Похідна неявно заданої функції

Якщо функція  визначена співвідношенням  то  називають неявною функцією від .

Інколи рівняння (1) можна розв’язати відносно , тобто можливий перехід від неявного способу визначення функції до явного , але частіше розв’язання рівняння (1) відносно  неможливе. Слід також відзначити, що терміни «явна функція» і «неявна функція» характеризують не природу функції, а аналітичний спосіб її задання.

Для того, щоб знайти похідну неявно заданої функції, потрібно:

1. Продиференціювати по  обидві частини рівності (1), при цьому  розглядається як незалежна змінна, а  є функцією від , тобто , а  — це шукана похідна.
2. Розв’язати отримане рівняння відносно .

Похідна неявно заданої функції – приклади розв’язання:

Приклад 1: знайти похідну від функції , заданої неявно.

Отже, продиференціюємо обидві частини рівняння по , враховуючи при цьому, що  є функцією від : . Розв’язуючи отримане рівняння відносно , отримаємо:

Приклад 2: знайти похідну від неявно заданої функції наступного вигляду: .

Скориставшись правилом диференціювання неявної функції, матимемо: . Розв’язуємо далі отримане рівняння відносно функції :

Приклад 3: знайти похідку функції .

Продиференціюємо обидві частини заданого рівняння по , враховуючи, що  є функцією від . В результаті будемо мати: . Далі, виконавши певні перетворення, та розв’язавши отримане рівняння відносно , знайдемо похідну неявної функції:

Приклад 4: знайти , якщо .

Діючи, як і в попередньому прикладі, будемо мати:

Приклад 5: для функції знайти .

Отже, диференціюючи обидві частини рівняння по незалежній змінній , отримаємо: . Далі, після спрощення, матимемо: