Метод Левер’є — це спосіб знаходити власні значення матриці через характеристичний многочлен. Його зручність у тому, що коефіцієнти цього многочлена можна обчислити не через пряме розкриття визначника, а через сліди степенів матриці. Далі розглянемо, як саме працює ця схема.
Власні Значення Матриці: Від Матриці до Характеристичного Многочлена
Нехай задано квадратну матрицю порядку \( n \):
\[
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix}.
\]
Щоб знайти власні значення матриці \( A \), потрібно скласти її характеристичний многочлен
\[
\chi(\lambda)=\det(\lambda\cdot I-A),
\]
де \( I \) — одинична матриця порядку \( n \).
У загальному вигляді цей многочлен можна записати так:
\[
\chi(\lambda)
=
\lambda^n
-\sigma_1\cdot \lambda^{n-1}
+\sigma_2\cdot \lambda^{n-2}
-\dots
+(-1)^n\cdot\sigma_n.
\]
Тоді власні значення матриці \( A \) знаходяться з рівняння
\[
\chi(\lambda)=0.
\]
Отже, головна задача методу — знайти коефіцієнти
\[
\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n.
\]
Звичайно, можна було б напряму розкривати визначник \( \det(\lambda\cdot I-A) \). Але чи завжди це зручно? Для матриць високого порядку такий підхід швидко стає громіздким. Саме тому метод Левер’є пропонує інший підхід.
Спочатку подивимося, що означають коефіцієнти \( \sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n \).
Нехай \( \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n \) — власні значення матриці \( A \), записані з урахуванням їхніх алгебраїчних кратностей. Тоді характеристичний многочлен можна подати у вигляді
\[
\chi(\lambda)
=
(\lambda-\lambda_1)\cdot
(\lambda-\lambda_2)\cdot
\dots\cdot
(\lambda-\lambda_n).
\]
Розкривши дужки, отримаємо такий многочлен:
\[
\begin{aligned}
\chi(\lambda)
=\lambda^n
-(\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n)\cdot \lambda^{n-1}
+\left(\sum_{1\le i<j\le n}\lambda_i\cdot\lambda_j\right)\cdot \lambda^{n-2} \\
-\left(\sum_{1\le i<j<k\le n}\lambda_i\cdot\lambda_j\cdot\lambda_k\right)\cdot \lambda^{n-3}
+\dots
+(-1)^n\cdot \lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\dots\cdot\lambda_n.
\end{aligned}
\]
Але цей самий характеристичний многочлен уже був записаний у вигляді
\[
\chi(\lambda)
=
\lambda^n
-\sigma_1\cdot \lambda^{n-1}
+\sigma_2\cdot \lambda^{n-2}
-\sigma_3\cdot \lambda^{n-3}
+\dots
+(-1)^n\cdot\sigma_n.
\]
Тепер порівняємо коефіцієнти при однакових степенях \( \lambda \). Саме з цього порівняння отримуємо, що коефіцієнти \( \sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n \) є елементарними симетричними функціями власних значень:
\[
\begin{gathered}
\sigma_1=\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n, \\[4pt]
\sigma_2=\sum_{1\le i<j\le n}\lambda_i\cdot\lambda_j, \\[4pt]
\sigma_3=\sum_{1\le i<j<k\le n}\lambda_i\cdot\lambda_j\cdot\lambda_k, \\[4pt]
\dots \\[4pt]
\sigma_n=\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\dots\cdot\lambda_n.
\end{gathered}
\]
Але тут є важливий момент. Самі власні значення ще невідомі. Тому напряму через ці формули коефіцієнти знайти не можна. Потрібен спосіб обчислити їх через саму матрицю \( A \). Саме до цього і переходить метод Левер’є.
Сліди Степенів Матриці: Як Отримати Потрібні Суми
Метод Левер’є використовує не окремі власні значення, а їхні степеневі суми. Позначимо
\[
S_k=
\lambda_1^k+\lambda_2^k+\dots+\lambda_n^k,
\qquad
k=1,2,\dots,n.
\]
Наприклад,
\[
\begin{gathered}
S_1=\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n, \\[4pt]
S_2=\lambda_1^2+\lambda_2^2+\dots+\lambda_n^2, \\[4pt]
S_3=\lambda_1^3+\lambda_2^3+\dots+\lambda_n^3.
\end{gathered}
\]
На перший погляд може здатися, що ці суми також неможливо знайти без власних значень. Але тут з’являється важлива властивість матриць.
Сума власних значень матриці дорівнює її сліду. Тому
\[
S_1=\operatorname{tr}(A).
