Власні Вектори Матриці: Побудова Через Вектори Крилова

Власні вектори матриці можна знаходити різними способами. Один із таких підходів пов’язаний із методом Крилова. Зазвичай цей метод спочатку використовують для знаходження коефіцієнтів характеристичного многочлена. Але що робити далі, коли власні значення вже знайдено? Саме тут вектори Крилова можна використати ще раз. Вони допомагають побудувати власні вектори матриці через спеціальну лінійну комбінацію вже відомих векторів.

Власні Вектори Матриці: Що Потрібно Знати Перед Побудовою

Нехай задано квадратну матрицю \( A \) порядку \( n \). Також нехай характеристичний многочлен цієї матриці вже знайдено. Запишемо його у вигляді

\[
D(\lambda)
=
\lambda^{n}
+
p_1\cdot\lambda^{n-1}
+
p_2\cdot\lambda^{n-2}
+
\dots
+
p_n.
\]

Далі припустимо, що всі корені цього многочлена різні. Тобто матриця має власні значення

\[
\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\dots,\lambda_n.
\]

Чому це важливо? Тому що для різних власних значень побудова власних векторів має простіший і зручніший вигляд. Кожному власному значенню \( \lambda_i \) відповідає власний вектор \( x_i \), для якого виконується рівність \( A\cdot x_i=\lambda_i\cdot x_i \).

Отже, наша задача така: для кожного власного значення \( \lambda_i \) побудувати відповідний власний вектор. Причому зробимо це не через пряме розв’язування системи \( (A-\lambda_i\cdot E)\cdot x=0 \), а через вектори Крилова.

Спочатку вибирають ненульовий початковий вектор \( y^{(0)} \). Далі будують послідовність векторів:

\[
y^{(1)}=A\cdot y^{(0)},
\qquad
y^{(2)}=A\cdot y^{(1)},
\qquad
\dots,
\qquad
y^{(n)}=A\cdot y^{(n-1)}.
\]

Інакше кажучи, кожен наступний вектор отримують множенням попереднього вектора на матрицю \( A \). Так формується послідовність векторів

\[
y^{(0)},y^{(1)},y^{(2)},\dots,y^{(n)}.
\]

Саме ці вектори й називають векторами Крилова. Далі вони допоможуть побудувати власні вектори матриці.

Метод Крилова: Як Вектори Пов’язані з Власними Значеннями

Тепер розглянемо, чому вектори Крилова можна використати для знаходження власних векторів. Нехай власні вектори матриці \( A \) мають вигляд

\[
x_1,x_2,x_3,\dots,x_n.
\]

Припустимо, що початковий вектор \( y^{(0)} \) можна розкласти за цими власними векторами:

\[
y^{(0)}
=
c_1\cdot x_1
+
c_2\cdot x_2
+
c_3\cdot x_3
+
\dots
+
c_n\cdot x_n.
\]

Тут \( c_1,c_2,c_3,\dots,c_n \) — деякі числові коефіцієнти. Зазвичай вважають, що \( c_i\ne0 \), де \( i=1,2,3,\dots,n \). Це означає, що початковий вектор має ненульову складову в напрямку кожного власного вектора.

Далі використаємо основну властивість власного вектора. Якщо \( x_i \) — власний вектор матриці \( A \), то \( A\cdot x_i=\lambda_i\cdot x_i \). Тому після множення \( y^{(0)} \) на матрицю \( A \) отримаємо:

\[
y^{(1)}
=
A\cdot y^{(0)}
=
c_1\cdot\lambda_1\cdot x_1
+
c_2\cdot\lambda_2\cdot x_2
+
c_3\cdot\lambda_3\cdot x_3
+
\dots
+
c_n\cdot\lambda_n\cdot x_n.
\]

А що буде з наступними векторами? Тут діє той самий принцип. Наприклад,

\[
y^{(2)}
=
c_1\cdot\lambda_1^2\cdot x_1
+
c_2\cdot\lambda_2^2\cdot x_2
+
c_3\cdot\lambda_3^2\cdot x_3
+
\dots
+
c_n\cdot\lambda_n^2\cdot x_n.
\]

Для довільного номера \( k \) можна записати загальну формулу:

\[
y^{(k)}
=
c_1\cdot\lambda_1^k\cdot x_1
+
c_2\cdot\lambda_2^k\cdot x_2
+
c_3\cdot\lambda_3^k\cdot x_3
+
\dots
+
c_n\cdot\lambda_n^k\cdot x_n.
\]

Отже, кожен вектор Крилова містить ті самі власні вектори \( x_1,x_2,\dots,x_n \), але з різними степенями власних значень. Саме це дає можливість виділити потрібний власний вектор. Як саме? Потрібно скласти таку лінійну комбінацію векторів Крилова, щоб усі зайві власні вектори зникли, а залишився тільки один.

