Опуклий чотирикутник – визначення та властивості

Нагадаємо, що чотирикутником називається фігура, що складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що їх послідовно сполучають. Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки – сторонами чотирикутника. При цьому жодні три вершини не лежать на одній прямій, а жодні дві сторони не перетинаються.

Чотирикутники можуть бути опуклими та неопуклими.

Чим відрізняється опуклий чотирикутник від неопуклого.

Чотирикутник опуклий, якщо він лежить по один бік від будь-якої прямої, що містить його сторону.

Можна дати і інше визначення опуклого чотирикутника: якщо відрізок, що з’єднує дві будь-які точки чотирикутника, належить цьому чотирикутнику, він називається опуклим.

Якщо чотирикутник не лежить по один бік від будь-якої прямої, що містить його сторону, тоді він неопуклого.

На малюнку вище зображено опуклий чотирикутник  – лежить по один бік від будь-якої з прямих  та , або відрізок, що з’єднує будь-які його дві точки, належить цьому чотирикутнику.

Чотирьохкутник  – неопуклий, тому що відрізок  не належить йому.

Зазначимо, що до категорії «опуклий чотирикутник» можна віднести практично всі відомі нам фігури, що складаються з чотирьох кутів та сторін. Зокрема, можна виділити наступні:

• паралелограм;
• квадрат;
• прямокутник;
• трапеція;
• ромб.

Опуклий чотирикутник – властивості.

Діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються. Справді, це явище можна спостерігати візуально, достатньо подивитися на наступний малюнок.

У будь-якому чотирикутнику сума кутів дорівнює 360 градусів.

Для доведення даної властивості розглянемо деякий опуклий чотирикутник . Проведемо діагональ , яка ділить його на два трикутники. Оскільки сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 градусів матимемо:

Що і треба було довести.

Опуклий чотирикутник, вершинами якого є середини сторін довільного чотирикутника, є паралелограмом (теорема Варіньйона).

Отже, проведемо діагоналі чотирикутника  і розглянемо трикутник . Зазначимо, що  – середня лінія даного трикутника, а тому .

Розглянемо далі трикутник :  – середня лінія цього трикутника, а отже, . Таким чином, .

Аналогічним чином доводиться, що . Отже, за визначенням,  – паралелограм.

Якщо опуклий чотирикутник задовільняє властивості взаємної перпендикулярності своїх діагоналей, то суми квадратів його протилежних сторін рівні, тобто .

Для доведення даної властивості скористаємось теоремою Піфагора:

Виписавши далі вирази для сум квадратів протилежних сторін бачимо, що у правій частині кожного з виразів стоїть одна і та сама сума доданків:

Отже, рівні між собою і праві частини, що і треба було довести.

Розв’язування прикладів на тему опуклий чотирикутник.

Приклад 1: кути опуклого чотирикутника , сусідні з кутом , рівні, а протилежний кут удвічі більший за кут . Знайти градусну міру кут , якщо .

Отже, кутами, сусідніми з , є кути  і , а кутом, протилежним до – кут . Тоді, за умовою задачі, .

Оскільки сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360 градусів, то в даному випадку, матимемо:

Позначимо далі, градусну міру кута через . Тоді, градусна міра протилежного йому кута , за умовою, дорівнює . Звідси, . Отже, .

Приклад 2: нехай дано опуклий чотирикутник , діагоналі якого перпендикулярні і дорівнюють  та  відповідно. Знайти площу чотририкутника  вершини якого містяться  в серединах сторін чотирикутника .

Отже, як зазначалося вище, опуклий чотирикутник, вершинами якого є середини сторін довільного чотирикутника, є паралелограмом.

Проте, виходячи з того, що сторони паралелограма  є паралельні діагоналям чотирикутника , то  – прямокутник. Його площа дорівнює добутку суміжних сторін, причому  і :

Блок-схема алгоритму перевірки чи заданий чотирикутник опуклий