Логарифмічне диференціювання — це спосіб знаходження похідної, за якого спочатку логарифмують обидві частини рівняння. Навіщо потрібен такий додатковий крок? Він дає змогу перетворити добуток на суму, частку на різницю, а показник степеня винести перед знаком логарифма.
Завдяки цьому складна структура функції стає значно простішою для диференціювання. Метод особливо корисний, коли змінна міститься одночасно в основі та показнику степеня. Також його зручно використовувати для функцій, що містять добутки, дроби та степені. Спочатку розглянемо основну формулу, а потім з’ясуємо, як застосовувати її до конкретних функцій.
Логарифмічне Диференціювання: Основна Формула
Розглянемо функцію \( y=f(x) \). Спочатку припустимо, що \( f(x)>0 \) на проміжку, який нас цікавить. За цієї умови до обох частин рівняння можна застосувати натуральний логарифм:
\[
\ln\bigl(y\bigr)=\ln\bigl(f(x)\bigr).
\]
Далі продиференціюємо обидві частини рівняння за змінною \( x \). Важливо пам’ятати, що \( y \) залежить від \( x \). Тому під час диференціювання \( \ln\bigl(y\bigr) \) застосовуємо ланцюгове правило:
\[
\frac{d}{dx}\left(\ln\bigl(y\bigr)\right)=\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx}.
\]
Права частина рівняння також залежить від \( x \). Отже,
\[
\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\ln\bigl(f(x)\bigr)\right).
\]
Тепер помножимо обидві частини рівності на \( y \):
\[
\frac{dy}{dx}=y\cdot\frac{d}{dx}\left(\ln\bigl(f(x)\bigr)\right).
\]
Оскільки \( y=f(x) \), отримуємо основну формулу логарифмічного диференціювання:
\[
\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot\frac{d}{dx}\left(\ln\bigl(f(x)\bigr)\right).
\]
Ця формула є результатом послідовного логарифмування та диференціювання рівняння. Тому її не варто сприймати як окреме правило, яке потрібно застосовувати механічно. Важливо розуміти, звідки вона виникає і яку роль у ній відіграє логарифм.
Якщо функція може набувати від’ємних значень, але не дорівнює нулю, використовують логарифм модуля: \( \ln\bigl(|y|\bigr)=\ln\bigl(|f(x)|\bigr) \). Оскільки
\[
\frac{d}{dx}\left(\ln\bigl(|y|\bigr)\right)=\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx},
\]
на кожному проміжку, де \( f(x)\ne0 \), маємо
\[
\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\ln\bigl(|f(x)|\bigr)\right).
\]
Після множення обох частин рівності на \( y=f(x) \) отримуємо
\[
\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot\frac{d}{dx}\left(\ln\bigl(|f(x)|\bigr)\right).
\]
Ця формула справедлива на проміжках, де функція визначена та не дорівнює нулю. Отже, логарифм модуля дає змогу працювати не лише з додатними значеннями функції.
Властивості Логарифмів: Спрощення Складних Функцій
На перший погляд може здатися, що логарифм додає зайвий крок. Проте саме він змінює структуру функції та робить її зручнішою для диференціювання. Чому це відбувається? Причина полягає у властивостях логарифмів.
Логарифм добутку перетворює множення на додавання. Якщо \( u(x)>0 \) і \( v(x)>0 \), то
\[
\ln\bigl(u(x)\cdot v(x)\bigr)=\ln\bigl(u(x)\bigr)+\ln\bigl(v(x)\bigr).
\]
Логарифм частки перетворює ділення на віднімання. За умов \( u(x)>0 \) і \( v(x)>0 \) маємо
\[
\ln\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=\ln\bigl(u(x)\bigr)-\ln\bigl(v(x)\bigr).
\]
Крім того, показник степеня можна винести перед знаком логарифма. Якщо \( u(x)>0 \), то
\[
\ln\bigl(u(x)^{v(x)}\bigr)=v(x)\cdot\ln\bigl(u(x)\bigr).
\]
Остання властивість особливо важлива для функцій, у яких показник степеня залежить від \( x \). Після логарифмування така степенева конструкція перетворюється на добуток. Його вже можна диференціювати за звичайним правилом добутку.
