Застосування методу Крилова для знаходження власних векторів матриці

Метод Крилова, як і метод Данилевського, дає можливість достатньо просто знайти власні вектора матриці, якщо коефіцієнти характеристичного полінома та його корені визначені. Продемонструємо це і для простоти обмежимося випадком, коли характеристичний многочлен  матриці , має різні корені .

Отже, нехай – вектори, використовувані в методі Крилова для знаходження коефіцієнтів . Розкладаючи вектор за власними векторами матриці отримаємо:

де – деякі коефіцієнти.

Звідси, враховуючи, що , отримаємо:

Нехай,  – довільна система многочленів. Тоді, складаючи лінійну комбінацію векторів з коефіцієнтами з (3) та в силу співвідношень (1) і (2), знаходимо:

Якщо покласти , то очевидно:

Формула (4), при цьом, прийме наступного вигляду:

де коефіцієнти можуть бути визначені за схемою Горнера:

Таким чином, формула (6), в якій коефіцієнти обчислюються за формулою (7), визначає власний вектор , що відповідає власному значенню , з точністю до числового множника.

Власні вектори матриці – приклад знаходження:

Використовуючи розрахункові формули методу Крилова, знайти власний вектор матриці , що відповідає власному значенню .

Відмітимо, що для реалізації задуманого, нам знадобляться, використовувані у розрахункових формулах, значення координат векторів  та значення коефіцієнтів характеристичного полінома  (більш детальну інформацію про те, яким чином вони відшукуються можна знайти перейшовши за вказаним вище посиланням метод Крилова):

Отже, скориставшись формулами (6) та (7) знаходимо власний вектор матриці , що відповідає заданому власному значенню:

Блок-схема алгоритму знаходження власних векторів матриці методом Крилова