Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, який сполучає його вершину з точкою на протилежній стороні і ділить даний кут на дві рівні частини. Кожний трикутник має три бісектриси.

Бісектриси трикутника ABC

Бісектриси трикутника перетинаються в точці О

Бісектриса характеризується наступними властивостями:

  1. Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в точці , що знаходиться врседині трикутника, рівновіддалена від трьох його сторін і є центром вписаного кола.

    Дійсно, розглянемо, спочатку, точку перетину двох біссектрис, наприклад, і . Ця точка однаково віддалена від сторін та , так як вона лежить на бісектрисі кута , і однаково віддалена від сторін та , оскільки належить бісектрисі кута . Значить, вона однаково віддалена від сторін та і тим самим належить третій бісектрисі , тобто в точці перетинаються всі три бісектриси трикутника.

  2. Бісектриса будь-якого кута трикутника  ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам. До прикладу, для бісектриси , кута  матимемо: .

    Бісектриса кута А

    Бісектриса AD кута A трикутника ABC

    Доведемо дану властивість. Для цього, через вершину  проведемо пряму , паралельну стороні , до перетину в точці  з прямою . Тоді, , а отже  рівнобедрений і . З подібності трикутників  і  маємо співвідношення , звідки і випливає доказуване твердження.

  3. Довжина бісектриси кута трикутника , рівного , що міститься між сторонами і , визначається за формулою:

    Довжина бісектриси трикутника формула

    Для доведення даної властивості, запишемо площу трикутника двома різними способами – перший спосіб – через сторони , і кут , що міститься між ними, і другий – через суму площ трикутників і :

    Прирівнюючи ці вирази, отримаємо:

     або

    Звідки і випливає зазначена вище формула для обчислення довжини бісектриси.

Бісектриса трикутника – приклади:

Приклад 1: у трикутнику проведено бісектриси і , які перетинаються в точці . Знайти кут , якщо .

Бісектриси трикутника

Бісектриса AD та BE трикутника ABC

Як відомо, сума кутів будь-якого трикутника дорівнює . Тому, .

Розглянемо тепер трикутник . Так як і бісектриси кутів і  відповідно, то . Отже, .

Приклад 2: бісектриса  трикутника  ділить сторону на відрізки  і . Знайти сторону трикутника , якщо відомо, що .

Отже, як зазначалося вище, бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам. Тобто, в нашому випадку, матимемо .

Якщо в останню рівність підставити дані з умови задачі, то отримаємо , звідки .

Приклад 3: діагоналі вписаного в коло чотирикутника  перетинаються в точці , причому ,  і . Знайдіть площу чотирикутника .

Зазначимо, що шукана площа визначається за формулою , де  – величина кута .

Чотирикутник ABCD

Чотирикутник ABCD

Отже, з умови  маємо . Таким чином, в трикутнику  відрізок  ділить протилежну сторону  на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам. Значить,  – бісектриса трикутника .

Тоді,  і по теоремі синусів , де  – радіус описаного навколо трикутника  кола, а якщо бути більш точним, то радіус заданого кола.

Розглянемо далі трикутник . Зазначимо, що даний трикутник являється подібним трикутнику  за двома кутами. Тоді,  і, по теоремі синусів, матимемо , де  – величина кута .

Звідси, шукана площа дорівнює

Блок-схема алгоритму знаходження довжини бісектриси трикутника

Довжини бісектриси трикутника блок-схема

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*