Розглянемо загальний випадок:
\[
y=f(x)=u(x)^{\alpha(x)}\cdot v(x)^{\beta(x)},
\]
де \( u(x)>0 \) і \( v(x)>0 \). Після логарифмування отримаємо
\[
\ln\bigl(f(x)\bigr)=\alpha(x)\cdot\ln\bigl(u(x)\bigr)+\beta(x)\cdot\ln\bigl(v(x)\bigr).
\]
Тепер підставимо початкову функцію та отриманий після логарифмування вираз в основну формулу:
\[
\frac{dy}{dx}=u(x)^{\alpha(x)}\cdot v(x)^{\beta(x)}\cdot\frac{d}{dx}\left(\alpha(x)\cdot\ln\bigl(u(x)\bigr)+\beta(x)\cdot\ln\bigl(v(x)\bigr)\right).
\]
Отже, складний добуток степенів перетворюється на суму простіших виразів під знаком оператора диференціювання. Саме в такому вигляді функцію значно зручніше диференціювати.
Логарифмічне Диференціювання: Приклади Знаходження Похідної
Розглянемо застосування отриманої формули до функцій різного вигляду. Приклади поступово ускладнюватимуться: від степеня зі змінним показником до конструкцій, що містять добутки, дроби та кілька степенів.
Приклад 1. Знайти похідну функції \( y=x^x \) (\( x>0 \))
У цій функції змінна \( x \) міститься одночасно в основі та показнику степеня. Звичайне степеневе правило \( (x^n)’=n\cdot x^{n-1} \) тут безпосередньо застосувати не можна, оскільки воно передбачає сталий показник \( n \).
Позначимо \( f(x)=x^x \). Прологарифмуємо функцію та скористаємося властивістю логарифма степеня:
\[
\ln\bigl(f(x)\bigr)=\ln\bigl(x^x\bigr)=x\cdot\ln\bigl(x\bigr).
\]
За основною формулою логарифмічного диференціювання маємо
\[
\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot\frac{d}{dx}\left(\ln\bigl(f(x)\bigr)\right).
\]
Підставимо початкову функцію та вираз, отриманий після логарифмування:
\[
\frac{dy}{dx}=x^x\cdot\frac{d}{dx}\left(x\cdot\ln\bigl(x\bigr)\right).
\]
Вираз \( x\cdot\ln\bigl(x\bigr) \) є добутком двох функцій. За правилом похідної добутку спочатку множимо похідну першого множника на другий, а потім додаємо добуток першого множника на похідну другого:
\[
\left(x\cdot\ln\bigl(x\bigr)\right)’=x’\cdot\ln\bigl(x\bigr)+x\cdot\left(\ln\bigl(x\bigr)\right)’.
\]
Оскільки \( x’=1 \), а \( \left(\ln\bigl(x\bigr)\right)’=\dfrac{1}{x} \), отримуємо
\[
\left(x\cdot\ln\bigl(x\bigr)\right)’=1\cdot\ln\bigl(x\bigr)+x\cdot\frac{1}{x}.
\]
Після спрощення маємо
\[
\left(x\cdot\ln\bigl(x\bigr)\right)’=\ln\bigl(x\bigr)+1.
\]
Отже, остаточна відповідь має вигляд:
\[
\frac{dy}{dx}=x^x\cdot\left(\ln\bigl(x\bigr)+1\right).
\]
Приклад 2. Знайти похідну функції \( y=\bigl(x^2+1\bigr)^x \)
Основа степеня \( x^2+1 \) залежить від \( x \), а показник також є змінною величиною. Оскільки \( x^2+1>0 \) для всіх дійсних \( x \), натуральний логарифм функції визначений на всій числовій прямій.
Позначимо \( f(x)=\bigl(x^2+1\bigr)^x \). Після логарифмування маємо
\[
\ln\bigl(f(x)\bigr)=\ln\left(\bigl(x^2+1\bigr)^x\right)=x\cdot\ln\bigl(x^2+1\bigr).
\]
Підставимо початкову функцію та отриманий вираз в основну формулу:
\[
\frac{dy}{dx}=\bigl(x^2+1\bigr)^x\cdot\frac{d}{dx}\left(x\cdot\ln\bigl(x^2+1\bigr)\right).
