Інтерполяція функції тригонометричними поліномами

Нехай  періодична і задана на осі функція. Шляхом лінійної заміни незалежної змінної період функції можна зробити рівним . У цьому випадку задану функцію доцільно інтерполювати тригонометричним поліномом:

таким що , де точки з проміжку . Поліном будемо називати тригонометричним поліномом порядку .

Нехай . Необхідно підібрати коефіцієнти полінома таким чином, щоб виконувались наступні рівності:

Тобто ми отримали систему рівнянь із невідомими . Як відомо, визначник даної системи відмінний від нуля, тому дана інтерполяційна задача має роз’язок, причому єдиний.

Для побудови полінома  візьмемо довільну точку , значення якої не збігається із значеннями вузлів , і для цих точок побудуємо систему з  лінійних і однорідних щодо коефіцієнтів  при  та рівнянь:

Отримана система має ненульовий розв’язок, і тому її визначник дорівнює нулу, тобто:

Розкладаючи його по елементах першого стовпця і розвя’зуючи відносно , отримаємо:

Таким чином ми отримали тригонометричний поліном порядку , який задовільняє умовам .

Інтерполяція функції тригонометричним поліномом – приклад:

Нехай маємо деяку періодичну функцію заданаї таблично:

Для даної функції знайдемо наближене значення в точцці , використовуючи для цього вище розглянутий тригонометричний інтерполяційний поліном (4). В результаті будемо мати:

Блок-схема алгоритму інтерполяції функції тригонометричним поліномом