будь-якого кута трикутника
ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам. До прикладу, для бісектриси
, кута
матимемо:
.
Бісектриса AD кута A трикутника ABC
Доведемо дану властивість. Для цього, через вершину
проведемо пряму
, паралельну стороні
, до перетину в точці
з прямою
. Тоді,
, а отже
рівнобедрений і
. З подібності трикутників
і
маємо співвідношення
, звідки і випливає доказуване твердження.
-
Довжина
бісектриси
кута
трикутника
, рівного
, що міститься між сторонами
і
, визначається за формулою:
Для доведення даної властивості, запишемо площу трикутника
двома різними способами – перший спосіб – через сторони
,
і кут
, що міститься між ними, і другий – через суму площ трикутників
і
:
Прирівнюючи ці вирази, отримаємо:
або
Звідки і випливає зазначена вище формула для обчислення довжини бісектриси.
Бісектриса трикутника – приклади:
Приклад 1: у трикутнику проведено бісектриси
і
, які перетинаються в точці
. Знайти кут
, якщо
.
Бісектриса AD та BE трикутника ABC
Як відомо, сума кутів будь-якого трикутника дорівнює . Тому,
.
Розглянемо тепер трикутник . Так як
і
бісектриси кутів
і
відповідно, то
. Отже,
.
Приклад 2: бісектриса трикутника
ділить сторону
на відрізки
і
. Знайти сторону трикутника
, якщо відомо, що
.
Отже, як зазначалося вище, бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам. Тобто, в нашому випадку, матимемо .
Якщо в останню рівність підставити дані з умови задачі, то отримаємо , звідки
.
Приклад 3: діагоналі вписаного в коло чотирикутника перетинаються в точці
, причому
,
і
. Знайдіть площу чотирикутника
.
Зазначимо, що шукана площа визначається за формулою , де
– величина кута
.
Чотирикутник ABCD
Отже, з умови маємо
. Таким чином, в трикутнику
відрізок
ділить протилежну сторону
на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам. Значить,
– бісектриса трикутника
.
Тоді, і по теоремі синусів
, де
– радіус описаного навколо трикутника
кола, а якщо бути більш точним, то радіус заданого кола.
Розглянемо далі трикутник . Зазначимо, що даний трикутник являється подібним трикутнику
за двома кутами. Тоді,
і, по теоремі синусів, матимемо
, де
– величина кута
.
Звідси, шукана площа дорівнює