У курсі чисельних методів власні значення та власні вектори матриці допомагають зрозуміти, як квадратна матриця діє на вектори. Ця тема важлива для аналізу лінійних перетворень, дослідження стійкості процесів і розв’язування багатьох прикладних задач. Тому спочатку варто розібратися з основними означеннями, а вже потім перейти до характеристичного рівняння та методу його побудови через визначник.
Власні Значення та Власні Вектори Матриці: Основні Поняття
Нехай задано квадратну матрицю \( A \) порядку \( n \). Власним значенням матриці \( A \) називають таке число \( \lambda \), для якого існує ненульовий вектор \( x \), що задовольняє рівняння
\[
A\cdot x=\lambda \cdot x.
\]
Вектор \( x \) у цьому випадку називають власним вектором матриці \( A \), що відповідає власному значенню \( \lambda \). При цьому обов’язково має виконуватися умова
\[
x\neq 0.
\]
Чому нульовий вектор не підходить? Тому що він не дає корисної інформації про дію матриці. Для будь-якої матриці \( A \) нульовий вектор переходить у нульовий вектор. Отже, він не показує жодної особливої властивості матриці.
Зміст рівності
\[
A\cdot x=\lambda \cdot x
\]
полягає в тому, що дія матриці \( A \) на вектор \( x \) зводиться до множення цього вектора на число \( \lambda \). Якщо \( \lambda>0 \), вектор залишається напрямленим уздовж тієї самої прямої. Якщо \( \lambda<0 \), він переходить у протилежно напрямлений вектор на тій самій прямій. Якщо \( \lambda=0 \), матриця переводить відповідний ненульовий вектор у нульовий.
Отже, власне значення показує числовий результат дії матриці на певний напрям, а власний вектор задає сам цей напрям.
Характеристичне Рівняння: Перехід Від Означення До Обчислень
Тепер потрібно зрозуміти, як із означення перейти до обчислень. Почнемо з основного рівняння:
\[
A\cdot x=\lambda \cdot x.
\]
Ліва частина цього рівняння вже має матричний вигляд: матриця \( A \) множиться на вектор \( x \). А в правій частині число \( \lambda \) множиться на вектор \( x \). Щоб обидві частини мали однакову структуру, праву частину зручно записати через одиничну матрицю \( E \).
Чому це можна зробити? Одинична матриця не змінює вектор, тобто \( E\cdot x=x \). Тому добуток \( \lambda \cdot x \) можна записати так:
\[
\lambda \cdot x=\lambda\cdot E\cdot x.
\]
Отже, початкове рівняння набуває вигляду
\[
A\cdot x=\lambda\cdot E\cdot x.
\]
Тепер перенесемо праву частину вліво:
\[
A\cdot x-\lambda\cdot E\cdot x=0.
\]
Оскільки в обох доданках є вектор \( x \), його можна винести за дужки:
\[
(A-\lambda\cdot E)\cdot x=0.
\]
Ми отримали однорідну систему лінійних рівнянь. Але нас цікавить не нульовий, а ненульовий розв’язок. Коли така система має ненульовий розв’язок? Це можливо тоді, коли визначник її матриці дорівнює нулю:
\[
\det(A-\lambda\cdot E)=0.
\]
Це рівняння називають характеристичним рівнянням матриці \( A \), а вираз
\[
\det(A-\lambda\cdot E)
\]
називають характеристичним визначником.
Корені характеристичного рівняння є власними значеннями матриці:
\[
\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n.
\]
Проте важливо не змішувати два етапи. Характеристичне рівняння дає власні значення, але ще не дає самі власні вектори. Щоб знайти власні вектори, кожне знайдене значення \( \lambda_i \) підставляють у систему
\[
(A-\lambda_i \cdot E)\cdot x=0.
\]
Ненульові розв’язки цієї системи і є власними векторами, які відповідають власному значенню \( \lambda_i \).