\]
Вираз у дужках є добутком функцій \( x \) і \( \ln\bigl(x^2+1\bigr) \). Тому
\[
\left(x\cdot\ln\bigl(x^2+1\bigr)\right)’=x’\cdot\ln\bigl(x^2+1\bigr)+x\cdot\left(\ln\bigl(x^2+1\bigr)\right)’.
\]
Функція \( \ln\bigl(x^2+1\bigr) \) є складеною. Зовнішньою функцією є логарифм, а внутрішньою — \( x^2+1 \). За ланцюговим правилом
\[
\left(\ln\bigl(x^2+1\bigr)\right)’=\frac{1}{x^2+1}\cdot\left(x^2+1\right)’.
\]
Оскільки \( \left(x^2+1\right)’=2\cdot x \), маємо
\[
\left(\ln\bigl(x^2+1\bigr)\right)’=\frac{2\cdot x}{x^2+1}.
\]
Підставимо знайдені похідні в правило добутку:
\[
\left(x\cdot\ln\bigl(x^2+1\bigr)\right)’=1\cdot\ln\bigl(x^2+1\bigr)+x\cdot\frac{2\cdot x}{x^2+1}.
\]
Після спрощення отримуємо
\[
\left(x\cdot\ln\bigl(x^2+1\bigr)\right)’=\ln\bigl(x^2+1\bigr)+\frac{2\cdot x^2}{x^2+1}.
\]
Отже, похідна функції дорівнює
\[
\frac{dy}{dx}=\bigl(x^2+1\bigr)^x\cdot\left(\ln\bigl(x^2+1\bigr)+\frac{2\cdot x^2}{x^2+1}\right).
\]
Приклад 3. Знайти похідну функції \( y=x^{\sin(x)} \) (\( x>0 \))
Тут основа степеня дорівнює \( x \), а показником є функція \( \sin(x) \). Обидві частини степеневої конструкції залежать від \( x \).
Нехай \( f(x)=x^{\sin(x)} \). Прологарифмуємо функцію:
\[
\ln\bigl(f(x)\bigr)=\ln\left(x^{\sin(x)}\right)=\sin(x)\cdot\ln\bigl(x\bigr).
\]
Підставимо отриманий вираз в основну формулу:
\[
\frac{dy}{dx}=x^{\sin(x)}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sin(x)\cdot\ln\bigl(x\bigr)\right).
\]
Під знаком оператора диференціювання маємо добуток функцій \( \sin(x) \) і \( \ln\bigl(x\bigr) \). Тому
\[
\left(\sin(x)\cdot\ln\bigl(x\bigr)\right)’=\left(\sin(x)\right)’\cdot\ln\bigl(x\bigr)+\sin(x)\cdot\left(\ln\bigl(x\bigr)\right)’.
\]
Оскільки \( \left(\sin(x)\right)’=\cos(x) \), а \( \left(\ln\bigl(x\bigr)\right)’=\dfrac{1}{x} \), отримуємо
\[
\left(\sin(x)\cdot\ln\bigl(x\bigr)\right)’=\cos(x)\cdot\ln\bigl(x\bigr)+\sin(x)\cdot\frac{1}{x}.
\]
Отже,
\[
\left(\sin(x)\cdot\ln\bigl(x\bigr)\right)’=\cos(x)\cdot\ln\bigl(x\bigr)+\frac{\sin(x)}{x}.
\]
Підставимо знайдену похідну. Отже, остаточно маємо:
\[
\frac{dy}{dx}=x^{\sin(x)}\cdot\left(\cos(x)\cdot\ln\bigl(x\bigr)+\frac{\sin(x)}{x}\right).
\]
Приклад 4. Знайти похідну функції \( y=\frac{\bigl(x^2+1\bigr)^3\cdot\sqrt{x-1}}{x^4} \) (\( x>1 \))
Функція містить добуток, частку та кілька степенів. Її можна диференціювати за звичайними правилами, але обчислення будуть громіздкими. Логарифмування дає змогу перетворити добуток на суму, а частку — на різницю.
Позначимо
\[
f(x)=\frac{\bigl(x^2+1\bigr)^3\cdot\sqrt{x-1}}{x^4}.
\]
Прологарифмуємо функцію:
\[
\ln\bigl(f(x)\bigr)=\ln\left(\frac{\bigl(x^2+1\bigr)^3\cdot\sqrt{x-1}}{x^4}\right).
\]
Застосуємо властивості логарифма добутку та частки:
\[
\ln\bigl(f(x)\bigr)=\ln\left(\bigl(x^2+1\bigr)^3\right)+\ln\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)-\ln\bigl(x^4\bigr).
\]
Оскільки \( \sqrt{x-1}=\bigl(x-1\bigr)^{\frac{1}{2}} \), показники степенів можна винести перед знаками логарифмів:
\[
\ln\bigl(f(x)\bigr)=3\cdot\ln\bigl(x^2+1\bigr)+\frac{1}{2}\cdot\ln\bigl(x-1\bigr)-4\cdot\ln\bigl(x\bigr).
\]
Підставимо початкову функцію та отриманий вираз в основну формулу:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{\bigl(x^2+1\bigr)^3\cdot\sqrt{x-1}}{x^4}\cdot\frac{d}{dx}\left(3\cdot\ln\bigl(x^2+1\bigr)+\frac{1}{2}\cdot\ln\bigl(x-1\bigr)-4\cdot\ln\bigl(x\bigr)\right).
\]
Після логарифмування складний добуток і частка перетворилися на суму та різницю. Тому кожний доданок диференціюємо окремо.
Для першого доданка застосуємо правило похідної сталої, помноженої на функцію, і ланцюгове правило:
\[
\left(3\cdot\ln\bigl(x^2+1\bigr)\right)’=3\cdot\left(\ln\bigl(x^2+1\bigr)\right)’.
\]
Далі маємо
\[
\left(3\cdot\ln\bigl(x^2+1\bigr)\right)’=3\cdot\frac{1}{x^2+1}\cdot\left(x^2+1\right)’.
\]
Оскільки \( \left(x^2+1\right)’=2\cdot x \), отримуємо
\[
\left(3\cdot\ln\bigl(x^2+1\bigr)\right)’=\frac{6\cdot x}{x^2+1}.
\]
Аналогічно знайдемо похідну другого доданка:
\[
\left(\frac{1}{2}\cdot\ln\bigl(x-1\bigr)\right)’=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}\cdot\left(x-1\right)’.
\]
Оскільки \( \left(x-1\right)’=1 \), маємо
\[
\left(\frac{1}{2}\cdot\ln\bigl(x-1\bigr)\right)’=\frac{1}{2\cdot(x-1)}.
\]
Для останнього доданка отримуємо
\[
\left(-4\cdot\ln\bigl(x\bigr)\right)’=-4\cdot\frac{1}{x}=-\frac{4}{x}.
\]
Отже, похідна виразу після логарифмування дорівнює
\[
\frac{6\cdot x}{x^2+1}+\frac{1}{2\cdot(x-1)}-\frac{4}{x}.
\]
Підставимо цей результат в основну формулу й отримаємо остаточну відповідь:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{\bigl(x^2+1\bigr)^3\cdot\sqrt{x-1}}{x^4}\cdot\left(\frac{6\cdot x}{x^2+1}+\frac{1}{2\cdot(x-1)}-\frac{4}{x}\right).
\]
Приклад 5. Знайти похідну функції \( y=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x^2} \) (\( x>1 \))
У цій функції основа є часткою двох виразів, а показник степеня також залежить від \( x \). Логарифмування дає змогу окремо опрацювати показник степеня та частку в його основі.
Позначимо
\[
f(x)=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x^2}.
\]
Прологарифмуємо функцію:
\[
\ln\bigl(f(x)\bigr)=\ln\left(\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x^2}\right).
\]
Винесемо показник степеня перед знаком логарифма:
\[
\ln\bigl(f(x)\bigr)=x^2\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right).
\]
Тепер застосуємо властивість логарифма частки:
\[
\ln\bigl(f(x)\bigr)=x^2\cdot\left(\ln\bigl(x+1\bigr)-\ln\bigl(x-1\bigr)\right).
\]
Підставимо отриманий вираз в основну формулу:
\[
\frac{dy}{dx}=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x^2}\cdot\frac{d}{dx}\left(x^2\cdot\left(\ln\bigl(x+1\bigr)-\ln\bigl(x-1\bigr)\right)\right).
\]
Під знаком оператора диференціювання маємо добуток. Першим множником є \( x^2 \), а другим — різниця логарифмів. За правилом похідної добутку
\[
\left(x^2\cdot\left(\ln\bigl(x+1\bigr)-\ln\bigl(x-1\bigr)\right)\right)’=\left(x^2\right)’\cdot\left(\ln\bigl(x+1\bigr)-\ln\bigl(x-1\bigr)\right)+x^2\cdot\left(\ln\bigl(x+1\bigr)-\ln\bigl(x-1\bigr)\right)’.
\]
Похідну різниці знаходимо почленно. Обидва логарифми є складеними функціями:
\[
\begin{gathered}
\left(\ln\bigl(x+1\bigr)\right)’=\dfrac{1}{x+1}\cdot\left(x+1\right)’=\dfrac{1}{x+1},\\[4pt]
\left(\ln\bigl(x-1\bigr)\right)’=\dfrac{1}{x-1}\cdot\left(x-1\right)’=\dfrac{1}{x-1}.
\end{gathered}
\]
Отже,
\[
\left(\ln\bigl(x+1\bigr)-\ln\bigl(x-1\bigr)\right)’=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}.
\]
Оскільки \( \left(x^2\right)’=2\cdot x \), після підстановки отримуємо
\[
\left(x^2\cdot\left(\ln\bigl(x+1\bigr)-\ln\bigl(x-1\bigr)\right)\right)’=2\cdot x\cdot\left(\ln\bigl(x+1\bigr)-\ln\bigl(x-1\bigr)\right)+x^2\cdot\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}\right).
\]
Різницю логарифмів можна знову об’єднати:
\[
\ln\bigl(x+1\bigr)-\ln\bigl(x-1\bigr)=\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right).
\]
Тепер спростимо різницю дробів. Зведемо їх до спільного знаменника:
\[
\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1-(x+1)}{(x+1)\cdot(x-1)}.
\]
У чисельнику маємо \( x-1-x-1=-2 \), а в знаменнику \( (x+1)\cdot(x-1)=x^2-1 \). Тому
\[
\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}=-\frac{2}{x^2-1}.
\]
Отже, похідна виразу після логарифмування дорівнює
\[
2\cdot x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)-\frac{2\cdot x^2}{x^2-1}.
\]
Підставимо знайдений результат в основну формулу й отримаємо остаточну відповідь:
\[
\frac{dy}{dx}=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x^2}\cdot\left(2\cdot x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)-\frac{2\cdot x^2}{x^2-1}\right).
\]
Наступний Крок у Диференціюванні: Теми Для Продовження
Після логарифмічного диференціювання варто окремо розглянути похідні функцій, на яких ґрунтується цей метод. Наступні теми допоможуть краще зрозуміти використані правила та побачити, як вони працюють у різних задачах.
- Похідна степеневої функції: Формула, доведення, приклади — У статті розберемо основну формулу, пояснимо її походження та застосуємо під час знаходження похідних степеневих функцій.
- Похідна показникової функції: Формула, доведення, приклади — Матеріал покаже, як диференціювати показникові функції, чому виникає логарифм основи та як розв’язувати типові приклади.
- Похідна натурального логарифма: Формула, доведення, приклади — Розглянемо виведення формули, умови її застосування та приклади знаходження похідних простих і складених логарифмічних функцій.
Логарифмічне Диференціювання: Від Формули до Програмного Алгоритму
Якщо вам цікаве програмування, спробуйте піти ще на крок далі: не просто знайти похідну вручну, а реалізувати цей процес у коді. Блок-схема нижче показує простий алгоритм для обчислення значення функції \( x^x \) та її похідної, знайденої через логарифмічне диференціювання. Її можна використати як основу для програми мовою Pascal, Python, C++, JavaScript або будь-якою іншою мовою, з якою вам зручно працювати.
