Криві Безьє. Основні поняття та властивості кривих Безьє
Векторні зображення складаються з контурів. Контури складаються із сегментів, обмежених вузлами. З декількох таких сегментів можна скласти, практично, будь-яку фігуру. Для опису контурів у програмах векторної графіки застосовують розроблені французьким математиком П'єром Безьє параметричні поліноміальні криві. Відмітимо, що криві та поверхні Безьє були використані у шістдесятих роках компанією «Рено» для комп'ютерного проектування форми кузовів автомобілів. На сьогодні вони широко використовуються в комп'ютерній графіці, автоматизованих системах управління виробництвом тощо. Квадратичні криві Безьє використовуються в шрифтах TrueType.
За заданим масивом вершин крива Безьє степеня
визначається за формулою:
де — базисні функції кривої Безьє, також відомі як поліноми Берштейна,
.
На рисунку що міститься нижче, зображено графіки вагових коефіцієнтів кривої Безьє при
.

Вагові функції Безьє-Берштейна при m = 3
Зауваження: деякі з властивостей поліномів Берштейна суттєво впливають на поведінку кривих Безьє. Наведемо основні з них: многочлени Бернштейна набувають невід'ємних значень; в сумі многочлени Берштейна дають одиницю, тобто для них виконується умова (2); поліноми Берштейна не залежать від вершин масиву , а залежать лише від кількості точок у ньому.
У скалярній формі рівняння (1) записується у наступному вигляді:
Точки та
називаються кінцевими, а точки
— контрольними. Ламана
, при цьому, називається контрольною або опорною.
Криві Безьє володіють рядом цікавих властивостей, завдяки чому вони широко застосовуються на практиці. Розглянемо основні з них:
- Степінь многочлена
, що визначає криву Безьє, на одиницю менший від кількості точок, що містяться у масиві
, тобто крива Безьє побудована на
-й точці задається многочленом степеня
.
- Порядок точок у масиві
суттєво впливає на вигляд кривої. Форма кривої Безьє повторює хід ламаної
. При зміні порядку точок повністю змінюється форма кривої.
- Перша та остання точки кривої збігаються з відповідними точками масиву
, тобто
і
.
- Оскільки
та
, то вектори дотичних у кінцях кривої Безьє, за напрямом, повністю збігаються з першою та останньою ланками опорної ламаної.
- Крива Безьє є гладкою кривою. Зокрема, першу похідну радіус-вектора
можна записати у вигляді:
- Оскільки для коефіцієнтів лінійної комбінації точок масиву
виконується умова (2), то Крива Безьє лежить в опуклій оболонці вершин даного масиву.
- Крива Безьє інваріантна відносно афінних перетворень. Тобто, побудувавши криву Безьє, над нею можна здійснити афінні перетворення і навпаки, спочатку здійснити афінні перетворення над опорними вершинами, а потім побудувати криву на нових вершинах. Якщо результати будуть однаковими, то кажуть, що крива є інваріантною відносно цього афінного перетворення. При цьому легко помітити, наприклад, що поворот опорних вершин і подальша побудова кривої займає менше часу, ніж поворот самої кривої. Нагадаємо, що афінні перетворення включають у себе поворот, розтягування, стиск, паралельне перенесення та їх можливі комбінації.
- Якщо у масив
додати хоча б одну вершину, то необхідно повністю перерахувати параметричні рівняння кривої Безьє.
- Зміна хоча б однієї точки в масиві
, приводить до помітної зміни всієї кривої Безьє.
- У формулі (1), що описує елементарну криву Безьє, немає вільних параметрів, тобто заданий масив однозначно визначає криву Безьє і немає жодної можливості якимось чином впливати на її форму.

Поведінка кубічної криві Безьє при зміні координат точки P2
Останній недолік можна усунути, якщо ввести до розгляду раціональні криві Безьє, які визначаються формулою:
де — вагові коефіцієнти, сума яких строго додатна.
Змінюючи параметри , можна керувати формою раціональних кривих Безьє. Якщо значення
велике, то крива
проходить близько до точки
, якщо
мале, то
проходить дальше від точки
. Якщо всі
рівні між собою, то одержується звичайна крива Безьє.
Побудова кривої Безьє — приклад:
Побудувати криву Безьє третього порядку, яка задається наступними опорними та контрольними точками: .

Крива Безьє третього порядку
Для цього, на першому кроці, скориставшись формулою (1), запишемо рівняння, яким описується крива Безьє, що визначається чотирма точками:
Після цього, записавши останній вираз у скалярній формі та підставивши замість невідомих відповідні координати контрольних та опорних точок, отримаємо розрахункові формули для обчислення значень та
кубічної кривої Безьє:
І на останньому кроці, рухаючись з деяким кроком, наприклад , кожен раз перераховуємо значення
та
, і таким чином визначаємо та малюємо черговий сегмент кривої (крива Безьє, що буде отримана в результаті виконання цих дій, зображена на рисунку що міститься вище).