Бісектриса трикутника, властивості та формула довжини

Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, який сполучає його вершину з точкою на протилежній стороні і ділить даний кут на дві рівні частини. Кожний трикутник має три бісектриси.

Бісектриси трикутника ABC

Бісектриси трикутника перетинаються в точці О

Бісектриса характеризується наступними властивостями:

Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в точці , що знаходиться врседині трикутника, рівновіддалена від трьох його сторін і є центром вписаного кола.

Дійсно, розглянемо, спочатку, точку перетину двох біссектрис, наприклад, і . Ця точка однаково віддалена від сторін та , так як вона лежить на бісектрисі кута , і однаково віддалена від сторін та , оскільки належить бісектрисі кута . Значить, вона однаково віддалена від сторін та і тим самим належить третій бісектрисі , тобто в точці перетинаються всі три бісектриси трикутника.
Бісектриса будь-якого кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам. До прикладу, для бісектриси , кута матимемо: .

Бісектриса AD кута A трикутника ABC

Доведемо дану властивість. Для цього, через вершину проведемо пряму , паралельну стороні , до перетину в точці з прямою . Тоді, , а отже рівнобедрений і . З подібності трикутників і маємо співвідношення , звідки і випливає доказуване твердження.
Довжина бісектриси кута трикутника , рівного , що міститься між сторонами і , визначається за формулою:

Для доведення даної властивості, запишемо площу трикутника двома різними способами – перший спосіб – через сторони , і кут , що міститься між ними, і другий – через суму площ трикутників і :

Прирівнюючи ці вирази, отримаємо:

або

Звідки і випливає зазначена вище формула для обчислення довжини бісектриси.

Бісектриса трикутника – приклади:

Приклад 1: у трикутнику проведено бісектриси і , які перетинаються в точці . Знайти кут , якщо .

Бісектриси трикутника

Бісектриса AD та BE трикутника ABC

Як відомо, сума кутів будь-якого трикутника дорівнює . Тому, .

Розглянемо тепер трикутник . Так як і бісектриси кутів і відповідно, то . Отже, .

Приклад 2: бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки і . Знайти сторону трикутника , якщо відомо, що .

Отже, як зазначалося вище, бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам. Тобто, в нашому випадку, матимемо .

Якщо в останню рівність підставити дані з умови задачі, то отримаємо , звідки .

Приклад 3: діагоналі вписаного в коло чотирикутника перетинаються в точці , причому , і . Знайдіть площу чотирикутника .

Зазначимо, що шукана площа визначається за формулою , де – величина кута .

Чотирикутник ABCD

Отже, з умови маємо . Таким чином, в трикутнику відрізок ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам. Значить, – бісектриса трикутника .

Тоді, і по теоремі синусів , де – радіус описаного навколо трикутника кола, а якщо бути більш точним, то радіус заданого кола.

Розглянемо далі трикутник . Зазначимо, що даний трикутник являється подібним трикутнику за двома кутами. Тоді, і, по теоремі синусів, матимемо , де – величина кута .