Метод Розкриття Характеристичного Визначника: Алгоритм Та Обмеження
Отримане рівняння
\[
\det(A-\lambda\cdot E)=0
\]
потрібно перетворити на звичайне алгебраїчне рівняння відносно \( \lambda \). Саме для цього розкривають характеристичний визначник. Після розкриття отримують многочлен відносно \( \lambda \), який називають характеристичним многочленом матриці \( A \):
\[
P(\lambda)=\det(A-\lambda\cdot E).
\]
Для квадратної матриці порядку \( n \) характеристичний многочлен є многочленом \( n \)-го степеня відносно \( \lambda \). Тому характеристичне рівняння записують так:
\[
P(\lambda)=0.
\]
У загальному вигляді характеристичний многочлен можна подати формулою
\[
P(\lambda)=
(-1)^n\cdot
\left(
\lambda^n-\sigma_1\cdot\lambda^{n-1}
+\sigma_2\cdot\lambda^{n-2}
-\dots
+(-1)^n\cdot\sigma_n
\right).
\]
Тут коефіцієнти \( \sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n \) пов’язані з головними мінорами матриці \( A \).
Наприклад, коефіцієнт \( \sigma_1 \) дорівнює сумі елементів головної діагоналі:
\[
\sigma_1=\sum_{\alpha=1}^{n}a_{\alpha\alpha}.
\]
Цю величину також називають слідом матриці.
Коефіцієнт \( \sigma_2 \) дорівнює сумі всіх головних мінорів другого порядку:
\[
\sigma_2=
\sum_{\alpha<\beta}
\begin{vmatrix}
a_{\alpha\alpha} & a_{\alpha\beta} \\
a_{\beta\alpha} & a_{\beta\beta}
\end{vmatrix}.
\]
Коефіцієнт \( \sigma_3 \) дорівнює сумі всіх головних мінорів третього порядку:
\[
\sigma_3=
\sum_{\alpha<\beta<\gamma}
\begin{vmatrix}
a_{\alpha\alpha} & a_{\alpha\beta} & a_{\alpha\gamma} \\
a_{\beta\alpha} & a_{\beta\beta} & a_{\beta\gamma} \\
a_{\gamma\alpha} & a_{\gamma\beta} & a_{\gamma\gamma}
\end{vmatrix}.
\]
У загальному випадку \( \sigma_k \) — це сума всіх головних мінорів \( k \)-го порядку. Останній коефіцієнт дорівнює визначнику матриці:
\[
\sigma_n=\det(A).
\]
Ці формули показують теоретичну будову характеристичного многочлена. Іншими словами, коефіцієнти цього многочлена можна пов’язати з головними мінорами матриці. Проте під час розв’язування конкретних задач другого або третього порядку зазвичай простіше діяти безпосередньо: розкрити визначник
\[
\det(A-\lambda\cdot E),
\]
звести подібні доданки й отримати характеристичне рівняння. Саме такий шлях найчастіше використовують у практичних обчисленнях.
Послідовність методу розкриття характеристичного визначника можна подати так:
- Побудувати матрицю \( A-\lambda\cdot E \).
- Знайти характеристичний визначник \( \det(A-\lambda\cdot E) \).
- Розкрити цей визначник відносно \( \lambda \) та отримати характеристичний многочлен \( P(\lambda) \).
- Розв’язати характеристичне рівняння \( P(\lambda)=0 \). Його корені є власними значеннями матриці.
- Для кожного знайденого власного значення \( \lambda_i \) скласти систему \( (A-\lambda_i\cdot E)\cdot x=0 \) і знайти її ненульові розв’язки. Саме вони є власними векторами.
Отже, метод розкриття характеристичного визначника має чітку послідовність дій. Він показує зв’язок між матрицею, характеристичним рівнянням, власними значеннями та власними векторами. Водночас цей підхід найкраще застосовувати для матриць малих порядків, наприклад \( 2\times 2 \) або \( 3\times 3 \). Для більших матриць розкриття визначника стає громіздким, тому в чисельних методах часто використовують спеціальні алгоритми для ефективнішого розв’язування таких задач.
Власні Значення та Власні Вектори Матриці: Практична Частина
У цьому розділі застосуємо описану вище послідовність до конкретних матриць. На прикладах буде видно, як характеристичне рівняння приводить до власних значень, а відповідні однорідні системи — до власних векторів.
