Розглянутий в параграфі Обчислення власних значень матриці метод Данилевського дає можливість визначати не тільки всі власні значення матриці 
, а і всі її власні вектори, при умові, що відповідні їм власні значення являються відомими. Покажемо, яким чином це реалізується. Отже, нехай 
– власне значення матриці , а отже, і власне значення подібної їй матриці Фробеніуса 
.
Знайдемо власний вектор 
матриці , який відповідає власному значенню . Для цього, запишемо лінійне рівняння наступного вигляду: 
. Звідси 
або у матрично-векторній формі:
Перемноживши матриці, отримаємо систему для визначення координат 
власного вектора 
:
Система (3) – однорідна. Рішення її може бути знайдене в такий спосіб. Покладемо 
. Тоді, починаючи з останнього рівняння, послідовно отримаємо:
Таким чином, шуканий власний вектор дорівнює 
.
Позначимо тепер через 
власний вектор матриці , що відповідає власному значенню . Тоді, виходячи з того, що 
(де 
) отримаємо 
. Домноживши обидві частини останього рівняння зліва на 
, отримаємо 
. Це означає, що вектор 
є власним вектором матриці , що відповідає власному значенню , тобто:
Власні вектори матриці – приклад знаходження:
Використовуючи розглянутий алгоритм методу Данилевського, знайти власний вектор матриці , що відповідає власному значенню 
.
Для цього, на першому кроці, запишемо процес переходу від матриці до подібної їй матриці Фробеніуса . Відмітимо, що даний процес складається з трьох етапів, кожен з яких базується на використанні формул (4) та (5) з теоретичного матеріалу, що міститься за вказаним вище посиланням.
Далі, переходимо до обчислення елементів матриці перетворення :
І на останньому кроці, обрахуємо значення координат власного вектора що відповідає власному значенню , матриці Фробеніуса , після чого, скориставшись формулою (5), знайдемо власний вектор заданої матриці :
Блок-схема алгоритму знаходження власних векторів матриці методом Данилевського