Побудова Власного Вектора: Роль Допоміжного Многочлена

Для кожного власного значення \( \lambda_i \) введемо допоміжний многочлен

\[
Q_i(\lambda)
=
\frac{D(\lambda)}{\lambda-\lambda_i}.
\]

Оскільки \( \lambda_i \) є коренем характеристичного многочлена \( D(\lambda) \), такий поділ многочлена можливий. Многочлен \( Q_i(\lambda) \) має степінь \( n-1 \), тому його можна записати так:

\[
Q_i(\lambda)
=
\lambda^{n-1}
+
q_{1i}\cdot\lambda^{n-2}
+
q_{2i}\cdot\lambda^{n-3}
+
q_{3i}\cdot\lambda^{n-4}
+
\dots
+
q_{n-1,i}.
\]

Тепер складемо лінійну комбінацію векторів Крилова з такими самими коефіцієнтами. Позначимо побудований вектор через \( v_i \):

\[
v_i
=
y^{(n-1)}
+
q_{1i}\cdot y^{(n-2)}
+
q_{2i}\cdot y^{(n-3)}
+
q_{3i}\cdot y^{(n-4)}
+
\dots
+
q_{n-1,i}\cdot y^{(0)}.
\]

Чому саме така комбінація? Тому що після підстановки розкладів векторів \( y^{(0)},y^{(1)},\dots,y^{(n-1)} \) через власні вектори отримаємо:

\[
v_i
=
c_1\cdot Q_i(\lambda_1)\cdot x_1
+
c_2\cdot Q_i(\lambda_2)\cdot x_2
+
c_3\cdot Q_i(\lambda_3)\cdot x_3
+
\dots
+
c_n\cdot Q_i(\lambda_n)\cdot x_n.
\]

А тепер звернемо увагу на головну властивість многочлена \( Q_i(\lambda) \). Оскільки

\[
Q_i(\lambda)
=
\frac{D(\lambda)}{\lambda-\lambda_i},
\]

то для всіх \( j\ne i \) маємо \( Q_i(\lambda_j)=0 \). Тобто для всіх інших власних значень цей многочлен дорівнює нулю.

Для самого значення \( \lambda_i \) маємо

\[
Q_i(\lambda_i)=D'(\lambda_i).
\]

Оскільки корені характеристичного многочлена різні, то \( D'(\lambda_i)\ne0 \). Отже, у розкладі для \( v_i \) усі доданки, крім одного, зникають. Тому маємо:

\[
v_i
=
c_i\cdot Q_i(\lambda_i)\cdot x_i.
\]

Звідси видно, що вектор \( v_i \) має той самий напрям, що й власний вектор \( x_i \), який відповідає власному значенню \( \lambda_i \). Тому \( v_i \) можна взяти як власний вектор матриці \( A \), що відповідає власному значенню \( \lambda_i \).

Якщо координати отриманого вектора мають спільний числовий множник, його можна скоротити. Це не змінить суті результату, бо будь-який ненульовий кратний вектор також буде власним вектором для того самого власного значення.

Залишається питання: як знайти коефіцієнти \( q_{1i},q_{2i},\dots,q_{n-1,i} \)? Їх зручно обчислювати за схемою Горнера:

\[
q_{0i}=1,\qquad q_{ji}=\lambda_i\cdot q_{j-1,i}+p_j,\qquad j=1,2,3,\dots,n-1.
\]

Отже, метод Крилова дає послідовний алгоритм. Спочатку будують вектори Крилова. Потім знаходять характеристичний многочлен і його корені. Далі для кожного власного значення \( \lambda_i \) формують многочлен \( Q_i(\lambda) \), знаходять коефіцієнти за схемою Горнера та складають потрібну лінійну комбінацію векторів. У результаті отримують власний вектор матриці.

Практична Частина: Як Знаходити Власні Вектори Матриці

Тепер перейдемо до практики. У кожному прикладі будемо використовувати дані, які вже були отримані під час використання методу Крилова для знаходження власних значень матриці. Зокрема, нам знадобляться коефіцієнти характеристичного многочлена та координати векторів Крилова, що входять до розрахункових формул.

Приклад 1. Використовуючи метод Крилова, знайти власні вектори матриці
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix},
\]
якщо її власні значення дорівнюють
\[
\lambda_1=1,
\qquad
\lambda_2=3.
\]

Запишемо дані для обчислень:

\[
\begin{gathered}
p_1=-4,\qquad p_2=3,
\\[6pt]
y^{(0)}=
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix},
\qquad
y^{(1)}=
\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}.
\end{gathered}
\]

Оскільки матриця має другий порядок, для кожного власного значення \( \lambda_i \) допоміжний многочлен має вигляд \( Q_i(\lambda)=\lambda+q_{1i} \). Коефіцієнт \( q_{1i} \) знаходимо за схемою Горнера:

\[
q_{0i}=1,\qquad q_{1i}=\lambda_i\cdot q_{0i}+p_1.
\]

Спочатку знайдемо власний вектор для \( \lambda_1=1 \). Маємо:

\[
q_{11}
=
1\cdot1+(-4)
=
-3.
\]

Тепер складаємо лінійну комбінацію векторів Крилова:

\[
v_1
=
y^{(1)}
+
q_{11}\cdot y^{(0)}.
\]
Підставимо знайдені значення:
\[
v_1
=
\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}
–
3\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}.
\]

Отже,

\[
v_1
=
\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-3\\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}.
\]

Тому для власного значення \( \lambda_1=1 \) можна взяти власний вектор

\[
v_1=
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}.
\]

Коротко перевіримо результат. Маємо:

\[
A\cdot v_1
=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}.
\]

Оскільки

\[
1\cdot v_1
=
1\cdot
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix},
\]

то справді \( A\cdot v_1=1\cdot v_1 \). Отже, вектор \( v_1 \) знайдено правильно.

Тепер знайдемо власний вектор для \( \lambda_2=3 \). За схемою Горнера маємо:

\[
q_{12}
=
3\cdot1+(-4)
=
-1.
\]

Тоді

\[
v_2
=
y^{(1)}
+
q_{12}\cdot y^{(0)}.
\]

Підставимо вектори:

\[
v_2
=
\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}
–
1\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}.
\]

Звідси

\[
v_2
=
\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-1\\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]

Отже, для власного значення \( \lambda_2=3 \) можна взяти власний вектор

\[
v_2=
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]

Таким чином, власні вектори матриці мають вигляд

\[
\lambda_1=1:\; v_1=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix},\qquad
\lambda_2=3:\; v_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}.
\]

Приклад 2. Використовуючи метод Крилова, знайти власні вектори матриці
\[
A=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix},
\]
якщо її власні значення дорівнюють
\[
\lambda_1=1,
\qquad
\lambda_2=2,
\qquad
\lambda_3=3.
\]

Запишемо дані для обчислень:
\[
\begin{gathered}
p_1=-6,\qquad p_2=11,\qquad p_3=-6,
\\[6pt]
y^{(0)}=
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix},
\qquad
y^{(1)}=
\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix},
\qquad
y^{(2)}=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
9
\end{pmatrix}.
\end{gathered}
\]

Оскільки матриця має третій порядок, допоміжний многочлен для кожного власного значення має вигляд

\[
Q_i(\lambda)
=
\lambda^2
+
q_{1i}\cdot\lambda
+
q_{2i}.
\]

Коефіцієнти \( q_{1i} \) і \( q_{2i} \) знаходимо за схемою Горнера:

\[
q_{0i}=1,\qquad
q_{ji}
=
\lambda_i\cdot q_{j-1,i}
+
p_j,
\qquad
j=1,2.
\]

Почнемо з власного значення \( \lambda_1=1 \). Маємо:

\[
\begin{gathered}
q_{11}=1\cdot1+(-6)=-5,
\\[4pt]
q_{21}=1\cdot(-5)+11=6.
\end{gathered}
\]

Тепер складаємо лінійну комбінацію:

\[
v_1
=
y^{(2)}
+
q_{11}\cdot y^{(1)}
+
q_{21}\cdot y^{(0)}.
\]

Підставимо значення:

\[
v_1
=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
9
\end{pmatrix}
–
5\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}
+
6\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]

Отримаємо:

\[
v_1
=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
9
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-5\\
-10\\
-15
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
6\\
6\\
6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2\\
0\\
0
\end{pmatrix}.
\]

Усі координати можна поділити на \( 2 \), тому за власний вектор для \( \lambda_1=1 \) зручно взяти

\[
v_1=
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}.
\]

Тепер перейдемо до власного значення \( \lambda_2=2 \). За схемою Горнера:

\[
\begin{gathered}
q_{12}=2\cdot1+(-6)=-4,
\\[4pt]
q_{22}=2\cdot(-4)+11=3.
\end{gathered}
\]

Тому

\[
v_2
=
y^{(2)}
+
q_{12}\cdot y^{(1)}
+
q_{22}\cdot y^{(0)}.
\]

Підставимо вектори:

\[
v_2
=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
9
\end{pmatrix}
–
4\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}
+
3\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]

Звідси

\[
v_2
=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
9
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-4\\
-8\\
-12
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
3\\
3\\
3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
0
\end{pmatrix}.
\]

Цей вектор можна помножити на \( -1 \), щоб отримати простіший запис. Отже, для \( \lambda_2=2 \) можна взяти

\[
v_2=
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix}.
\]

Залишилося знайти власний вектор для \( \lambda_3=3 \). Маємо:

\[
\begin{gathered}
q_{13}=3\cdot1+(-6)=-3,
\\[4pt]
q_{23}=3\cdot(-3)+11=2.
\end{gathered}
\]

Тоді

\[
v_3
=
y^{(2)}
+
q_{13}\cdot y^{(1)}
+
q_{23}\cdot y^{(0)}.
\]

Підставимо значення:

\[
v_3
=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
9
\end{pmatrix}
–
3\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}
+
2\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]

Отримаємо:

\[
v_3
=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
9
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-3\\
-6\\
-9
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
2\\
2\\
2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
2
\end{pmatrix}.
\]

Поділимо всі координати вектора на \( 2 \). Тому для \( \lambda_3=3 \) можна взяти

\[
v_3=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}.
\]

Отже, для заданої матриці маємо такі власні вектори:

\[
\lambda_1=1:\; v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\qquad
\lambda_2=2:\; v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\qquad
\lambda_3=3:\; v_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}.
\]

Приклад 3. Використовуючи метод Крилова, знайти власні вектори матриці
\[
A=
\begin{pmatrix}
-3 & 4 & 2 & -7\\
-5 & 6 & 2 & -5\\
6 & -6 & -1 & 6\\
4 & -4 & -2 & 8
\end{pmatrix},
\]
якщо її власні значення дорівнюють
\[
\lambda_1=1,
\qquad
\lambda_2=2,
\qquad
\lambda_3=3,
\qquad
\lambda_4=4.
\]

Запишемо дані для обчислень:

\[
\begin{gathered}
p_1=-10,\qquad p_2=35,\qquad p_3=-50,\qquad p_4=24,\\[6pt]
y^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix},\qquad
y^{(1)}=\begin{pmatrix}-4\\-2\\5\\6\end{pmatrix},\qquad
y^{(2)}=\begin{pmatrix}-28\\-12\\19\\30\end{pmatrix},\qquad
y^{(3)}=\begin{pmatrix}-136\\-44\\65\\138\end{pmatrix}.
\end{gathered}
\]

У цьому прикладі обчислень буде більше, але логіка залишається такою самою: для кожного власного значення знаходимо коефіцієнти \( q_{ji} \), а потім складаємо лінійну комбінацію векторів Крилова.

Оскільки матриця має четвертий порядок, допоміжний многочлен для кожного власного значення записується так:

\[
Q_i(\lambda)
=
\lambda^3
+
q_{1i}\cdot\lambda^2
+
q_{2i}\cdot\lambda
+
q_{3i}.
\]

Коефіцієнти цього многочлена знаходимо за схемою Горнера:

\[
q_{0i}=1,
\qquad
q_{ji}
=
\lambda_i\cdot q_{j-1,i}
+
p_j,
\qquad
j=1,2,3.
\]

Почнемо з власного значення \( \lambda_1=1 \). Послідовно знаходимо:

\[
\begin{gathered}
q_{11}=1\cdot1+(-10)=-9,
\\[4pt]
q_{21}=1\cdot(-9)+35=26,
\\[4pt]
q_{31}=1\cdot26+(-50)=-24.
\end{gathered}
\]

Тепер складаємо лінійну комбінацію:

\[
v_1
=
y^{(3)}
+
q_{11}\cdot y^{(2)}
+
q_{21}\cdot y^{(1)}
+
q_{31}\cdot y^{(0)}.
\]

Підставимо значення:

\[
v_1
=
\begin{pmatrix}
-136\\
-44\\
65\\
138
\end{pmatrix}
–
9\cdot
\begin{pmatrix}
-28\\
-12\\
19\\
30
\end{pmatrix}
+
26\cdot
\begin{pmatrix}
-4\\
-2\\
5\\
6
\end{pmatrix}
–
24\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]

Виконаємо обчислення:

\[
v_1
=
\begin{pmatrix}
-136\\
-44\\
65\\
138
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
252\\
108\\
-171\\
-270
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-104\\
-52\\
130\\
156
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-24\\
-24\\
-24\\
-24
\end{pmatrix}.
\]

Отже,

\[
v_1
=
\begin{pmatrix}
-12\\
-12\\
0\\
0
\end{pmatrix}.
\]

Поділимо всі координати цього вектора на \( -12 \). Тому для \( \lambda_1=1 \) зручно взяти

\[
v_1=
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}.
\]

Тепер знайдемо власний вектор для \( \lambda_2=2 \). За схемою Горнера маємо:

\[
\begin{gathered}
q_{12}=2\cdot1+(-10)=-8,
\\[4pt]
q_{22}=2\cdot(-8)+35=19,
\\[4pt]
q_{32}=2\cdot19+(-50)=-12.
\end{gathered}
\]

Тоді

\[
v_2
=
y^{(3)}
+
q_{12}\cdot y^{(2)}
+
q_{22}\cdot y^{(1)}
+
q_{32}\cdot y^{(0)}.
\]

Підставимо значення:

\[
v_2
=
\begin{pmatrix}
-136\\
-44\\
65\\
138
\end{pmatrix}
–
8\cdot
\begin{pmatrix}
-28\\
-12\\
19\\
30
\end{pmatrix}
+
19\cdot
\begin{pmatrix}
-4\\
-2\\
5\\
6
\end{pmatrix}
–
12\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]

Маємо:

\[
v_2
=
\begin{pmatrix}
-136\\
-44\\
65\\
138
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
224\\
96\\
-152\\
-240
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-76\\
-38\\
95\\
114
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-12\\
-12\\
-12\\
-12
\end{pmatrix}.
\]

Отже,

\[
v_2
=
\begin{pmatrix}
0\\
2\\
-4\\
0
\end{pmatrix}.
\]

Поділимо всі координати вектора на \( 2 \). Тому для \( \lambda_2=2 \) можна взяти

\[
v_2=
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
-2\\
0
\end{pmatrix}.
\]

Далі знайдемо власний вектор для \( \lambda_3=3 \). Коефіцієнти допоміжного многочлена:

\[
\begin{gathered}
q_{13}=3\cdot1+(-10)=-7,
\\[4pt]
q_{23}=3\cdot(-7)+35=14,
\\[4pt]
q_{33}=3\cdot14+(-50)=-8.
\end{gathered}
\]

Тому

\[
v_3
=
y^{(3)}
+
q_{13}\cdot y^{(2)}
+
q_{23}\cdot y^{(1)}
+
q_{33}\cdot y^{(0)}.
\]

Підставимо вектори:

\[
v_3
=
\begin{pmatrix}
-136\\
-44\\
65\\
138
\end{pmatrix}
–
7\cdot
\begin{pmatrix}
-28\\
-12\\
19\\
30
\end{pmatrix}
+
14\cdot
\begin{pmatrix}
-4\\
-2\\
5\\
6
\end{pmatrix}
–
8\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]

Отримаємо:

\[
v_3
=
\begin{pmatrix}
-136\\
-44\\
65\\
138
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
196\\
84\\
-133\\
-210
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-56\\
-28\\
70\\
84
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-8\\
-8\\
-8\\
-8
\end{pmatrix}.
\]

Звідси

\[
v_3
=
\begin{pmatrix}
-4\\
4\\
-6\\
4
\end{pmatrix}.
\]

Усі координати можна поділити на \( 2 \), тому зручно взяти

\[
v_3=
\begin{pmatrix}
-2\\
2\\
-3\\
2
\end{pmatrix}.
\]

Це власний вектор, що відповідає власному значенню \( \lambda_3=3 \).

Нарешті, знайдемо власний вектор для \( \lambda_4=4 \). Спочатку обчислимо коефіцієнти:

\[
\begin{gathered}
q_{14}=4\cdot1+(-10)=-6,
\\[4pt]
q_{24}=4\cdot(-6)+35=11,
\\[4pt]
q_{34}=4\cdot11+(-50)=-6.
\end{gathered}
\]

Тепер складаємо лінійну комбінацію:

\[
v_4
=
y^{(3)}
+
q_{14}\cdot y^{(2)}
+
q_{24}\cdot y^{(1)}
+
q_{34}\cdot y^{(0)}.
\]

Підставимо знайдені значення:

\[
v_4
=
\begin{pmatrix}
-136\\
-44\\
65\\
138
\end{pmatrix}
–
6\cdot
\begin{pmatrix}
-28\\
-12\\
19\\
30
\end{pmatrix}
+
11\cdot
\begin{pmatrix}
-4\\
-2\\
5\\
6
\end{pmatrix}
–
6\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]

Маємо:

\[
v_4
=
\begin{pmatrix}
-136\\
-44\\
65\\
138
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
168\\
72\\
-114\\
-180
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-44\\
-22\\
55\\
66
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-6\\
-6\\
-6\\
-6
\end{pmatrix}.
\]

Отже,

\[
v_4
=
\begin{pmatrix}
-18\\
0\\
0\\
18
\end{pmatrix}.
\]

Поділимо всі координати цього вектора на \( -18 \). Тоді для \( \lambda_4=4 \) можна взяти

\[
v_4=
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\\
-1
\end{pmatrix}.
\]

Отже, для заданої матриці власні вектори можна записати так:

\[
\lambda_1=1:\; v_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix},\qquad
\lambda_2=2:\; v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix},\qquad
\lambda_3=3:\; v_3=\begin{pmatrix}-2\\2\\-3\\2\end{pmatrix},\qquad
\lambda_4=4:\; v_4=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}.
\]

Що Варто Розглянути Далі: Теми для Продовження

Після методу Крилова варто порівняти його з іншими підходами. Так легше побачити, як одна й та сама задача розв’язується різними способами. Отже, які теми можуть бути наступними?

1. Характеристичний визначник: Власні значення та вектори — У статті йдеться про те, як через характеристичний визначник знайти власні значення й побудувати відповідні вектори.
2. Метод Данилевського: Власні значення матриці — Матеріал пояснює, як перетворення Данилевського приводять матрицю до форми, з якої легко отримати власні значення.
3. Власні вектори матриці: Продовження методу Данилевського — Стаття показує, як після знаходження власних значень перейти до побудови власних векторів методом Данилевського.

Власні Вектори Матриці: Алгоритм для Програмної Реалізації

Якщо ви любите програмування, то цей етап може бути найцікавішим. Метод Крилова вже дав нам зрозумілу послідовність дій: побудувати вектори Крилова, знайти коефіцієнт допоміжного многочлена, обчислити власний вектор і перевірити отриманий результат. Тепер усе це можна перетворити на програму будь-якою мовою: Pascal, Python, C++, JavaScript чи іншою, яка вам подобається. Подивіться на блок-схему нижче й спробуйте самостійно реалізувати цей алгоритм. Хіба не цікаво побачити, як теоретичні формули перетворюються на реальний код?