Приклад 1. Знайти власні значення та власні вектори матриці
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix}.
\]
Спочатку запишемо матрицю \( A-\lambda\cdot E \). Оскільки
\[
E=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\]
то маємо
\[
A-\lambda\cdot E=
\begin{pmatrix}
2-\lambda & 1 \\
1 & 2-\lambda
\end{pmatrix}.
\]
Тепер складемо характеристичне рівняння:
\[
\det(A-\lambda\cdot E)=0.
\]
Отже,
\[
\begin{vmatrix}
2-\lambda & 1 \\
1 & 2-\lambda
\end{vmatrix}
=0.
\]
Обчислимо визначник:
\[
(2-\lambda)\cdot (2-\lambda)-1\cdot 1=0.
\]
Тобто
\[
(2-\lambda)^2-1=0.
\]
Розкриємо дужки:
\[
4-4\cdot\lambda+\lambda^2-1=0.
\]
Після зведення подібних доданків отримаємо
\[
\lambda^2-4\cdot\lambda+3=0.
\]
Розкладемо квадратний тричлен на множники:
\[
\lambda^2-4\cdot\lambda+3=(\lambda-1)\cdot(\lambda-3).
\]
Тому
\[
(\lambda-1)\cdot(\lambda-3)=0.
\]
Звідси маємо два власні значення:
\[
\lambda_1=1,
\qquad
\lambda_2=3.
\]
Тепер знайдемо власні вектори.
Для власного значення \( \lambda_1=1 \) розглянемо систему
\[
(A-\lambda_1 \cdot E)\cdot x=0.
\]
Маємо
\[
A-E=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Отже,
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]
Звідси отримуємо рівняння
\[
x_1+x_2=0.
\]
Тому \( x_1=-x_2 \). Виберемо, наприклад, \( x_2=1 \). Тоді \( x_1=-1 \).
Отже, один із власних векторів, що відповідає власному значенню \( \lambda_1=1 \), має вигляд
\[
x^{(1)}=
\begin{pmatrix}
-1 \\
1
\end{pmatrix}.
\]
Зауваження (чому власний вектор не є єдиним). Тут варто зробити невелику паузу. Чому ми говоримо «один із власних векторів», а не «єдиний власний вектор»? Річ у тім, що власний вектор можна множити на будь-яке ненульове число, і після цього він усе одно залишиться власним вектором для того самого власного значення.
Справді, нехай
\[
A\cdot x=\lambda\cdot x,
\]Тепер помножимо вектор \( x \) на деяке число \( c \), де \( c\neq 0 \).Тоді для вектора \( c\cdot x \) маємо \( A\cdot (c\cdot x)=c\cdot A \cdot x \). Оскільки \( A\cdot x=\lambda\cdot x \), то можемо записати \( A\cdot (c\cdot x)=c\cdot \lambda\cdot x \). А праву частину можна подати як \( c\cdot\lambda\cdot x=\lambda\cdot(c\cdot x) \).Отже,
\[
A\cdot(c\cdot x)=\lambda\cdot(c\cdot x).
\]Це означає, що вектор \( c\cdot x \) також є власним вектором для того самого власного значення \( \lambda \).
Наприклад, якщо
\[
x=
\begin{pmatrix}
-1 \\
1
\end{pmatrix},
\]то вектори
\[
\begin{pmatrix}
-2 \\
2
\end{pmatrix},
\qquad
\begin{pmatrix}
3 \\
-3
\end{pmatrix},
\qquad
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} \\
\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\]також є власними векторами для того самого власного значення.
Чому так відбувається? Усі ці вектори лежать на одній прямій. Вони можуть мати різну довжину або бути напрямленими у протилежний бік, але з погляду власних векторів вони описують один і той самий напрям дії матриці. Тому в задачах достатньо записати один простий ненульовий власний вектор.
Тепер розглянемо друге власне значення \( \lambda_2=3 \). Маємо
\[
A-3\cdot E=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}.
\]
Тоді система набуде вигляду
\[
\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\ \
0
\end{pmatrix}.
