Похідна є одним із головних понять математичного аналізу. Проте знаходити її щоразу лише за означенням не дуже зручно. Саме тому в практичних обчисленнях використовують правила диференціювання та спеціальний довідковий блок «таблиця похідних». Вони допомагають швидше знаходити похідні складених виразів, сум, добутків, часток і основних елементарних функцій. Як діяти правильно? Спочатку варто визначити структуру функції, а вже потім обрати потрібне правило або формулу.
Правила Диференціювання: Як Працювати з Різними Видами Функцій
Почнемо з головного. Якщо функція складається з кількох частин, її похідну зазвичай знаходять не за означенням, а за готовими правилами. Це значно спрощує роботу. Адже навіщо щоразу повертатися до границі, якщо вже є перевірені формули?
Базові правила диференціювання
Найпростіше правило стосується сталої величини. Якщо \( C \) — стала, то її похідна дорівнює нулю: \( (C)’=0 \). Це означає, що стала величина не змінюється, тому й швидкість її зміни дорівнює нулю.
Далі розглянемо суму та різницю функцій. Якщо функції \( u(x) \), \( v(x) \), \( z(x) \) диференційовні в деякій точці \( x \), то їх алгебраїчна сума також диференційовна. При цьому похідна суми або різниці дорівнює сумі або різниці похідних:
\[
(u(x)\pm v(x)\pm z(x))’=u'(x)\pm v'(x)\pm z'(x).
\]
Інакше кажучи, кожну частину виразу можна диференціювати окремо. Це дуже зручно, коли функція має вигляд суми кількох простіших функцій.
Наприклад, якщо потрібно знайти похідну функції \( f(x)=x^3+\sin(x)-5 \), то ми окремо диференціюємо \( x^3 \), окремо \( \sin(x) \), а стала \( -5 \) дає нуль. Тобто тут працює саме правило суми.
Правила для добутку та частки
Наступне важливе правило — похідна добутку. Якщо функції \( u(x) \) і \( v(x) \) диференційовні у точці \( x \), то похідна їх добутку обчислюється так:
\[
(u(x)\cdot v(x))’=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x).
\]
Зверніть увагу: не можна просто перемножити похідні. Тобто загалом \( (u(x)\cdot v(x))’\neq u'(x)\cdot v'(x) \). Саме тому формулу добутку потрібно добре запам’ятати.
Окремий корисний випадок — множення функції на сталу. Якщо \( C \) — стала, то \( (C\cdot v(x))’=C\cdot v'(x) \). Отже, сталий множник можна винести за знак похідної.
Тепер перейдемо до частки. Якщо функції \( u(x) \) і \( v(x) \) диференційовні у точці \( x \), причому \( v(x)\neq 0 \), то похідна частки має вигляд:
\[
\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)’=
\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Ця формула виглядає трохи довшою, але її логіка проста: спочатку беремо похідну чисельника й множимо на знаменник, потім віднімаємо чисельник, помножений на похідну знаменника. У знаменнику ставимо квадрат початкового знаменника.
Наприклад, якщо чисельник є сталою, тобто маємо вираз \( \frac{C}{v(x)} \), то формула спрощується:
\[
\left(\frac{C}{v(x)}\right)’=
-\frac{C\cdot v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
А якщо знаменник є сталою, тобто маємо \( \frac{u(x)}{C} \), то похідна дорівнює \( \frac{u'(x)}{C} \). Це ще раз показує, що перед диференціюванням корисно уважно подивитися на структуру функції.
Похідна складеної функції
Окремо варто розглянути складену функцію. Чому це так важливо? Бо в математичному аналізі часто трапляються вирази, де одна функція «вкладена» в іншу. Наприклад, це можуть бути функції типу \( \ln(x^2+1) \), \( \sin(3\cdot x) \), \( (2\cdot x+5)^4 \).
У таких випадках використовують правило похідної складеної функції. Якщо функція \( g(x) \) диференційовна в точці \( x \), а функція \( f \) диференційовна в точці \( g(x) \), то похідна складеної функції \( f(g(x)) \) знаходиться за формулою:
\[
(f(g(x)))’=f'(g(x))\cdot g'(x).
\]
Що це означає простими словами? Спочатку беремо похідну зовнішньої функції, не змінюючи внутрішню функцію. Потім обов’язково множимо результат на похідну внутрішньої функції.
Наприклад, у функції \( \ln(x^2+1) \) зовнішньою є логарифмічна функція, а внутрішньою — \( x^2+1 \). Тому недостатньо просто знайти похідну \( (\ln(x^2+1))’ \) як похідну звичайної логарифмічної функції. Потрібно ще врахувати похідну внутрішньої функції \( x^2+1 \).
Таблиця Похідних: Основні Формули для Елементарних Функцій
Після правил диференціювання природно перейти до таблиці похідних. Чому вона така важлива? Тому що правила показують, як диференціювати складений вираз, а таблиця підказує, яку похідну має кожна елементарна функція.
Наприклад, правило суми дозволяє розбити вираз на частини. Але щоб завершити обчислення, потрібно знати, чому дорівнює похідна \( x^n \), \( \sin(x) \), \( \ln(x) \), \( e^x \) та інших функцій. Саме для цього й використовують таблицю.
| Функція | Похідна |
|---|---|
| \( C,\ C\in\mathbb{R} \) | \( (C)’=0 \) |
| \( x^n \) | \( (x^n)’=n\cdot x^{n-1} \) |
| \( \sqrt{x} \) | \( (\sqrt{x})’=\frac{1}{2\cdot\sqrt{x}} \) |
| \( \frac{1}{x} \) | \( \left(\frac{1}{x}\right)’=-\frac{1}{x^2} \) |
| \( \sin(x) \) | \( (\sin(x))’=\cos(x) \) |
| \( \cos(x) \) | \( (\cos(x))’=-\sin(x) \) |
| \( \tan(x) \) | \( (\tan(x))’=\frac{1}{\cos^2(x)} \) |
| \( \cot(x) \) | \( (\cot(x))’=-\frac{1}{\sin^2(x)} \) |
| \( a^x \) | \( (a^x)’=a^x\cdot\ln(a) \) |
| \( e^x \) | \( (e^x)’=e^x \) |
| \( \ln(x) \) | \( (\ln(x))’=\frac{1}{x} \) |
| \( \log_a(x) \) | \( (\log_a(x))’=\frac{1}{x\cdot\ln(a)} \) |
| \( \arcsin(x) \) | \( (\arcsin(x))’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) |
| \( \arccos(x) \) | \( (\arccos(x))’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) |
| \( \arctan(x) \) | \( (\arctan(x))’=\frac{1}{1+x^2} \) |
| \( \operatorname{arccot}(x) \) | \( (\operatorname{arccot}(x))’=-\frac{1}{1+x^2} \) |
Отже, під час диференціювання варто діяти послідовно. Спочатку визначаємо, що перед нами: сума, різниця, добуток, частка, складена функція чи вираз зі сталою. Потім застосовуємо відповідне правило. І лише після цього використовуємо потрібну формулу з таблиці похідних.
Також не забуваймо про попередні перетворення. Іноді вираз можна спростити ще до диференціювання. Наприклад, дріб можна скоротити, степені — об’єднати, а дужки — розкрити. Хіба не легше спочатку зробити вираз простішим, а вже потім знаходити похідну? Саме такий підхід часто допомагає уникнути зайвих обчислень і помилок.
Правила Диференціювання Функцій і Таблиця Похідних: Практичне Застосування Формул
Тепер перейдемо до практики. Адже правила диференціювання стають справді зрозумілими тоді, коли ми застосовуємо їх у конкретних прикладах. Будемо діяти послідовно: спочатку визначимо структуру функції, потім виберемо правило, а далі використаємо таблицю похідних.
Приклад 1. Знайти похідну функції \( f(x)=x^5-3\cdot x^2+7\cdot x-10 \)
Перед нами алгебраїчна сума кількох доданків. Тому спочатку застосовуємо правило похідної суми та різниці. Це означає, що кожен доданок можна диференціювати окремо:
\[
f'(x)=(x^5)’-(3\cdot x^2)’+(7\cdot x)’-(10)’.
\]
Тепер використаємо таблицю похідних. Для степеневої функції маємо формулу \( (x^n)’=n\cdot x^{n-1} \). Також пам’ятаємо, що похідна сталої дорівнює нулю.
Тоді:
\[
\begin{gathered}
(x^5)’=5\cdot x^4,
\\[4pt]
(3\cdot x^2)’=3\cdot (x^2)’=3\cdot 2\cdot x=6\cdot x,
\\[4pt]
(7\cdot x)’=7,
\\[4pt]
(10)’=0.
\end{gathered}
\]
Отже,
\[
f'(x)=5\cdot x^4-6\cdot x+7.
\]
Приклад 2. Знайти похідну функції \( f(x)=(x^2+1)\cdot \sin(x) \)
Тут функція є добутком двох виразів. Перший множник — \( x^2+1 \), другий — \( \sin(x) \). Отже, потрібно використати правило похідної добутку:
\[
(u(x)\cdot v(x))’=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x).
\]
Позначимо \( u(x)=x^2+1 \), а \( v(x)=\sin(x) \). Тоді:
\[
\begin{gathered}
u'(x)=(x^2+1)’=2\cdot x,
\\[4pt]
v'(x)=(\sin(x))’=\cos(x).
\end{gathered}
\]
Тепер підставимо ці похідні у формулу добутку:
\[
f'(x)=2\cdot x\cdot \sin(x)+(x^2+1)\cdot \cos(x).
\]
Отже, похідна дорівнює:
\[
f'(x)=2\cdot x\cdot \sin(x)+(x^2+1)\cdot \cos(x).
\]
Приклад 3. Знайти похідну функції \( f(x)=\frac{x^3+2\cdot x}{x^2+1} \)
Перед нами частка двох функцій. Тому використовуємо правило похідної частки:
\[
\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)’=
\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Позначимо чисельник через \( u(x) \), а знаменник через \( v(x) \):
\[
\begin{gathered}
u(x)=x^3+2\cdot x,
\\[4pt]
v(x)=x^2+1.
\end{gathered}
\]
Тепер знайдемо їх похідні. Для чисельника маємо:
\[
u'(x)=(x^3+2\cdot x)’=3\cdot x^2+2.
\]
Для знаменника:
\[
v'(x)=(x^2+1)’=2\cdot x.
\]
Підставимо все у формулу похідної частки:
\[
f'(x)=
\frac{(3\cdot x^2+2)\cdot (x^2+1)-(x^3+2\cdot x)\cdot 2\cdot x}{(x^2+1)^2}.
\]
Далі спростимо чисельник. Спочатку розкриємо перший добуток:
\[
(3\cdot x^2+2)\cdot (x^2+1)=3\cdot x^4+3\cdot x^2+2\cdot x^2+2=3\cdot x^4+5\cdot x^2+2.
\]
Тепер розкриємо другий добуток:
\[
(x^3+2\cdot x)\cdot 2\cdot x=2\cdot x^4+4\cdot x^2.
\]
Отже, чисельник дорівнює:
\[
3\cdot x^4+5\cdot x^2+2-(2\cdot x^4+4\cdot x^2)=x^4+x^2+2.
\]
Тому остаточно маємо:
\[
f'(x)=\frac{x^4+x^2+2}{(x^2+1)^2}.
\]
Приклад 4. Знайти похідну функції \( f(x)=\ln(x^2+1) \)
Перед нами складена функція. Зовнішньою функцією є натуральний логарифм, а внутрішньою — \( x^2+1 \). Тому тут потрібно використати правило похідної складеної функції:
\[
(f(g(x)))’=f'(g(x))\cdot g'(x).
\]
Позначимо внутрішню функцію так:
\[
g(x)=x^2+1.
\]
Тоді задану функцію можна розглядати як \( \ln(g(x)) \). З таблиці похідних знаємо, що \( (\ln(x))’=\frac{1}{x} \). Але оскільки під логарифмом стоїть не просто \( x \), а вираз \( x^2+1 \), потрібно ще помножити на похідну внутрішньої функції.
Знайдемо похідну внутрішньої функції:
\[
g'(x)=(x^2+1)’=2\cdot x.
\]
Тепер застосуємо правило складеної функції:
\[
f'(x)=\frac{1}{x^2+1}\cdot 2\cdot x.
\]
Отже,
\[
f'(x)=\frac{2\cdot x}{x^2+1}.
\]
Приклад 5. Знайти похідну функції \( f(x)=\frac{x^2-1}{x} \)
На перший погляд, перед нами частка. Тому можна було б одразу застосувати правило похідної частки. Але чи завжди це найзручніший шлях? Ні. Іноді перед диференціюванням краще спростити функцію.
Розділимо кожен доданок чисельника на \( x \):
\[
\frac{x^2-1}{x}=\frac{x^2}{x}-\frac{1}{x}.
\]
Отже,
\[
f(x)=x-\frac{1}{x}.
\]
Тепер функція стала значно простішою. Застосуємо правило похідної різниці:
\[
f'(x)=(x)’-\left(\frac{1}{x}\right)’.
\]
За таблицею похідних маємо \( (x)’=1 \), а \( \left(\frac{1}{x}\right)’=-\frac{1}{x^2} \). Тоді:
\[
f'(x)=1-\left(-\frac{1}{x^2}\right).
\]
Отже,
\[
f'(x)=1+\frac{1}{x^2}.
\]
Наступний Крок у Диференціюванні: Теми Для Продовження
Після правил диференціювання та таблиці похідних варто перейти до тем, де похідна знаходиться вже не зовсім стандартним способом. Саме тут добре видно, як базові формули працюють у складніших ситуаціях. Тож що варто розглянути далі?
- Похідна неявно заданої функції: Диференціювання без явного виразу — У статті йтиметься про знаходження похідної, коли функція задана рівнянням, а потрібну змінну не виражено явно.
- Похідна параметрично заданої функції: Робота з допоміжним параметром — У темі буде пояснено, як знаходити похідну, коли координати залежать не одна від одної, а від спільного параметра.
- Логарифмічне диференціювання: Зручний метод для складних виразів — У статті буде розглянуто, як логарифм допомагає спростити диференціювання добутків, часток і степеневих виразів.
Правила Диференціювання і Таблиця Похідних: Алгоритм для Власного Коду
Якщо вам цікаве програмування, спробуйте перетворити знання про похідні на невеликий практичний проєкт. Блок-схема нижче показує алгоритм, який знаходить значення похідної многочлена в заданій точці: програма приймає степінь, коефіцієнти та значення \( x \), а потім обчислює результат. Це гарна можливість побачити, як правила диференціювання і таблиця похідних працюють не лише на папері, а й у коді. Реалізуйте цей алгоритм мовою Pascal, Python, JavaScript, C++ або будь-якою іншою мовою, яка вам подобається. Хіба не цікаво змусити математичну формулу працювати як справжній обчислювальний інструмент?