\]
Оскільки слід матриці — це сума елементів її головної діагоналі, маємо
\[
S_1
=
\operatorname{tr}(A)
=
a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}
=
\sum_{i=1}^{n}a_{ii}.
\]
А що буде для степенів матриці? Власними значеннями матриці \( A^k \) є числа
\[
\lambda_1^k,\lambda_2^k,\dots,\lambda_n^k.
\]
Отже, сума цих чисел дорівнює сліду матриці \( A^k \). Тому
\[
S_k=\operatorname{tr}(A^k).
\]
Щоб записати це детальніше, позначимо елементи матриці \( A^k \) так:
\[
A^k=
\begin{pmatrix}
a_{11}^{(k)} & a_{12}^{(k)} & \dots & a_{1n}^{(k)} \\
a_{21}^{(k)} & a_{22}^{(k)} & \dots & a_{2n}^{(k)} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1}^{(k)} & a_{n2}^{(k)} & \dots & a_{nn}^{(k)}
\end{pmatrix}.
\]
Тоді для другого степеня матриці маємо
\[
S_2
=
\operatorname{tr}(A^2)
=
a_{11}^{(2)}+a_{22}^{(2)}+\dots+a_{nn}^{(2)}
=
\sum_{i=1}^{n}a_{ii}^{(2)}.
\]
Аналогічно для третього степеня:
\[
S_3
=
\operatorname{tr}(A^3)
=
a_{11}^{(3)}+a_{22}^{(3)}+\dots+a_{nn}^{(3)}
=
\sum_{i=1}^{n}a_{ii}^{(3)}.
\]
У загальному вигляді:
\[
S_k
=
\operatorname{tr}(A^k)
=
a_{11}^{(k)}+a_{22}^{(k)}+\dots+a_{nn}^{(k)}
=
\sum_{i=1}^{n}a_{ii}^{(k)},
\qquad
k=1,2,\dots,n.
\]
Тут потрібно бути уважним. Наприклад, \( \operatorname{tr}(A^2) \) — це слід матриці \( A^2 \). Спочатку потрібно знайти добуток \( A^2=A\cdot A \), а вже потім додати елементи головної діагоналі цієї нової матриці.
Іншими словами,
\[
\operatorname{tr}(A^2)
\neq
a_{11}^2+a_{22}^2+\dots+a_{nn}^2
\]
у загальному випадку. Це часта помилка, тому на неї варто звернути особливу увагу.
Таким чином, через матрицю \( A \) можна знайти величини
\[
S_1,S_2,\dots,S_n.
\]
А вже через них можна перейти до коефіцієнтів характеристичного многочлена.
Метод Левер’є: Послідовне Обчислення Коефіцієнтів
Тепер маємо все необхідне для основної частини методу. Відомі степеневі суми
\[
S_1,S_2,\dots,S_n,
\]
і потрібно знайти коефіцієнти
\[
\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n.
\]
Для цього використовують тотожності Ньютона, або формули Ньютона–Жирара. Вони пов’язують степеневі суми власних значень \( S_k \) з коефіцієнтами характеристичного многочлена \( \sigma_k \).
Для нашого запису характеристичного многочлена ці формули мають вигляд:
\[
\begin{gathered}
S_1-\sigma_1=0, \\[4pt]
S_2-\sigma_1\cdot S_1+2\cdot\sigma_2=0, \\[4pt]
S_3-\sigma_1\cdot S_2+\sigma_2\cdot S_1-3\cdot\sigma_3=0, \\[4pt]
S_4-\sigma_1\cdot S_3+\sigma_2\cdot S_2-\sigma_3\cdot S_1+4\cdot\sigma_4=0.
\end{gathered}
\]
Далі формули продовжуються за тим самим правилом. У загальному вигляді:
\[
S_k
-\sigma_1\cdot S_{k-1}
+\sigma_2\cdot S_{k-2}
-\dots
+(-1)^{k-1}\cdot\sigma_{k-1}\cdot S_1
+(-1)^k\cdot k\cdot\sigma_k
=0.
\]
З цих рівностей можна послідовно знаходити коефіцієнти характеристичного многочлена.
Із першої формули маємо:
\[
\sigma_1=S_1.
\]
Оскільки
\[
S_1=\operatorname{tr}(A),
\]
то
\[
\sigma_1=\operatorname{tr}(A).
\]
Із другої формули:
\[
S_2-\sigma_1\cdot S_1+2\cdot\sigma_2=0.
\]
Звідси
\[
\sigma_2=
\frac{1}{2}\cdot
(\sigma_1\cdot S_1-S_2).
\]
Із третьої формули:
\[
S_3-\sigma_1\cdot S_2+\sigma_2\cdot S_1-3\cdot\sigma_3=0.
\]
Тому
\[
\sigma_3=
\frac{1}{3}\cdot
(\sigma_2\cdot S_1-\sigma_1\cdot S_2+S_3).
\]
Із четвертої формули аналогічно отримуємо:
\[
\sigma_4=
\frac{1}{4}\cdot
(\sigma_3\cdot S_1-\sigma_2\cdot S_2+\sigma_1\cdot S_3-S_4).
\]
Кожний наступний коефіцієнт обчислюється через уже знайдені попередні коефіцієнти та сліди степенів матриці. Саме тому метод Левер’є є послідовним: спочатку \( \sigma_1 \), потім \( \sigma_2 \), далі \( \sigma_3 \), і так до \( \sigma_n \).
У загальному вигляді рекурентна формула має такий вигляд:
\[
\sigma_k=
\frac{1}{k}\cdot
\left(
\sigma_{k-1}\cdot S_1
-\sigma_{k-2}\cdot S_2
+\sigma_{k-3}\cdot S_3
-\dots
+(-1)^{k-1}\cdot\sigma_0\cdot S_k
\right),
\]
де
\[
k=1,2,\dots,n,
\qquad
\sigma_0=1.
\]
Після знаходження всіх коефіцієнтів складаємо характеристичний многочлен
\[
\chi(\lambda)
=
\lambda^n
-\sigma_1\cdot \lambda^{n-1}
+\sigma_2\cdot \lambda^{n-2}
-\dots
+(-1)^n\cdot\sigma_n.
\]
Далі власні значення матриці знаходяться як корені характеристичного рівняння
\[
\chi(\lambda)=0.
\]
Отже, метод Левер’є зводить знаходження власних значень до трьох основних дій: обчислити сліди степенів матриці, за ними знайти коефіцієнти характеристичного многочлена і розв’язати характеристичне рівняння.
Практична Частина: Як Знайти Власні Значення Методом Левер’є
Тепер розглянемо, як метод Левер’є застосовується на практиці. У кожному прикладі будемо діяти послідовно: спочатку знайдемо сліди степенів матриці, потім обчислимо коефіцієнти характеристичного многочлена, а після цього знайдемо його корені.
Приклад 1. Знайти власні значення матриці
\[
A=
\begin{pmatrix}
4 & 1\\
2 & 3
\end{pmatrix}.
\]
Для матриці другого порядку характеристичний многочлен має вигляд
\[
\chi(\lambda)
=
\lambda^2-\sigma_1\cdot\lambda+\sigma_2.
\]
Тому потрібно знайти коефіцієнти \( \sigma_1,\sigma_2 \).
Спочатку обчислюємо першу степеневу суму:
\[
S_1=\operatorname{tr}(A)=4+3=7.
\]
Отже,
\[
\sigma_1=S_1=7.
\]
Далі знаходимо \( A^2 \):
\[
A^2=
\begin{pmatrix}
4 & 1\\
2 & 3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
4 & 1\\
2 & 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
18 & 7\\
14 & 11
\end{pmatrix}.
\]
Тепер обчислюємо слід матриці \( A^2 \):
\[
S_2=\operatorname{tr}(A^2)=18+11=29.
\]
За формулою Левер’є маємо
\[
\sigma_2=
\frac{1}{2}\cdot(\sigma_1\cdot S_1-S_2).
\]
Підставляємо знайдені значення:
\[
\sigma_2=
\frac{1}{2}\cdot(7\cdot7-29)
=
\frac{1}{2}\cdot(49-29)
=
10.
\]
Отже, характеристичний многочлен має вигляд
\[
\chi(\lambda)
=
\lambda^2-7\cdot\lambda+10.
\]
Знайдемо його корені:
\[
\lambda^2-7\cdot\lambda+10=0.
\]
Розкладемо квадратний тричлен на множники:
\[
\lambda^2-7\cdot\lambda+10
=
(\lambda-2)\cdot(\lambda-5).
\]
Тому
\[
(\lambda-2)\cdot(\lambda-5)=0.
\]
Звідси отримуємо власні значення:
\[
\lambda_1=2,
\qquad
\lambda_2=5.
\]
Приклад 2. Знайти власні значення матриці
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}.
\]
Для матриці третього порядку характеристичний многочлен записуємо так:
\[
\chi(\lambda)
=
\lambda^3
-\sigma_1\cdot\lambda^2
+\sigma_2\cdot\lambda
-\sigma_3.
\]
Отже, потрібно знайти три коефіцієнти \( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 \).
Починаємо зі сліду матриці \( A \):
\[
S_1=\operatorname{tr}(A)=2+2+3=7.
\]
Тому
\[
\sigma_1=S_1=7.
\]
Далі обчислюємо \( A^2 \):
\[
A^2=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5 & 4 & 0\\
4 & 5 & 0\\
0 & 0 & 9
\end{pmatrix}.
\]
Знаходимо другу степеневу суму:
\[
S_2=\operatorname{tr}(A^2)=5+5+9=19.
\]
Тепер знаходимо другий коефіцієнт:
\[
\sigma_2=
\frac{1}{2}\cdot(\sigma_1\cdot S_1-S_2).
\]
Підставляємо значення:
\[
\sigma_2=
\frac{1}{2}\cdot(7\cdot7-19)
=
\frac{1}{2}\cdot(49-19)
=
15.
\]
Переходимо до третього коефіцієнта. Для цього потрібно знайти \( A^3 \). Множимо матрицю \( A^2 \) на матрицю \( A \):
\[
A^3=A^2\cdot A.
\]
Маємо
\[
A^3=
\begin{pmatrix}
5 & 4 & 0\\
4 & 5 & 0\\
0 & 0 & 9
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
14 & 13 & 0\\
13 & 14 & 0\\
0 & 0 & 27
\end{pmatrix}.
\]
Отже,
\[
S_3=\operatorname{tr}(A^3)=14+14+27=55.
\]
Тепер використовуємо формулу
\[
\sigma_3=
\frac{1}{3}\cdot
(\sigma_2\cdot S_1-\sigma_1\cdot S_2+S_3).
\]
Підставляємо знайдені значення:
\[
\sigma_3=
\frac{1}{3}\cdot
(15\cdot7-7\cdot19+55).
\]
Обчислюємо:
\[
\sigma_3=
\frac{1}{3}\cdot
(105-133+55)
=
\frac{27}{3}
=
9.
\]
Отже,
\[
\sigma_1=7,
\qquad
\sigma_2=15,
\qquad
\sigma_3=9.
\]
Тому характеристичний многочлен має вигляд
\[
\chi(\lambda)
=
\lambda^3-7\cdot\lambda^2+15\cdot\lambda-9.
\]
Знайдемо корені рівняння
\[
\lambda^3-7\cdot\lambda^2+15\cdot\lambda-9=0.
\]
Розкладемо многочлен на множники:
\[
\lambda^3-7\cdot\lambda^2+15\cdot\lambda-9
=
(\lambda-1)\cdot(\lambda-3)^2.
\]
Тому
\[
(\lambda-1)\cdot(\lambda-3)^2=0.
\]
Звідси
\[
\lambda_1=1,
\qquad
\lambda_2=3,
\qquad
\lambda_3=3.
\]
Приклад 3. Знайти власні значення матриці
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0\\
1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}.
\]
Для матриці четвертого порядку характеристичний многочлен має вигляд
\[
\chi(\lambda)
=
\lambda^4
-\sigma_1\cdot\lambda^3
+\sigma_2\cdot\lambda^2
-\sigma_3\cdot\lambda
+\sigma_4.
\]
Тому потрібно знайти коефіцієнти \( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4 \).
Завдяки нульовим елементам множення матриць тут виконується відносно зручно, але алгоритм залишається тим самим.
Починаємо з першої степеневої суми:
\[
S_1=\operatorname{tr}(A)=2+2+3+3=10.
\]
Звідси
\[
\sigma_1=S_1=10.
\]
Далі знаходимо \( A^2 \):
\[
A^2=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0\\
1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0\\
1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5 & 4 & 0 & 0\\
4 & 5 & 0 & 0\\
0 & 0 & 10 & 6\\
0 & 0 & 6 & 10
\end{pmatrix}.
\]
Тому
\[
S_2=\operatorname{tr}(A^2)=5+5+10+10=30.
\]
Знаходимо другий коефіцієнт:
\[
\sigma_2=
\frac{1}{2}\cdot(\sigma_1\cdot S_1-S_2).
\]
Підставляємо знайдені значення:
\[
\sigma_2=
\frac{1}{2}\cdot(10\cdot10-30)
=
\frac{1}{2}\cdot70
=
35.
\]
Тепер обчислюємо \( A^3 \). Для цього множимо матрицю \( A^2 \) на матрицю \( A \):
\[
A^3=A^2\cdot A.
\]
Отримуємо
\[
A^3=
\begin{pmatrix}
5 & 4 & 0 & 0\\
4 & 5 & 0 & 0\\
0 & 0 & 10 & 6\\
0 & 0 & 6 & 10
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0\\
1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
14 & 13 & 0 & 0\\
13 & 14 & 0 & 0\\
0 & 0 & 36 & 28\\
0 & 0 & 28 & 36
\end{pmatrix}.
