Похідна неявно заданої функції потрібна тоді, коли залежність між змінними \( x \) і \( y \) задана не у звичному вигляді \( y=f(x) \), а через рівняння, яке одночасно містить обидві змінні. Наприклад, у рівнянні може бути важко або навіть неможливо явно виразити \( y \) через \( x \). Що робити в такій ситуації? Саме тут і допомагає неявне диференціювання.
Ідея методу досить проста. Ми вважаємо, що \( y \) залежить від \( x \), навіть якщо ця залежність не записана прямо. Потім диференціюємо все рівняння за змінною \( x \) і знаходимо похідну. Завдяки цьому можна працювати з колами, еліпсами, складними алгебраїчними рівняннями та багатьма іншими залежностями.
Похідна Неявно Заданої Функції: Основна Формула
Нехай функція задана неявно рівнянням
\[
F(x,y)=0.
\]
Тут \( x \) — незалежна змінна, а \( y \) розглядаємо як функцію від \( x \). Тобто фактично маємо \( y=y(x) \). Якщо функція \( F(x,y) \) має частинні похідні за \( x \) та за \( y \), а також \( F_y(x,y)\ne 0 \), то похідна неявно заданої функції знаходиться за формулою
\[
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.
\]
У цій формулі \( F_x(x,y) \) означає частинну похідну функції \( F \) за змінною \( x \), а \( F_y(x,y) \) — частинну похідну за змінною \( y \). Важливо пам’ятати: коли ми знаходимо \( F_x \), то \( y \) тимчасово вважаємо сталою величиною. А коли знаходимо \( F_y \), то сталою величиною вважаємо \( x \).
Умова \( F_y(x,y)\ne 0 \) означає, що в розглянутій точці можна коректно знаходити похідну \( y \) за \( x \) саме через цю формулу. Якщо \( F_y(x,y)=0 \), то знаменник дробу дорівнює нулю. Отже, таку ситуацію потрібно розглядати окремо.
Отже, формула показує дуже зручний спосіб. Нам не потрібно обов’язково виражати \( y \) через \( x \). Достатньо знайти дві частинні похідні й підставити їх у відношення. Саме тому ця формула часто значно спрощує обчислення.
Виведення Формули: Чому З’являється Мінус
Розглянемо неявно задану залежність
\[
F(x,y)=0.
\]
Оскільки \( y \) залежить від \( x \), це рівняння можна розуміти так:
\[
F(x,y(x))=0.
\]
Тепер важливо помітити одну річ. Ліва частина є функцією від \( x \), хоча записана через дві змінні. Змінна \( x \) впливає на \( F \) двома способами: прямо через саму змінну \( x \) і непрямо через \( y(x) \). Тому під час диференціювання з’являються два доданки.
Продиференціюємо обидві частини рівняння за \( x \). Похідна правої частини дорівнює нулю, бо число \( 0 \) є сталою величиною. Для лівої частини застосовуємо ланцюгове правило для функції двох змінних:
\[
\frac{d}{dx}F(x,y(x))=F_x(x,y)\cdot \frac{dx}{dx}+F_y(x,y)\cdot \frac{dy}{dx}.
\]
Ця рівність показує, як саме змінюється \( F \), коли змінюється \( x \). Перший доданок \( F_x(x,y)\cdot \dfrac{dx}{dx} \) враховує зміну функції \( F \) через змінну \( x \). Другий доданок \( F_y(x,y)\cdot \dfrac{dy}{dx} \) враховує зміну функції \( F \) через змінну \( y \), яка сама залежить від \( x \).
Оскільки
\[
\frac{dx}{dx}=1,
\]
ця рівність набуває вигляду
\[
\frac{d}{dx}F(x,y(x))=F_x(x,y)+F_y(x,y)\cdot \frac{dy}{dx}.
\]
Отже, перший доданок спрощується до \( F_x(x,y) \), а другий залишається з множником \( \dfrac{dy}{dx} \), бо саме \( y \) є функцією від \( x \). Це важливо не пропустити, адже саме через цей множник ми далі зможемо знайти похідну неявно заданої функції.
Оскільки початкове рівняння дорівнює нулю, після диференціювання маємо
\[
F_x(x,y)+F_y(x,y)\cdot \frac{dy}{dx}=0.
\]
Далі залишається звичайне алгебраїчне перетворення. Перенесемо \( F_x(x,y) \) у праву частину:
\[
F_y(x,y)\cdot \frac{dy}{dx}=-F_x(x,y).
\]
Тепер поділимо обидві частини рівності на \( F_y(x,y) \). Це можна зробити за умови, що
\[
F_y(x,y)\ne 0.
\]
У результаті отримуємо
\[
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.
\]
Таким чином, формула виводиться без зайвих складнощів. Головне — пам’ятати, що \( y \) не є незалежною змінною. Вона залежить від \( x \), тому під час диференціювання частини, яка містить \( y \), обов’язково з’являється множник \( \dfrac{dy}{dx} \). Саме цей момент часто є ключовим у задачах на неявне диференціювання.