\]
З першого рядка маємо
\[
-x_1+x_2=0.
\]
Звідси \( x_2=x_1 \). Виберемо \( x_1=1 \). Тоді \( x_2=1 \).
Отже, власний вектор, що відповідає власному значенню \( \lambda_2=3 \), можна записати так:
\[
x^{(2)}=
\begin{pmatrix}
1\ \
1
\end{pmatrix}.
\]
Таким чином, для заданої матриці \( A \) отримали
\[
\lambda_1=1,
\qquad
x^{(1)}=
\begin{pmatrix}
-1 \\
1
\end{pmatrix},
\\[6pt]
\lambda_2=3,
\qquad
x^{(2)}=
\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}.
\]
Приклад 2. Знайти власні значення та власні вектори матриці
\[
A=
\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix}.
\]
Як і в попередньому прикладі, почнемо з матриці \( A-\lambda\cdot E \). Маємо
\[
A-\lambda E=
\begin{pmatrix}
4-\lambda & 2 \\
1 & 3-\lambda
\end{pmatrix}.
\]
Складемо характеристичне рівняння:
\[
\det(A-\lambda\cdot E)=0.
\]
Тобто
\[
\begin{vmatrix}
4-\lambda & 2 \\
1 & 3-\lambda
\end{vmatrix}
=0.
\]
Обчислимо визначник:
\[
(4-\lambda)\cdot (3-\lambda)-2\cdot 1=0.
\]
Розкриємо дужки:
\[
12-4\cdot\lambda-3\cdot\lambda+\lambda^2-2=0.
\]
Після спрощення маємо
\[
\lambda^2-7\cdot\lambda+10=0.
\]
Розкладемо квадратний тричлен:
\[
\lambda^2-7\cdot\lambda+10=(\lambda-5)\cdot(\lambda-2).
\]
Тому
\[
(\lambda-5)\cdot(\lambda-2)=0.
\]
Звідси отримуємо власні значення:
\[
\lambda_1=5,
\qquad
\lambda_2=2.
\]
Знайдемо власні вектори. Для \( \lambda_1=5 \) маємо
\[
A-5\cdot E=
\begin{pmatrix}
-1 & 2 \\
1 & -2
\end{pmatrix}.
\]
Тоді система має вигляд
\[
\begin{pmatrix}
-1 & 2 \\
1 & -2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]
З першого рядка отримуємо
\[
-x_1+2\cdot x_2=0.
\]
Звідси \( x_1=2\cdot x_2 \). Виберемо \( x_2=1 \). Тоді \( x_1=2 \).
Отже, власний вектор для \( \lambda_1=5 \) можна вибрати таким:
\[
x^{(1)}=
\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix}.
\]
Тепер розглянемо \( \lambda_2=2 \). Маємо
\[
A-2\cdot E=
\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
1 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Отже,
\[
\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]
З другого рядка отримуємо
\[
x_1+x_2=0.
\]
Тому \( x_1=-x_2 \). Виберемо \( x_2=1 \). Тоді \( x_1=-1 \).
Отже, власний вектор для \( \lambda_2=2 \) можна записати так:
\[
x^{(2)}=
\begin{pmatrix}
-1 \\
1
\end{pmatrix}.
\]
Таким чином, для заданої матриці \( A \) отримали:
\[
\lambda_1=5,
\qquad
x^{(1)}=
\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix},
\\[6pt]
\lambda_2=2,
\qquad
x^{(2)}=
\begin{pmatrix}
-1 \\
1
\end{pmatrix}.
\]
Приклад 3. Знайти власні значення та власні вектори матриці
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 4
\end{pmatrix}.
\]
У цьому прикладі маємо трикутну матрицю. Тому характеристичний визначник обчислюється значно простіше, ніж для довільної матриці третього порядку. Якби всі елементи під головною діагоналлю не дорівнювали нулю, довелося б повністю розкривати визначник третього порядку й виконувати більше проміжних перетворень.
Запишемо
\[
A-\lambda\cdot E=
\begin{pmatrix}
2-\lambda & 1 & 0 \\
0 & 3-\lambda & 0 \\
0 & 0 & 4-\lambda
\end{pmatrix}.
