Другу інтерполяційну формулу Ньютона доцільно використовувати в тому випадку, коли інтерполяція функції здійснюється в кінці проміжку. Отже, розглянемо деяку функцію для якої відомі значення для рівновіддалених вузлів . Для отриманя другої інтерполяційної формули Ньютона, інтерполяційний поліном запишемо у наступному вигляді:
Використовуючи узагальнену степінь числа, даний поліном запишемо наступним чином:
Тобто, аналогічно першій інтерполяційній формулі Ньютона, задача полягає у знаходженні коефіцієнтів таким чином, щоб виконувалась умова .
Для цього, в формулі (1) покладемо . В результаті отримаємо .
Далі, для знаходження коефіцієнта , запишемо скінченну різниці першого порядку (див. перша інтерполяційна формула Ньютона) . Покладаючи в останній вираз отримаємо .
Анілогічно записавши другу скінченну різницю:
і поклавши , знаходимо коефіцієнт : .
Продовжуючи даний процес далі, отримаємо загальну формулу для обчислення шуканих коефіцієнтів: . Підставляючи дані значення у формулу (1) отримаємо:
Формула (2) називається другою інтерполяційною формулою Ньютона. Проте, для практичного використання формулу (2) записують в дещо іншому вигляді. Для цього вводять змінну . Тоді
Підставляючи дані значення в інтерполяційну формулу (2), отримаємо кінцевий варіант другої інтерполяційної формули Ньютона:
Друга інтерполяційна формула Ньютона – приклад:
Нехай функція задана таблично:
Необхідно, скориставшись другою інтерполяційною формулою Ньютона, обчислити значення функції в точці , яка являється відмінною від заданих. Для цього, як і у випадку першої інтерполяційної формули Ньютона, на першому кроці, виконуємо обчислення скінченних різниць до шостого порядку включно:
-
- Скінченні різниці першого порядку:
-
- Скінченні різниці другого порядку:
-
- Скінченні різниці третього порядку:
-
- Скінченні різниці четвертого порядку:
-
- Скінченні різниці п’ятого порядку:
- Скінченні різниці шостого порядку: .
Підставляючи отримані значення, значення з таблиці і точку , в кінцевий варіант другої інтерполяційної формули Ньютона, отримуємо наближене значення функції в заданій точці: