Опуклий чотирикутник – визначення та властивості

Нагадаємо, що чотирикутником називається фігура, що складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що їх послідовно сполучають. Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки – сторонами чотирикутника. При цьому жодні три вершини не лежать на одній прямій, а жодні дві сторони не перетинаються.

Чотирикутники можуть бути опуклими та неопуклими.

Чотирикутник опуклий, якщо він лежить по один бік від будь-якої прямої, що містить його сторону.

Опуклий чотирикутник визначення

Можна дати і інше визначення опуклого чотирикутника: якщо відрізок, що з’єднує дві будь-які точки чотирикутника, належить цьому чотирикутнику, він називається опуклим.

Якщо чотирикутник не лежить по один бік від будь-якої прямої, що містить його сторону, тоді він неопуклого.

На малюнку вище зображено опуклий чотирикутник ABCD – лежить по один бік від будь-якої з прямих AB, BC, CD та AD, або відрізок, що з’єднує будь-які його дві точки, належить цьому чотирикутнику.

Неопуклий чотирикутник EFGH

Чотирьохкутник EFGH – неопуклий, тому що відрізок EG не належить йому.

Зазначимо, що до категорії «опуклий чотирикутник» можна віднести практично всі відомі нам фігури, що складаються з чотирьох кутів та сторін. Зокрема, можна виділити наступні:

Діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються. Справді, це явище можна спостерігати візуально, достатньо подивитися на наступний малюнок.

Опуклий чотирикутник властивості

У будь-якому чотирикутнику сума кутів дорівнює 360 градусів.

Для доведення даної властивості розглянемо деякий опуклий чотирикутник ABCD. Проведемо діагональ AC, яка ділить його на два трикутники. Оскільки сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 градусів матимемо:

Опуклий чотирикутник властивості

Що і треба було довести.

Опуклий чотирикутник, вершинами якого є середини сторін довільного чотирикутника, є паралелограмом (теорема Варіньйона).

Опуклий чотирикутник властивості

Отже, проведемо діагоналі чотирикутника ABCD і розглянемо трикутник ABC. Зазначимо, що EFсередня лінія даного трикутника, а тому EF || AC.

Розглянемо далі трикутник ADC: HG – середня лінія цього трикутника, а отже, HG || AC. Таким чином, EF || AC || HG.

Аналогічним чином доводиться, що EH || BD || FG. Отже, за визначенням, EFGH – паралелограм.

Якщо опуклий чотирикутник задовільняє властивості взаємної перпендикулярності своїх діагоналей, то суми квадратів його протилежних сторін рівні, тобто AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2.

Опуклий чотирикутник властивості

Для доведення даної властивості скористаємось теоремою Піфагора:

Опуклий чотирикутник властивості

Виписавши далі вирази для сум квадратів протилежних сторін бачимо, що у правій частині кожного з виразів стоїть одна і та сама сума доданків:

Опуклий чотирикутник властивості

Отже, рівні між собою і праві частини, що і треба було довести.

Приклад 1: кути опуклого чотирикутника ABCD, сусідні з кутом C, рівні, а протилежний кут удвічі більший за кут C. Знайти градусну міру кут C, якщо B = 60°.

Отже, кутами, сусідніми з C, є кути B і D, а кутом, протилежним до C – кут A. Тоді, за умовою задачі, D = B = 60°.

Оскільки сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360 градусів, то в даному випадку, матимемо:

A + C = 240°

Позначимо далі, градусну міру кута C через x. Тоді, градусна міра протилежного йому кута A, за умовою, дорівнює 2 * x. Звідси, x = 80. Отже, C = 80°.

Приклад 2: нехай дано опуклий чотирикутник ABCD, діагоналі якого перпендикулярні і дорівнюють 4 см та 8 см відповідно. Знайти площу чотририкутника EFGH вершини якого містяться  в серединах сторін чотирикутника ABCD.

Опуклий чотирикутник ABCD

Отже, як зазначалося вище, опуклий чотирикутник, вершинами якого є середини сторін довільного чотирикутника, є паралелограмом.

Проте, виходячи з того, що сторони паралелограма EFGH є паралельні діагоналям чотирикутника ABCD, то EFGH – прямокутник. Його площа дорівнює добутку суміжних сторін, причому EF = 4 см і EH = 2 см:

Опуклий чотирикутник площа

Блок-схема алгоритму перевірки чи заданий чотирикутник опуклий

Опуклий чотирикутник блок-схема

Ми в соціальних мережах

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*