Знаходження власних значень матриці використовуючи метод обертання

Метод обертання – поширений ітераційний метод розв’язування повної алгебраїчної проблеми власних значень і дозволяє, для симетричних матриць (нагадаємо, що матриця називається симетричною тоді і тільки тоді, коли ), вирішити задачу знаходження власних значень та відповідних їм власних векторів без використання характеристичних рівнянь.

Основна ідея методу обертання полягає в перетворенні початкової матриці  так, щоб зберігаючи спектр власних значень отримати діагональну матрицю  або близьку до неї. Перетворення з такими властивостями відоме як перетворення подібності , де  – невироджена матриця.

Якщо додатково вимагатимемо ортогональності матриці , то, крім бажаного збереження спектра власних значень при перетворенні подібності необхідною умовою є ще й симетрія матриці перетворення.

Знайти безпосередньо таку матрицю , як правило, невдається, тому один із шляхів побудови перетворення подібності – ітераційний. Тобто, на кожному -му кроці методу обертання здійснюється перетворенням подібності, де використовується ортогональна матриця обертання . Ця матриця залежить від трьох параметрів і відрізняється від одиничної лише чотирма елементами із координатами відповідно.

Таким чином, на кожному -му кроці методу обертання, маємо перетворення:

де . Оскільки матриці  – ортогональні, їх обернені матриці збігаються із транспонованими, що надзвичайно полегшує здійснення перетворень обертання, а саме:

Після того, як основна ідея методу відома, розглянемо, яким чином на кожній ітерації здійснюється пбудова матриці обертання, та за допомогою яких правил визначається кут обертання, тобто визначимося з вільними параметрами .

Отже, перш за все, як уже зазначалося, необхідно будувати процес (3) таким чином, щоб в кінцевому результаті матриця набула діагонального вигляду. Один із можливих варіантів досягнення цього полягає у обнуленні на  кожному  -му  кроці ітерацій  найбільшого за модулем  недіагонального елемента  матриці . Такий підхід  визначає вільні  координати , як координати найбільшого за модулем недіагонального елемента матриці . Крім того, з умови обнулення також можна знайти третій, і останній, вільний параметр . Для цього, спочатку, виведемо формули методу обертання для одного -го кроку перетворень. Даний крок складається із двох послідовних процедур:

Очевидно, усі елементи матриці збігатимуться з відповідними елементами матриці , крім елементів -го та -го стовпців, для яких легко отримаємо розрахункові формули:

Аналогічно, всі елементи матриці  збігатимуться з відповідними елементами матриці , крім елементів -го та -го рядків, для яких отримаємо розрахункові формули:

Після цього, переходимо до обнулення елемента з координатими . Для цього, скориставшись формулами (4), (5) та умовою симетричності матриць, запишемо наступни вираз:

Далі, прирівнявши вираз (6) до нуля, та розв’язавши отримане таким чином тригонометричне рівняння, визначимо формули для визначення параметра :

Ітераційний процес методу обертання слід продовжувати до тих пір, поки сума квадратів недіагональних елементів матриці  не стане меншою або рівною заданій точності , тобто:

Пісял того, як умова (8) виконується, в якості шуканих власних значень матриці беруться значення діагональних елементів матриці : .

Зауваження: для визначення координатів власних векторів матриці , необхідно здійснити добуток послідовності матриць обертань, отриманих на кожному кроці ітерації методу обертання.

Власні значення матриці – приклад знаходження:

Для заданої симетричної матриці  знайти власні значення використовуючи метод обертання. В якості точності обчислювального процесу взяти число .

Отже, на першому кроці позначимо  і виберемо найбільший по модулю недіагональний елемент: . Після цього, скориставшись формулою (7) визначемо кут обертання:

Далі, знаходимо відповідну цьому елементу матрицю обертання та скориставшись формулою (3) визначимо елементи матриці :

На останньому кроці першої ітерації, обчислимо суму квадратів недіагональних елементів матриці :

Отримана сума являється більшою за число , тому переходимо до наступної ітерації. Для цього, аналогічним чином, знайдемо найбільший по моділю позадіагональний елемент матриці , визначимо кут обертання, побудуємо матрицю обертання та знайдемо наступне наближення:

Після виконання даного кроку ітерації ми також не досягнули заданої точності обчислень, тому продовжуємо ітераційний процес далі:

Таким чином, отримане на четвертій ітерації наближення задовільняє заданій точності і тому в якості шуканих власних значень можуть бути прийняті діагональні елементи матриці , тобто .

Блок-схема алгоритму знаходження власних значень матриці використовуючи метод обертання