Похідна Неявно Заданої Функції: Практичне Застосування Формули
Тепер перейдемо до практичної частини. Тут важливо не просто запам’ятати формулу, а побачити, як вона працює в різних рівняннях. У кожному прикладі будемо діяти однаково: спочатку запишемо функцію \( F(x,y) \), потім знайдемо \( F_x \), \( F_y \), а після цього підставимо їх у формулу.
Далі в прикладах будемо записувати похідну для тих точок, де знаменник отриманого дробу не дорівнює нулю. Це саме та умова, яка в загальній формулі записується як \( F_y(x,y)\ne 0 \).
Приклад 1. Знайти похідну неявно заданої функції \( x^2+y^2=25 \)
Маємо рівняння кола. У ньому змінна \( y \) явно не виражена через \( x \), тому скористаємося формулою для неявно заданої функції.
Перенесемо всі доданки в ліву частину:
\[
x^2+y^2-25=0.
\]
Отже,
\[
F(x,y)=x^2+y^2-25.
\]
Тепер знайдемо частинні похідні. Спочатку диференціюємо за \( x \), вважаючи \( y \) сталою величиною:
\[
F_x(x,y)=2\cdot x.
\]
Далі диференціюємо за \( y \), вважаючи \( x \) сталою величиною:
\[
F_y(x,y)=2\cdot y.
\]
За формулою похідної неявно заданої функції маємо:
\[
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.
\]
Підставимо знайдені частинні похідні:
\[
\frac{dy}{dx}=-\frac{2\cdot x}{2\cdot y}.
\]
Після скорочення на \( 2 \) отримуємо остаточну відповідь:
\[
\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.
\]
Приклад 2. Знайти похідну неявно заданої функції \( x\cdot y+y^2=x^2+1 \)
Спочатку запишемо рівняння у вигляді \( F(x,y)=0 \). Для цього перенесемо всі доданки в ліву частину:
\[
x\cdot y+y^2-x^2-1=0.
\]
Тому
\[
F(x,y)=x\cdot y+y^2-x^2-1.
\]
Знайдемо частинну похідну за \( x \). При цьому \( y \) вважаємо сталою величиною. Похідна добутку \( x\cdot y \) за \( x \) дорівнює \( y \), похідна \( y^2 \) дорівнює нулю, а похідна \( -x^2 \) дорівнює \( -2\cdot x \). Отже,
\[
F_x(x,y)=y-2\cdot x.
\]
Тепер знайдемо частинну похідну за \( y \). Тут уже \( x \) вважаємо сталою величиною. Похідна \( x\cdot y \) за \( y \) дорівнює \( x \), а похідна \( y^2 \) дорівнює \( 2\cdot y \). Маємо:
\[
F_y(x,y)=x+2\cdot y.
\]
Тепер застосовуємо основну формулу:
\[
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.
\]
Підставляємо знайдені вирази:
\[
\frac{dy}{dx}=-\frac{y-2\cdot x}{x+2\cdot y}.
\]
Мінус перед дробом можна внести в чисельник. Отже, остаточна відповідь має вигляд:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{2\cdot x-y}{x+2\cdot y}.
\]
Приклад 3. Знайти похідну неявно заданої функції \( x^3+y^3-3\cdot x\cdot y=0 \)
У цьому прикладі рівняння вже записане у вигляді \( F(x,y)=0 \), тому одразу маємо:
\[
F(x,y)=x^3+y^3-3\cdot x\cdot y.
\]
Тепер знайдемо частинну похідну за \( x \). Змінну \( y \) при цьому вважаємо сталою. Похідна \( x^3 \) дорівнює \( 3\cdot x^2 \), похідна \( y^3 \) за \( x \) дорівнює нулю, а похідна \( -3\cdot x\cdot y \) за \( x \) дорівнює \( -3\cdot y \). Тому
\[
F_x(x,y)=3\cdot x^2-3\cdot y.
\]
Далі знаходимо частинну похідну за \( y \). Тепер сталою величиною вважаємо \( x \). Похідна \( x^3 \) за \( y \) дорівнює нулю, похідна \( y^3 \) дорівнює \( 3\cdot y^2 \), а похідна \( -3\cdot x\cdot y \) за \( y \) дорівнює \( -3\cdot x \). Отже,
\[
F_y(x,y)=3\cdot y^2-3\cdot x.
\]
Підставимо ці вирази у формулу:
\[
\frac{dy}{dx}=-\frac{3\cdot x^2-3\cdot y}{3\cdot y^2-3\cdot x}.
\]
У чисельнику і знаменнику можна винести \( 3 \):
\[
\frac{dy}{dx}=-\frac{3\cdot (x^2-y)}{3\cdot (y^2-x)}.