\]
Отже,
\[
S_3=\operatorname{tr}(A^3)=14+14+36+36=100.
\]
Третій коефіцієнт знаходимо за формулою
\[
\sigma_3=
\frac{1}{3}\cdot
(\sigma_2\cdot S_1-\sigma_1\cdot S_2+S_3).
\]
Підставляємо значення:
\[
\sigma_3=
\frac{1}{3}\cdot
(35\cdot10-10\cdot30+100).
\]
Отже,
\[
\sigma_3=
\frac{1}{3}\cdot
(350-300+100)
=
\frac{150}{3}
=
50.
\]
Залишилось знайти четвертий коефіцієнт. Для цього обчислюємо \( A^4 \). Множимо матрицю \( A^3 \) на матрицю \( A \):
\[
A^4=A^3\cdot A.
\]
Маємо
\[
A^4=
\begin{pmatrix}
14 & 13 & 0 & 0\\
13 & 14 & 0 & 0\\
0 & 0 & 36 & 28\\
0 & 0 & 28 & 36
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0\\
1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
41 & 40 & 0 & 0\\
40 & 41 & 0 & 0\\
0 & 0 & 136 & 120\\
0 & 0 & 120 & 136
\end{pmatrix}.
\]
Тому
\[
S_4=\operatorname{tr}(A^4)=41+41+136+136=354.
\]
Для четвертого коефіцієнта використовуємо формулу
\[
\sigma_4=
\frac{1}{4}\cdot
(\sigma_3\cdot S_1-\sigma_2\cdot S_2+\sigma_1\cdot S_3-S_4).
\]
Підставляємо:
\[
\sigma_4=
\frac{1}{4}\cdot
(50\cdot10-35\cdot30+10\cdot100-354).
\]
Обчислюємо:
\[
\sigma_4=
\frac{1}{4}\cdot
(500-1050+1000-354)
=
\frac{96}{4}
=
24.
\]
Отже, отримали коефіцієнти:
\[
\sigma_1=10,
\qquad
\sigma_2=35,
\qquad
\sigma_3=50,
\qquad
\sigma_4=24.
\]
Тому характеристичний многочлен має вигляд
\[
\chi(\lambda)
=
\lambda^4
-10\cdot\lambda^3
+35\cdot\lambda^2
-50\cdot\lambda
+24.
\]
Знайдемо його корені:
\[
\lambda^4
-10\cdot\lambda^3
+35\cdot\lambda^2
-50\cdot\lambda
+24
=0.
\]
Розкладемо многочлен на множники:
\[
\lambda^4
-10\cdot\lambda^3
+35\cdot\lambda^2
-50\cdot\lambda
+24
=
(\lambda-1)\cdot(\lambda-2)\cdot(\lambda-3)\cdot(\lambda-4).
\]
Тому
\[
(\lambda-1)\cdot(\lambda-2)\cdot(\lambda-3)\cdot(\lambda-4)=0.
\]
Звідси отримуємо власні значення:
\[
\lambda_1=1,
\qquad
\lambda_2=2,
\qquad
\lambda_3=3,
\qquad
\lambda_4=4.
\]
Що Варто Розглянути Далі: Методи, Які Доповнюють Тему
Після методу Левер’є варто порівняти його з іншими підходами до знаходження власних значень. Так легше побачити, чим різні алгоритми відрізняються між собою і коли кожен із них зручний.
- Метод Данилевського: Перехід до форми Фробеніуса — У статті йтиметься про перетворення матриці до форми Фробеніуса та знаходження власних значень через її многочлен.
- Метод Крилова: Вектори та характеристичний многочлен — У статті буде показано, як через послідовність векторів побудувати систему для коефіцієнтів характеристичного многочлена.
- Метод Фадєєва: Коефіцієнти через матричні обчислення — У статті розглядатиметься алгоритм, який дає змогу знаходити коефіцієнти многочлена через обчислення допоміжних матриць.
Власні Значення Матриці: Перетворіть Метод Левер’є на Код
Якщо вам подобається програмування, метод Левер’є можна розглядати не лише як теоретичний матеріал, а й як готовий алгоритм для реалізації. Блок-схема нижче допомагає побачити всю логіку програми: від введення елементів матриці до побудови характеристичного многочлена і знаходження власних значень. Спробуйте перенести цей алгоритм у Pascal, Python, C++ або іншу мову, з якою вам зручно працювати, — так формули отримують практичне застосування і перетворюються на зручний інструмент для обчислень.
