Метод Ейлера для розв’язання звичайних диференціальних рівнянь

Метод Ейлера – один з найпрстіших чисельних алгоритмів розв’язку звичайних диференціальних рівнянь першого порядку з заданим початковим значенням тобто задачі Коші. Він є явним, однокроковим методом першого порядку точності, основна ідея якого полягає в тому, що інтегральна крива апроксимується кусочно-лінійною функцією, так званою ламаною Ейлера.

Розглянемо даний процес більш детально. Для цього запишемо диференціальне рівняння наступного вигляду:

з початковою умовою і припустимо, що потрібно занйти його ровз’язок на деякому інтервалі . Для цього розіб’ємо заданий інтервал на частин з кроком . В результаті отримаємо систему рівновіддалених точок:

де і .

Припустимо, що шуканим розв’язком задачі Коші є функція . Побудуємо дотичну до графіка даної функції в точці і запишемо її рівняння:

Знайдемо точку перетину даної дотичної з прямою . В результаті отримаємо . Беручи тепер за нову вихідну точку, аналогічгим чином будуємо до неї дотичну:

і знаходимо точку перетину даної дотичної з прямою : . Продовжуючи даний поцес далі, отримаємо рекурентну послідовність:

яку називають послідовністю Ейлера. З’єднюючи всі точки, які були знайдені з допомогою даної послідовності, отримаємо ламану лінію (ламану Ейлера), графік якої і будемо приймати в якості наближеного розв’язку задачі Коші.

Знаходження розв’язку задачі Коші методом Ейлера – приклад:

Знайти розв’язок диференціального рівняння , яке відповідає початковій умові , методом Ейлера на відрізку . Порівняти отримані значення з точним розв’язком .

Метод Ейлера - приклад — Графік точного та наближеного рішення задачі Коші

Для цього, задавши в якості кроку значення розіб’ємо відрізок точками на п’ять частин та використовуючи розрахункову формулу Ейлера, знайдемо наближене рішення задачі Коші в цих точках:

Далі, обчислимо значення точного рішення в зазначених точках:

Порівнюючи тепер отримані значення бачимо, що істотним недоліком методу Ейлера є занадто велика похибка, яка, як не важко помітити, має тенденцію накопичуватися, тобто, чим далі ми йдемо від початкової точки , тим більшою стає розбіжність між наближеним і точним розв’язком. Відмітимо, що саме тому метод Ейлера на практиці використовується дуже рідко, а якщо і використовується, то лише як базис для побудови більш складних методів.