Мітки: матриця обертання

Знаходження власних значень матриці використовуючи метод обертання

Метод обертання – поширений ітераційний метод розв’язування повної алгебраїчної проблеми власних значень і дозволяє, для симетричних матриць (нагадаємо, що матриця називається симетричною тоді і тільки тоді, коли ), вирішити задачу знаходження власних значень та відповідних їм власних векторів без використання характеристичних рівнянь.

Основна ідея методу обертання полягає в перетворенні початкової матриці так, щоб зберігаючи спектр власних значень отримати діагональну матрицю або близьку до неї. Перетворення з такими властивостями відоме як перетворення подібності , де – невироджена матриця.

Якщо додатково вимагатимемо ортогональності матриці , то, крім бажаного збереження спектра власних значень при перетворенні подібності необхідною умовою є ще й симетрія матриці перетворення.

Знайти безпосередньо таку матрицю , як правило, невдається, тому один із шляхів побудови перетворення подібності – ітераційний. Тобто, на кожному -му кроці методу обертання здійснюється перетворенням подібності, де використовується ортогональна матриця обертання . Ця матриця залежить від трьох параметрів і відрізняється від одиничної лише чотирма елементами із координатами відповідно.

Розв’язок СЛАР методом обертання засобами Delphi

Розглянемо програмну реалізацію, ще одного методу, який для розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівняняь (СЛАР) використовує ідею зведення матриці коефіцієнтів до трикутного вигляду. Як і в методі Гаусса, алгоритм методу обертання складається з прямого і оберненого ходу. Основна мета прямого ходу – приведення системи до трикутного вигляду послідовним обнуленням елементів, які розташовані нижче головної діагоналі. Знаходження невідомих не відрізняється від оберненого ходу методу Гаусса. Більш детально алгоритм методу обертання розглядати не будемо. Його можна знайти за посиланням Розв’язок СЛАР методом обертання. Ми ж приступимо до розгляду delphi-проекту, який реалізує даний алгоритм.

Після запуску проекту на виконання на екрані появиться вікно наступного виду:

Матриця повороту. Обертання точки (об’єкта) на площині

Двовимірним поворотом об’єкта називається його переміщення по круговій траєкторії на прлощині. Параметрами даного переміщення є кут повороту і деяка точка – центр обертання, тобто точка навколо якої здійснюється поворот даного об’єкта.

Поворот об’єкта на заданий кут навколо цннтру обертання

Для простоти, розглянемо спочатку операцію обертання точки на деякий кут, коли центр обертання міститься в початку системи координат.