Метод обертання – поширений ітераційний метод розв’язування повної алгебраїчної проблеми власних значень і дозволяє, для симетричних матриць (нагадаємо, що матриця називається симетричною тоді і тільки тоді, коли ), вирішити задачу знаходження власних значень та відповідних їм власних векторів без використання характеристичних рівнянь.
Основна ідея методу обертання полягає в перетворенні початкової матриці так, щоб зберігаючи спектр власних значень отримати діагональну матрицю
або близьку до неї. Перетворення з такими властивостями відоме як перетворення подібності
, де
– невироджена матриця.
Якщо додатково вимагатимемо ортогональності матриці , то, крім бажаного збереження спектра власних значень при перетворенні подібності необхідною умовою є ще й симетрія матриці перетворення.
Знайти безпосередньо таку матрицю , як правило, невдається, тому один із шляхів побудови перетворення подібності – ітераційний. Тобто, на кожному
-му кроці методу обертання здійснюється перетворенням подібності, де використовується ортогональна матриця обертання
. Ця матриця залежить від трьох параметрів
і відрізняється від одиничної лише чотирма елементами
із координатами
відповідно.
Таким чином, на кожному -му кроці методу обертання, маємо перетворення:
де . Оскільки матриці
– ортогональні, їх обернені матриці збігаються із транспонованими, що надзвичайно полегшує здійснення перетворень обертання, а саме:
Після того, як основна ідея методу відома, розглянемо, яким чином на кожній ітерації здійснюється пбудова матриці обертання, та за допомогою яких правил визначається кут обертання, тобто визначимося з вільними параметрами .
Отже, перш за все, як уже зазначалося, необхідно будувати процес (3) таким чином, щоб в кінцевому результаті матриця набула діагонального вигляду. Один із можливих варіантів досягнення цього полягає у обнуленні на кожному
-му кроці ітерацій найбільшого за модулем недіагонального елемента матриці
. Такий підхід визначає вільні координати
, як координати найбільшого за модулем недіагонального елемента матриці
. Крім того, з умови обнулення
також можна знайти третій, і останній, вільний параметр
. Для цього, спочатку, виведемо формули методу обертання для одного
-го кроку перетворень. Даний крок складається із двох послідовних процедур:
Очевидно, усі елементи матриці збігатимуться з відповідними елементами матриці
, крім елементів
-го та
-го стовпців, для яких легко отримаємо розрахункові формули:
Аналогічно, всі елементи матриці збігатимуться з відповідними елементами матриці
, крім елементів
-го та
-го рядків, для яких отримаємо розрахункові формули:
Після цього, переходимо до обнулення елемента з координатими . Для цього, скориставшись формулами (4), (5) та умовою симетричності матриць, запишемо наступни вираз:
Далі, прирівнявши вираз (6) до нуля, та розв’язавши отримане таким чином тригонометричне рівняння, визначимо формули для визначення параметра :
Ітераційний процес методу обертання слід продовжувати до тих пір, поки сума квадратів недіагональних елементів матриці не стане меншою або рівною заданій точності
, тобто:
Пісял того, як умова (8) виконується, в якості шуканих власних значень матриці беруться значення діагональних елементів матриці :
.
Зауваження: для визначення координатів власних векторів матриці , необхідно здійснити добуток послідовності матриць обертань, отриманих на кожному кроці ітерації методу обертання.
Власні значення матриці – приклад знаходження:
Для заданої симетричної матриці знайти власні значення використовуючи метод обертання. В якості точності обчислювального процесу взяти число
.
Отже, на першому кроці позначимо і виберемо найбільший по модулю недіагональний елемент:
. Після цього, скориставшись формулою (7) визначемо кут обертання:
Далі, знаходимо відповідну цьому елементу матрицю обертання та скориставшись формулою (3) визначимо елементи матриці
:
На останньому кроці першої ітерації, обчислимо суму квадратів недіагональних елементів матриці :
Отримана сума являється більшою за число , тому переходимо до наступної ітерації. Для цього, аналогічним чином, знайдемо найбільший по моділю позадіагональний елемент матриці
, визначимо кут обертання, побудуємо матрицю обертання та знайдемо наступне наближення:
Після виконання даного кроку ітерації ми також не досягнули заданої точності обчислень, тому продовжуємо ітераційний процес далі:
Таким чином, отримане на четвертій ітерації наближення задовільняє заданій точності і тому в якості шуканих власних значень можуть бути прийняті діагональні елементи матриці , тобто
.