Властивості і сума членів арифметичної прогресії

Власне кажучи, знаючи теоретичний матеріал, що міститься в параграфі означення та формула обчислення -го члена арифметичної прогресії, можна знаходити розв’язок практично будь-якої задачі пов’язаної з арифметичною прогресією. Однак, уявіть ситуацію, що треба знайти суму арифметичної прогресії, що складається з ста елементів. Це що ж нам, один за одним додавати всі члени, з першого по останній? Зрозуміло, що такий підхід до рішення поставленої задачі є не досить зручним. В таких випадках використовується спеціальна формула, але перш ніж приступити до її виводу, розглянемо та доведемо необхідні для цього властивості арифметичної прогресії:

Кожен член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному його сусідніх членів (виняток становить перший член, а у скінченній прогресії також і останній (мають тільки по одному сусідньому члену)).

Покажемо істенність даного твердження. Отже, для члена , члени та будуть сусідніми. За означенням прогресії можемо записати наступне: . Звідси, . Взявши півсуму останніх рівностей, отримаємо , що і треба було довести.
У скінченній арифметичній прогресії суми членів, рівновіддалених від її кінців, рівні між собою і дорівнюють сумі крайніх членів.

Доведемо дане твердження також. Для цього, випишемо кілька пар членів, рівновіддалених від кінців прогресії: . Переглянувши отримані резільтати можна зробити висновок, що у кожної такої пари, сума їх номерів на одиницю більш числа членів прогресії. Таким чином, якщо на -му місці від початку прогресії знаходиться член , то на -му місці від її кінця знаходиться член . Скориставшись формулою загального члена арифметичної прогресії, знайдемо суму цих елементів:

Звідси, виходячи з того, що , отримаємо , що і треба було довести.

Виведемо тепер формулу для суми членів скінченної арифметичної прогресії. Для прогресії, що має членів, позначимо цю суму через . Запишемо вираз суми двічі, один раз розташувавши члени прогресії по зростанню їх номерів, і другий раз – по спаданню:

Складемо ці дві рівності:

Всього в правій частині є дужок. По властивості два, суми що містяться в цих дужках, рівні між собою і дорівнюють . Тому, , звідки:

Зауваження: якщо у формулі (1), замість підставити його вираз через і крок , то після простих перетворень отримаємо формулу для суми членів арифметичної прогресії в дещо іншому вигляді:

Властивості та сума членів арифметичної прогресії – приклади розв’язання:

Приклад 1: знайти суму перших десяти членів арифметичної прогресії, якщо і .

Отже, скориставшись формулою, яка, для даного випадку, є зручнішою, отримаємо розв’язок поставленої задачі:

Приклад 2: три числа , в зазначеному порядку, утворюють спадну арифметичну прогресію. Знайти значення невідомої та різницю заданої прогресії.

Для цього, скориставшись першою з розглянутих вище властивостей, отримаємо:

Тобто, в результаті виконання даного кроку, поставлена задача зводиться до розв’язку квадратного рівняння, яке має два корені. Перевіримо, який з цих коренів є рішенням задачі. Отже, якщо , то виходить спадна арифметична прогресія з ризніцею . Якщо , то виходить зростаюча прогресія з різницею . Звідси, і .

Приклад 3: тризначні числа, кратні числу одинадцять, утворюють арифметичну прогресію з першим членом і різницею . Знайти суму членів даної прогресії.

Для розв’язку поставленої задачі, на першому кроці, з’ясуємо скільки членів містить прогресія. Для цього, розв’яжемо нерівність наступного вигляду: . В результаті отримаємо: