Системы линейных уравнений возникают при решении ряда прикладных задач, описываемых
дифференциальными, интегральными или системами нелинейных (трансцендентных) уравнений.
Они могут появляться также в задачах математического программирования, статистической обработки данных, аппроксимации функций, при дискретизации краевых дифференциальных задач методом конечных разностей или методом конечных элементов.
Методы решения систем линейных уравнений можно разделить на две группы. К первой относятся точные методы. С помощью таких методов, в принципе, можно в результате конечного числа шагов получить точные значения неизвестных. При этом предполагается, что и коэффициенты в правой части, и элементы столбца свободных членов — числа точные, а все вычисления производятся без округлений.
Однако практически такое может произойти в исключительных случаях или может быть связвно с решением специального класса задач (например, когда решениями являются только целые числа). К подобным методам относятся:
- хорошо известный из курса алгебры метод Крамера (метод определителей);
- матричный метод (метод обратной матрицы);
- различные варианты метода исключений неизвестных (метод Гаусса, метод Гаусса с выбором главного элемента, метод Жордана-Гаусса);
- метод прогонки (предназначен для решения систем с трехдиагональной матрицей коэффициентов);
- метод Холецкого (также известен как метод квадратного корня и обычно используется если необходимо решить систему уравнений с симметричной матрицей коэффициентов);
- метод вращений;
- метод Хуасхолдера (метод отображений).
Практическое применение первых двух методов может оказаться неэффективным или вообще невозможным. Если попробовать решать систему 20 линейных уравнений с 20 неизвестными с помощью формул Крамера, то придется вычислить 21 определитель порядка 20, что приведет к выполнению примерно 138879579704209679979 умножений и сложений. Для выполнения этих вычислений на ЭВМ с быстродействыем 10^15 арифметических операций в секунду потребуется примерно 38 часов непрерывной работы.
С практической точки зрения при достаточно больших размерах системы матричное решения также является малопривлекательным, поскольку задача нахождения обратной матрицы сама по себе не проще задачи решения системы.
Ко второй группе методов решения систем линейных алгебраических уравнений относятся итерационные методы (также известны как приближенные методы).
Основная идея численных методов такого типа основана на использовании повторяющегося циклического процесса, в котором большая часть выполняемых вычислительных операций, в большинстве случаев, выполняется без округления. Такие методы позволяют получить значения неизвестных членов вектора с заранее заданной точностью, и исходя из этого, активно применяются при решении СЛАУ основная матрица которых имеет высокую размерность.
К известным итерационным методам относятся:
- метод Якоби (метод простой итерации);
- метод Зейделя;
- метод релаксации переменных;
- метод скорейшего спуска.
Итак, какой класс методов лучше? Однозначно на этот вопрос ответить нельзя. Итерационные методы более привлекательны с точки зрения объема вычислений и памяти, в том случае, когда решаются системы с матрицами больших размерностей. При небольших размерностях обычно используют прямые методы или методы в сочетании с итерационными.
Калькулятор решения систем линейных уравнений
С помощью данного онлайн калькулятора Вы можете решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Калькулятор не просто дает ответ задачи, но и приводит подробное решение систем линейных уравнений с пояснениями шагов которые позволяют понять алгоритм используемого метода, а также закрепить теоретический материал.
Отметим, что данный онлайн калькулятор дает возможность решить систему уравнений любым из следующих методов:
- решить СЛАУ методом Гаусса;
- решить СЛАУ методом простой итерации;
- решить СЛАУ методом Зейделя;
- решить СЛАУ методом обратной матрицы;
- решить СЛАУ методом LU факторизации.
Онлайн калькулятор «Решение систем линейных уравнений» работает в тестовом режиме. Пожелания и замечания пишите на mathros@ukr.net.