Процес знаходження власних значень за методом Левер’є ділиться на два етапи: розкриття характеристичного многочлена та знаходження його коренів. Розглянемо дані етапи більш детально. Для цього, розглянемо матрицю , для якої запишемо характеристичний многочлен у наступному вигляді:
де корені даного многочлена. Розкладемо многочлен (1) на лінійні множники. В результаті отримаємо:
Перемноживши далі вирази, які містяться в правій частині (2), звівши подібні члени та прирівнявши їх з відповідними коефіцієнтами з (1), отримаємо формули, які виражають коефіцієнти характеристичного мнгочлена через його корені:
де – елементарні симетричні функції коренів характеристичного многочлена.
Розглянемо також наступні симетричні функції коренів . З курсу вищої алгебри відомо, що і пов’язані наступним співвідношенням:
З даного співвідношення знаходимо формули для обчислення коефіцієнтів многочлена (1):
де – слід матриці ; – слід матриці ;…; – слід матриці .
Таким чином, схема розкриття вікового визначника за методом Левер’є вельми проста, а саме: спочатку обчислюються – степені матриці , після чого знаходяться відповідні – суми елементів головних діагоналей матриць і, нарешті, за формулами (6) визначаються шукані коефіцієнти .
Власні значення матриці – приклад знаходження:
Використовуючи розглянутий вище алгоритм методу Левер’є, знайти власні значення наступної матриці:
Для визначення коефіцієнтів характеристичного рівняння заданої матриці, на першому кроці, обчислимо степені матриці . В результаті отримаємо:
Після цього, для кожної отриманої матриці, та самої матриці знайдемо суму діагональних елементів, тобто для кожної з матриць, обчислимо таку величину, як слід матриці:
Далі, скориставшись формулами (6) обчислюємо значення коефіцієнтів характеристичного многочлена:
Таким чином ми отримали рівняння, розв’язавши яке, наприклад методом послідовних наближень з використанням схеми Горнера, отримаємо власні значення матриці :