\]
Характеристичне рівняння має вигляд
\[
\det(A-\lambda\cdot E)=0.
\]
Тобто
\[
\begin{vmatrix}
2-\lambda & 1 & 0 \\
0 & 3-\lambda & 0 \\
0 & 0 & 4-\lambda
\end{vmatrix}
=0.
\]
Оскільки матриця трикутна, її визначник дорівнює добутку елементів головної діагоналі:
\[
(2-\lambda)\cdot(3-\lambda)\cdot(4-\lambda)=0.
\]
Звідси одразу отримуємо власні значення:
\[
\lambda_1=2,
\qquad
\lambda_2=3,
\qquad
\lambda_3=4.
\]
Тепер знайдемо власні вектори. Для \( \lambda_1=2 \) маємо
\[
A-2\cdot E=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
\]
Тоді
\[
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]
З цієї системи отримуємо
\[
x_2=0,
\qquad
x_3=0.
\]
Змінна \( x_1 \) залишається вільною. Виберемо \( x_1=1 \). Тоді власний вектор для \( \lambda_1=2 \) можна записати так:
\[
x^{(1)}=
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]
Для \( \lambda_2=3 \) отримуємо
\[
A-3\cdot E=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Отже,
\[
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]
З першого рядка маємо
\[
-x_1+x_2=0.
\]
Тобто \( x_2=x_1 \). З третього рядка отримуємо \( x_3=0 \). Виберемо \( x_1=1 \). Тоді
\[
x_2=1,
\qquad
x_3=0.
\]
Отже, власний вектор для \( \lambda_2=3 \) має вигляд
\[
x^{(2)}=
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}.
\]
Нарешті розглянемо \( \lambda_3=4 \). Маємо
\[
A-4\cdot E=
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Тоді
\[
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]
З другого рядка маємо \( -x_2=0 \). Отже, \(x_2=0 \). Підставимо це в перший рядок:
\[
-2\cdot x_1+x_2=0.
\]
Оскільки \( x_2=0 \), то \( -2\cdot x_1=0 \). Звідси \( x_1=0 \).
Змінна \( x_3 \) залишається вільною. Виберемо \( x_3=1 \). Отже, власний вектор для \( \lambda_3=4 \) можна записати так:
\[
x^{(3)}=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}.
\]
Таким чином, для заданої матриці \( A \) маємо:
\[
\lambda_1=2,
\qquad
x^{(1)}=
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix},
\\[6pt]
\lambda_2=3,
\qquad
x^{(2)}=
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix},
\\[6pt]
\lambda_3=4,
\qquad
x^{(3)}=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}.
\]
Що Вивчати Далі: Методи Для Продовження Теми
Після методу розкриття характеристичного визначника варто перейти до спеціальних методів знаходження власних значень. Вони показують, як працювати з матрицями більшого порядку та краще організовувати обчислення.
- Метод Данилевського: Перехід до характеристичного многочлена — У статті буде пояснено, як метод Данилевського перетворює матрицю та допомагає отримати характеристичний многочлен.
- Метод Крилова: Побудова рівнянь для власних значень — У матеріалі йтиметься про те, як метод Крилова формує систему рівнянь і допомагає знайти характеристичний многочлен матриці.
- Метод Левер’є: Обчислення коефіцієнтів многочлена — Стаття покаже, як метод Левер’є знаходить коефіцієнти характеристичного многочлена через послідовні матричні обчислення.
Власні Значення та Власні Вектори Матриці в Програмуванні: Створіть Власну Реалізацію Методу
Якщо вам цікаво не лише прочитати про метод, а й перевірити його в коді, зверніть увагу на блок-схему нижче. Вона може стати основою для невеликої програми на улюбленій мові програмування, яка знаходить власні значення та власні вектори матриці через розкриття характеристичного многочлена. Така робота допоможе краще побачити зв’язок між матрицею, характеристичним рівнянням і програмною логікою. А ще це гарний спосіб перевірити, як теоретичний алгоритм поводиться для різних матриць малого порядку.