\]
Скорочуємо на \( 3 \):
\[
\frac{dy}{dx}=-\frac{x^2-y}{y^2-x}.
\]
За бажанням можна внести мінус у чисельник. Отже, остаточно маємо:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{y-x^2}{y^2-x}.
\]
Приклад 4. Знайти похідну неявно заданої функції \( \sin(x\cdot y)+x^2-y=0 \)
Запишемо:
\[
F(x,y)=\sin(x\cdot y)+x^2-y.
\]
Тепер знайдемо \( F_x(x,y) \). Під час диференціювання за \( x \) змінну \( y \) вважаємо сталою. Найуважніше потрібно працювати з виразом \( \sin(x\cdot y) \). Це складена функція, тому похідна дорівнює косинусу внутрішнього виразу, помноженому на похідну \( x\cdot y \) за \( x \). Оскільки \( y \) стала, то похідна \( x\cdot y \) за \( x \) дорівнює \( y \). Маємо:
\[
F_x(x,y)=y\cdot\cos(x\cdot y)+2\cdot x.
\]
Тепер знайдемо \( F_y(x,y) \). Тут уже \( x \) вважаємо сталою величиною. Похідна \( \sin(x\cdot y) \) за \( y \) дорівнює \( x\cdot\cos(x\cdot y) \), бо похідна \( x\cdot y \) за \( y \) дорівнює \( x \). Похідна \( x^2 \) за \( y \) дорівнює нулю, а похідна \( -y \) дорівнює \( -1 \). Отже,
\[
F_y(x,y)=x\cdot \cos(x\cdot y)-1.
\]
Застосуємо формулу:
\[
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.
\]
Підставляємо й отримуємо остаточну відповідь:
\[
\frac{dy}{dx}=-\frac{y\cdot \cos(x\cdot y)+2\cdot x}{x\cdot \cos(x\cdot y)-1}.
\]
Приклад 5. Знайти похідну неявно заданої функції \( e^{x+y}+x^2\cdot y-y^2=0 \)
У цьому прикладі маємо показникову функцію та добуток \( x^2\cdot y \). Але загальний алгоритм залишається тим самим. Запишемо:
\[
F(x,y)=e^{x+y}+x^2\cdot y-y^2.
\]
Знайдемо частинну похідну за \( x \). Змінну \( y \) вважаємо сталою. Похідна \( e^{x+y} \) за \( x \) дорівнює \( e^{x+y} \), бо похідна внутрішнього виразу \( x+y \) за \( x \) дорівнює \( 1 \). Похідна \( x^2\cdot y \) за \( x \) дорівнює \( 2\cdot x\cdot y \), а похідна \( -y^2 \) за \( x \) дорівнює нулю. Тому
\[
F_x(x,y)=e^{x+y}+2\cdot x\cdot y.
\]
Тепер знайдемо частинну похідну за \( y \). Змінну \( x \) вважаємо сталою. Похідна \( e^{x+y} \) за \( y \) також дорівнює \( e^{x+y} \), бо похідна \( x+y \) за \( y \) дорівнює \( 1 \). Похідна \( x^2\cdot y \) за \( y \) дорівнює \( x^2 \), а похідна \( -y^2 \) дорівнює \( -2\cdot y \). Отже,
\[
F_y(x,y)=e^{x+y}+x^2-2\cdot y.
\]
Тепер використовуємо формулу похідної неявно заданої функції:
\[
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.
\]
Підставимо знайдені частинні похідні й отримаємо остаточну відповідь:
\[
\frac{dy}{dx}=-\frac{e^{x+y}+2\cdot x\cdot y}{e^{x+y}+x^2-2\cdot y}.
\]
Куди Рухатися Далі: Теми Для Продовження
Після неявного диференціювання логічно перейти до близьких тем, де для знаходження похідної потрібні додаткові прийоми. Так легше побачити, як різні правила диференціювання працюють у складніших ситуаціях.
- Похідна показникової функції: Правило та приклади — У статті йтиметься про знаходження похідних показникових функцій та типові перетворення в таких задачах.
- Похідна параметрично заданої функції: Алгоритм обчислення — У статті буде показано, як знаходити похідну, коли змінні задані через спільний параметр.
- Логарифмічне диференціювання: Метод для складних виразів — У статті розглядатиметься зручний спосіб диференціювання добутків, часток, степенів і складних виразів.
Похідна Неявно Заданої Функції: Від Формули до Коду
Якщо вам цікаве програмування, то цю тему можна сприймати не лише як математичне правило, а як готовий алгоритм для обчислень. Блок-схема нижче показує, як перевірити введені дані, визначити, чи належить точка колу, окремо обробити випадок вертикальної дотичної та знайти кут нахилу дотичної в градусах. Спробуйте реалізувати цей алгоритм своєю улюбленою мовою програмування — Pascal, Python, C++, JavaScript чи будь-якою іншою. Так похідна неявно заданої функції перетвориться з формули на маленький практичний інструмент.
