Сума членів і властивості геометричної прогресії

Як і у випадку з арифметичною прогресією, при розгляді задач пов’язаних з геометричною прогресією основними являються два питання. Перше з них полягає у знаходженні будь-якого члена прогресії . І друге – у знаходженні суми членів прогресії. Виходячи з того, що відповідь на перше питання відома (обчислюється за формулою ), то, в даному параграфі, зосередимо свою увагу на виводі формули обчислення суми, але для початку, розглянемо та доведемо деякі властивості геометричної прогресії.

Кожен член знакододатної геометричній прогресії представляє собою середнє геометричне його сусідніх членів (виняток представляє перший член, а у скінченній прогресії також і останній (мають тільки по одному сусідньому члену)).

Доведемо істенність даного твердження. Отже, для члена , члени і будуть сусідніми. За означенням прогресії маємо: . Звідси, . Перемножимо ці рівності і візьмемо корінь квадратний з отриманого результату. В результаті будемо мати , що і треба було довести.
У скінченній геометричній прогресії добуток членів, рівновіддалених від її кінців, рівні між собою і дорівнюють добутку крайніх членів.

Доведемо дане твердження також. Так само як і для арифметичної прогресії, на -му місці від початку і від кінця геометричної прогресії, що має членів, перебувають члени і відповідно. Скориставшись формулою загального члена прогресії, знайдемо добуток цих елементів. В результаті будемо мати: . Звідси, виходячи з того, що , отримаємо , що і треба було довести.

Виведемо тепер формулу для суми членів скінченної геометричній прогресії, що містить членів. Отже, позначивши цю суму через , запишемо її вираз розташувавши члени прогресії по зростанню їх номерів:

Помножимо обидві частини цієї рівності на знаменник геометричної прогресії :

Далі, виходячи з того, що , остання рівність перепишеться у наступному вигляді:

Віднімемо тепер з отриманої рівності вираз . В результаті будемо мати:

Звідси, знаходимо формулу для обчислення суми членів геометричної прогресії (відмітимо, що в даній формулі передбачається, що ):

Зауваження: якщо у формулі (1), замість члена підставити його вираз через і знаменник , то формула суми членів геометричної прогресії перепишеться в дещо іншому вигляді:

Властивості та сума членів геометричної прогресії — приклади розв’язання:

Приклад 1: знайти суму семи членів геометричної прогресії, якщо її периший член і знаменник .

Отже, скориставшись формулою (2) (для даного випадку являється більш підходящою), отримаємо розв’язок поставленої задачі:

Приклад 2: три числа , в зазначеному порядку, утворюють спадну геометричну прогресію, причому, приймається що жодне з цих чисел не дорівнює нулю. Знайти значення невідомої та знаменник заданої прогресії.

Для цього, скориставшись першою з розглянутих вище властивостей, отримаємо:

Тобто, в результаті виконання даного кроку, поставлена задача зводиться до розв’язку квадратного рівняння, яке має два корені. Перевіримо, який з цих коренів є рішенням задачі. Отже, якщо , то виходить геометрична прогресія з знаменником . Якщо , то виходить прогресія з знаменником . Звідси, і .

Приклад 3: знайти десятий член геометричної прогресії, у якої і .

Для цього, на першому кроці, скориставшись формуло загального члена геометричної прогресії, будемо мати: або . З іншого боку, скориставшись формулою (2) (міститься вище), отримаємо наступне: