Друга інтерполяційна формула Ньютона

Другу інтерполяційну формулу Ньютона доцільно використовувати в тому випадку, коли інтерполяція функції здійснюється в кінці проміжку. Отже, розглянемо деяку функцію для якої відомі значення для рівновіддалених вузлів . Для отриманя другої інтерполяційної формули Ньютона, інтерполяційний поліном запишемо у наступному вигляді:

Використовуючи узагальнену степінь числа, даний поліном запишемо наступним чином:

Тобто, аналогічно першій інтерполяційній формулі Ньютона, задача полягає у знаходженні коефіцієнтів таким чином, щоб виконувалась умова .

Для цього, в формулі (1) покладемо . В результаті отримаємо .

Далі, для знаходження коефіцієнта , запишемо скінченну різниці першого порядку (див. перша інтерполяційна формула Ньютона) . Покладаючи в останній вираз отримаємо .

Анілогічно записавши другу скінченну різницю:

і поклавши , знаходимо коефіцієнт : .

Продовжуючи даний процес далі, отримаємо загальну формулу для обчислення шуканих коефіцієнтів: . Підставляючи дані значення у формулу (1) отримаємо:

Формула (2) називається другою інтерполяційною формулою Ньютона. Проте, для практичного використання формулу (2) записують в дещо іншому вигляді. Для цього вводять змінну . Тоді

Підставляючи дані значення в інтерполяційну формулу (2), отримаємо кінцевий варіант другої інтерполяційної формули Ньютона:

Друга інтерполяційна формула Ньютона – приклад:

Нехай функція  задана таблично:

Необхідно, скориставшись другою інтерполяційною формулою Ньютона, обчислити значення функції в точці , яка являється відмінною від заданих. Для цього, як і у випадку першої інтерполяційної формули Ньютона, на першому кроці, виконуємо обчислення скінченних різниць до шостого порядку включно:

1. 1. Скінченні різниці першого порядку:

1. 1. Скінченні різниці другого порядку:

1. 1. Скінченні різниці третього порядку:

1. 1. Скінченні різниці четвертого порядку:

1. 1. Скінченні різниці п’ятого порядку:

1. Скінченні різниці шостого порядку: .

Підставляючи отримані значення, значення з таблиці і точку , в кінцевий варіант другої інтерполяційної формули Ньютона, отримуємо наближене значення функції в заданій точці:

Блок-схема програмної реалізації другої інтерполяційної формули Ньютона: