Метод Данилевського дає змогу знаходити власні вектори матриці після того, як власні значення вже знайдено. Це важливо розуміти одразу. У цій статті ми не будемо заново будувати характеристичний многочлен і шукати його корені. Натомість зосередимося на іншому питанні: як за відомим власним значенням побудувати відповідний власний вектор?
Перевага цього підходу полягає в тому, що спочатку початкова матриця зводиться до спеціальної форми — матриці Фробеніуса. Для такої матриці власний вектор має дуже простий вигляд. Далі залишається повернутися до початкової матриці за допомогою матриці перетворення. Саме цей шлях і розглянемо крок за кроком.
Власні Вектори Матриці: Яку Задачу Потрібно Розв’язати
Нехай задано квадратну матрицю \( A \). Власним вектором цієї матриці називають ненульовий вектор \( x \), який після множення на матрицю \( A \) переходить у вектор того самого напряму.
Інакше кажучи, для деякого числа \( \lambda \) виконується рівність \( A\cdot x=\lambda\cdot x \). Тут \( \lambda \) — власне значення, а \( x \) — відповідний йому власний вектор.
У нашому випадку вважаємо, що власне значення \( \lambda \) уже знайдене. Тому головне завдання полягає не в обчисленні \( \lambda \), а в побудові такого ненульового вектора \( x \), який задовольняє рівняння \( A\cdot x=\lambda\cdot x \).
Проте напряму працювати з матрицею \( A \) не завжди зручно. Чому? Бо система для координат власного вектора може мати складний вигляд. Саме тому в методі Данилевського використовують допоміжну матрицю Фробеніуса. Вона подібна до матриці \( A \), але має значно простішу структуру.
Отже, загальна ідея така: спочатку знаходимо власний вектор для матриці Фробеніуса, а потім за допомогою матриці перетворення отримуємо власний вектор початкової матриці.
Матриця Фробеніуса: Перехід до Зручної Форми
У методі Данилевського початкова матриця \( A \) за допомогою послідовних перетворень зводиться до матриці Фробеніуса \( P \). Ця матриця має спеціальний вигляд:
\[
P =
\begin{pmatrix}
p_1 & p_2 & p_3 & \dots & p_{n-1} & p_n \\
1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Така форма зручна тим, що її елементи розташовані за простим правилом. У першому рядку розміщені коефіцієнти \( p_1,p_2,\dots,p_n \), а нижче — одиниці під головною діагоналлю.
Матриці \( A \) і \( P \) є подібними. Це означає, що вони пов’язані рівністю:
\[
P=M^{-1}\cdot A\cdot M.
\]
Тут \( M \) — матриця перетворення. Вона поєднує всі перетворення, за допомогою яких матриця \( A \) була зведена до матриці Фробеніуса \( P \).
У цьому записі матрицю \( M \) можна подати як добуток:
\[
M=M_1\cdot M_2\cdot M_3\cdot \dots \cdot M_{n-2}\cdot M_{n-1}.
\]
Оскільки \( A \) і \( P \) подібні, вони мають однакові власні значення. Тому якщо \( \lambda \) є власним значенням матриці \( A \), то воно є також власним значенням матриці \( P \).
Саме це дозволяє перейти до наступного кроку: спочатку знайти власний вектор \( y \) для матриці \( P \), а вже потім отримати потрібний вектор \( x \) для матриці \( A \).
Вектор Матриці Фробеніуса: Як Побудувати Розв’язок
Нехай \( y=(y_1,y_2,y_3,\dots,y_n) \) — власний вектор матриці \( P \), який відповідає власному значенню \( \lambda \). Тоді виконується рівність \( P\cdot y=\lambda\cdot y \).
Перенесемо праву частину рівності в ліву. Отримаємо однорідну систему:
\[
(P-\lambda\cdot E)\cdot y=0,
\]
де \( E \) — одинична матриця.
Для матриці Фробеніуса ця система має особливо зручний вигляд:
\[
\begin{pmatrix}
p_1-\lambda & p_2 & p_3 & \dots & p_{n-1} & p_n \\
1 & -\lambda & 0 & \dots & 0 & 0 \\
0 & 1 & -\lambda & \dots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & 1 & -\lambda
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
y_1\\
y_2\\
y_3\\
\vdots\\
y_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}.
\]
Після множення матриці на вектор отримаємо систему рівнянь:
\[
\begin{cases}
(p_1-\lambda)\cdot y_1+p_2\cdot y_2+p_3\cdot y_3+\dots+p_n\cdot y_n=0,\\
y_1-\lambda\cdot y_2=0,\\
y_2-\lambda\cdot y_3=0,\\
\vdots\\
y_{n-1}-\lambda\cdot y_n=0.
\end{cases}
\]
Тепер важливий момент. Власний вектор визначається з точністю до ненульового множника. Тобто, якщо \( y \) є власним вектором, то будь-який вектор \( c\cdot y \), де \( c\neq 0 \), також буде власним вектором.
Саме тому одну координату можна вибрати довільно. Найзручніше покласти \( y_n=1 \). Тоді з останнього рівняння маємо \( y_{n-1}=\lambda \). Далі з попереднього рівняння отримаємо \( y_{n-2}=\lambda^2 \). Продовжуючи цей процес, дістанемо:
\[
y_1=\lambda^{n-1}, \quad
y_2=\lambda^{n-2}, \quad
y_3=\lambda^{n-3}, \quad
\dots, \quad
y_n=1.
\]
Отже, власний вектор матриці Фробеніуса \( P \), який відповідає власному значенню \( \lambda \), можна записати так:
\[
y=
\begin{pmatrix}
\lambda^{n-1}\\
\lambda^{n-2}\\
\lambda^{n-3}\\
\vdots\\
1
\end{pmatrix}.
\]
А що відбувається з першим рівнянням системи? Воно не є зайвим. Саме воно узгоджується з характеристичним рівнянням матриці \( P \). Оскільки \( \lambda \) є власним значенням цієї матриці, перше рівняння виконується для побудованого вектора.
Тобто останні рівняння дають нам координати вектора \( y \), а перше підтверджує, що цей вектор відповідає саме власному значенню \( \lambda \).
Власні Вектори Матриці: Перехід до Початкової Матриці
Тепер маємо власний вектор \( y \) матриці Фробеніуса \( P \). Але початкова задача стосується матриці \( A \), тому потрібно перейти від \( y \) до власного вектора \( x \).
Використаємо зв’язок між матрицями \( A \) і \( P \):
\[
P=M^{-1}\cdot A\cdot M.
\]
Оскільки \( y \) — власний вектор матриці \( P \), маємо \( P\cdot y=\lambda\cdot y \). Підставимо замість \( P \) вираз \( M^{-1}\cdot A\cdot M \):
\[
M^{-1}\cdot A\cdot M\cdot y=\lambda\cdot y.
\]
Тепер помножимо обидві частини рівності зліва на матрицю \( M \). Отримаємо:
\[
A\cdot M\cdot y=\lambda \cdot M\cdot y.
\]
Ця рівність має той самий вигляд, що й рівняння для власного вектора матриці \( A \). Отже, вектор \( M\cdot y \) є власним вектором матриці \( A \).
Тому шуканий власний вектор записується так:
\[
x=M\cdot y.
\]
Оскільки вектор \( y \) уже знайдено, маємо остаточну формулу:
\[
x
=
M\cdot
\begin{pmatrix}
\lambda^{n-1}\\
\lambda^{n-2}\\
\lambda^{n-3}\\
\vdots\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Отже, схема знаходження власного вектора методом Данилевського така. Спочатку використовуємо відоме власне значення \( \lambda \). Потім будуємо власний вектор матриці Фробеніуса:
\[
y=
\begin{pmatrix}
\lambda^{n-1}\\
\lambda^{n-2}\\
\lambda^{n-3}\\
\vdots\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Після цього множимо його на матрицю перетворення \( M \) і отримуємо власний вектор початкової матриці:
\[
x=M\cdot y.
\]
Таким чином, метод Данилевського дає змогу не лише знайти власні значення, а й побудувати відповідні власні вектори. Головне — пам’ятати послідовність: спочатку працюємо з матрицею Фробеніуса, а потім повертаємося до початкової матриці через матрицю перетворення.
Практична Частина: Як Знаходити Власні Вектори Матриці Методом Данилевського
Тепер застосуємо описану схему на конкретних матрицях. У кожному прикладі власні значення вже задані, тому нам не потрібно шукати характеристичний многочлен. Наше завдання — побудувати власні вектори за допомогою матриці Фробеніуса та матриці перетворення.
Приклад 1. Використовуючи метод Данилевського, знайти власні вектори матриці
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix},
\]
якщо її власні значення дорівнюють
\[
\lambda_1=1,
\qquad
\lambda_2=5.
\]
Маємо матрицю другого порядку. Тому після перетворення Данилевського вона має бути зведена до матриці Фробеніуса вигляду
\[
P=
\begin{pmatrix}
p_1 & p_2\\
1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Матриця перетворення будується так, щоб після перетворення \( P=M_1^{-1}\cdot A\cdot M_1 \) нижній рядок матриці Фробеніуса мав вигляд \( (1,0) \). Для цієї матриці відповідна матриця перетворення має вигляд:
\[
M_1=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & -\dfrac{4}{3}\\
0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Тоді
\[
P=M_1^{-1}\cdot A\cdot M_1.
\]
Після множення отримаємо:
\[
P=
\begin{pmatrix}
6 & -5\\
1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Отже, початкову матрицю \( A \) зведено до матриці Фробеніуса \( P \).
Для матриці другого порядку власний вектор матриці \( P \), який відповідає власному значенню \( \lambda \), має вигляд
\[
y=
\begin{pmatrix}
\lambda\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Тепер власний вектор початкової матриці \( A \) знаходимо за формулою
\[
x=M_1\cdot y.
\]
Спочатку розглянемо власне значення \( \lambda_1=1 \). Для нього маємо:
\[
y_1=
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Тоді
\[
x_1=
M_1\cdot y_1
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & -\dfrac{4}{3}\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Виконаємо множення:
\[
x_1=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3}-\dfrac{4}{3}\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Отже, власному значенню \( \lambda_1=1 \) відповідає власний вектор
\[
x_1=
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Перевіримо результат:
\[
A\cdot x_1
=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 4
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Оскільки
\[
1\cdot x_1
=
1\cdot
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix},
\]
то вектор знайдено правильно.
Тепер розглянемо власне значення \( \lambda_2=5 \). Для нього
\[
y_2=
\begin{pmatrix}
5\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Тоді
\[
x_2=
M_1\cdot y_2
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & -\dfrac{4}{3}\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
5\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Звідси
\[
x_2=
\begin{pmatrix}
\dfrac{5}{3}-\dfrac{4}{3}\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3}\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Власний вектор можна множити на будь-яке ненульове число. Тому, щоб уникнути дробів, помножимо його на \( 3 \). Отримаємо:
\[
x_2=
\begin{pmatrix}
1\\
3
\end{pmatrix}.
\]
Перевіримо:
\[
A\cdot x_2
=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 4
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5\\
15
\end{pmatrix}.
\]
Також маємо
\[
5\cdot x_2
=
5\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5\\
15
\end{pmatrix}.
\]
Отже, вектор знайдено правильно.
Таким чином, для заданої матриці маємо:
\[
\begin{gathered}
\lambda_1=1:\qquad
x_1=\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix},
\\[4pt]
\lambda_2=5:\qquad
x_2=\begin{pmatrix}
1\\
3
\end{pmatrix}.
\end{gathered}
\]
Приклад 2. Використовуючи метод Данилевського, знайти власні вектори матриці
\[
A=
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix},
\]
якщо її власні значення дорівнюють
\[
\lambda_1=3,
\qquad
\lambda_2=2,
\qquad
\lambda_3=-1.
\]
Маємо матрицю третього порядку. Тому після застосування методу Данилевського вона зводиться до матриці Фробеніуса вигляду
\[
P=
\begin{pmatrix}
p_1 & p_2 & p_3\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Матриця перетворення \( M \) будується за правилами методу Данилевського так, щоб після перетворення \( P=M^{-1}\cdot A\cdot M \) отримати саме матрицю Фробеніуса. Для цієї матриці відповідна матриця перетворення має вигляд:
\[
M=
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Тоді
\[
P=M^{-1}\cdot A\cdot M.
\]
Після обчислень отримаємо:
\[
P=
\begin{pmatrix}
4 & -1 & -6\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Отже, матрицю \( A \) зведено до матриці Фробеніуса.
Для матриці третього порядку власний вектор матриці \( P \), який відповідає власному значенню \( \lambda \), має вигляд
\[
y=
\begin{pmatrix}
\lambda^2\\
\lambda\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Тепер власний вектор початкової матриці \( A \) знаходимо за формулою
\[
x=M\cdot y.
\]
Підставимо матрицю \( M \) та вектор \( y \):
\[
x=
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\lambda^2\\
\lambda\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Після множення отримаємо загальний вигляд власного вектора:
\[
x=
\begin{pmatrix}
\lambda^2-\lambda-2\\
\lambda\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Тепер підставимо задані власні значення.
Для \( \lambda_1=3 \):
\[
x_1=
\begin{pmatrix}
3^2-3-2\\
3\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4\\
3\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Перевіримо:
\[
A\cdot x_1
=
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
4\\
3\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
12\\
9\\
3
\end{pmatrix}.
\]
А також
\[
3\cdot x_1
=
3\cdot
\begin{pmatrix}
4\\
3\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
12\\
9\\
3
\end{pmatrix}.
\]
Отже, знайдений вектор справді відповідає власному значенню \( \lambda_1=3 \).
Для \( \lambda_2=2 \):
\[
x_2=
\begin{pmatrix}
2^2-2-2\\
2\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
2\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Перевіримо:
\[
A\cdot x_2
=
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
2\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
4\\
2
\end{pmatrix}.
\]
Також маємо
\[
2\cdot x_2
=
2\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
2\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
4\\
2
\end{pmatrix}.
\]
Отже, рівність виконується, тому вектор \( x_2\) знайдено правильно.
Для \( \lambda_3=-1 \):
\[
x_3=
\begin{pmatrix}
(-1)^2-(-1)-2\\
-1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Перевіримо:
\[
A\cdot x_3
=
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
-1
\end{pmatrix}.
\]
А також
\[
-1\cdot x_3
=
-1\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
-1
\end{pmatrix}.
\]
Отже, отриманий вектор є власним вектором для \( \lambda_3=-1 \).
Таким чином, для заданої матриці \( A \) отримали такі власні вектори:
\[
\begin{gathered}
\lambda_1=3:\qquad
x_1=\begin{pmatrix}
4\\
3\\
1
\end{pmatrix},
\\[4pt]
\lambda_2=2:\qquad
x_2=\begin{pmatrix}
0\\
2\\
1
\end{pmatrix},
\\[4pt]
\lambda_3=-1:\qquad
x_3=\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
1
\end{pmatrix}.
\end{gathered}
\]
Приклад 3. Використовуючи метод Данилевського, знайти власні вектори матриці
\[
A=
\begin{pmatrix}
-4 & -1 & -3 \\
4 & 3 & 6 \\
0 & -1 & -2
\end{pmatrix},
\]
якщо її власні значення дорівнюють
\[
\lambda_1=1,
\qquad
\lambda_2=-2,
\qquad
\lambda_3=-2.
\]
У цьому прикладі власне значення \( \lambda=-2 \) повторюється двічі, тобто є кратним. Проте кратність власного значення не гарантує появи двох різних лінійно незалежних власних векторів. Тому після обчислень варто перевірити, чи отримаємо новий напрям власного вектора, чи той самий.
Спочатку зведемо матрицю \( A \) до матриці Фробеніуса. На першому кроці використаємо матрицю
\[
M_2=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Тоді
\[
A^{(1)}=M_2^{-1}\cdot A\cdot M_2.
\]
Після множення маємо:
\[
A^{(1)}
=
\begin{pmatrix}
-4 & 1 & -1\\
-4 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
На другому кроці використаємо матрицю
\[
M_1=
\begin{pmatrix}
-\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Тоді матриця Фробеніуса знаходиться так:
\[
P=M_1^{-1}\cdot A^{(1)}\cdot M_1.
\]
Отримаємо:
\[
P=
\begin{pmatrix}
-3 & 0 & 4\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Підсумкова матриця перетворення дорівнює
\[
M=M_2\cdot M_1.
\]
Тобто
\[
M=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Після множення маємо:
\[
M=
\begin{pmatrix}
-\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & 0\\
0 & -1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Для матриці третього порядку власний вектор матриці Фробеніуса має вигляд
\[
y=
\begin{pmatrix}
\lambda^2\\
\lambda\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Тому власний вектор початкової матриці \( A \) знаходимо за формулою
\[
x=M\cdot y.
\]
Підставимо \( M \) і \( y \):
\[
x=
\begin{pmatrix}
-\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & 0\\
0 & -1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\lambda^2\\
\lambda\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Після множення отримаємо:
\[
x=
\begin{pmatrix}
-\dfrac{\lambda^2}{4}+\dfrac{\lambda}{4}\\
-\lambda-2\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Або коротше:
\[
x=
\begin{pmatrix}
\dfrac{-\lambda^2+\lambda}{4}\\
-\lambda-2\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Тепер підставимо власні значення.
Для \( \lambda_1=1 \):
\[
x_1=
\begin{pmatrix}
\dfrac{-1^2+1}{4}\\
-1-2\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Звідси
\[
x_1=
\begin{pmatrix}
0\\
-3\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Перевіримо:
\[
A\cdot x_1
=
\begin{pmatrix}
-4 & -1 & -3 \\
4 & 3 & 6 \\
0 & -1 & -2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
-3\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
-3\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Оскільки
\[
1\cdot x_1
=
1\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
-3\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
-3\\
1
\end{pmatrix},
\]
то для \( \lambda_1=1 \) власний вектор знайдено правильно.
Тепер розглянемо власне значення \( \lambda_2=-2 \). Підставимо його в загальну формулу:
\[
x_2=
\begin{pmatrix}
\dfrac{-(-2)^2+(-2)}{4}\\
-(-2)-2\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Отримаємо:
\[
x_2=
\begin{pmatrix}
-\dfrac{3}{2}\\
0\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Щоб уникнути дробів, помножимо цей вектор на \( 2 \). Маємо:
\[
x_2=
\begin{pmatrix}
-3\\
0\\
2
\end{pmatrix}.
\]
Перевіримо:
\[
A\cdot x_2
=
\begin{pmatrix}
-4 & -1 & -3 \\
4 & 3 & 6 \\
0 & -1 & -2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-3\\
0\\
2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6\\
0\\
-4
\end{pmatrix}.
\]
Також маємо
\[
-2\cdot x_2
=
-2\cdot
\begin{pmatrix}
-3\\
0\\
2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6\\
0\\
-4
\end{pmatrix}.
\]
Отже, власний вектор для власного значення \( \lambda_2=-2 \) також знайдено правильно.
Тепер звернімо увагу на \( \lambda_3=-2 \). Це те саме власне значення, яке вже було розглянуто. Якщо знову підставити \( \lambda=-2 \) у формулу для \( x \), ми отримаємо той самий вектор:
\[
x_3=
\begin{pmatrix}
-3\\
0\\
2
\end{pmatrix}.
\]
Це означає, що для кратного власного значення \( \lambda=-2 \) у цьому прикладі отримується один напрям власного вектора. Інакше кажучи, значення \( \lambda=-2 \) повторюється двічі серед власних значень, але не дає двох різних лінійно незалежних власних векторів.
Отже, у цьому випадку для матриці \( A \) маємо:
\[
\begin{gathered}
\lambda_1=1:\qquad
x_1=\begin{pmatrix}
0\\
-3\\
1
\end{pmatrix},
\\[4pt]
\lambda_2=-2:\qquad
x_2=\begin{pmatrix}
-3\\
0\\
2
\end{pmatrix},
\\[4pt]
\lambda_3=-2:\qquad
x_3=\begin{pmatrix}
-3\\
0\\
2
\end{pmatrix}.
\end{gathered}
\]
Що Читати Далі: Три Теми Для Продовження
Після методу Данилевського варто розглянути й інші підходи до роботи з власними значеннями та власними векторами. Так буде легше побачити, як одна й та сама задача розв’язується різними методами.
- Характеристичний визначник: Власні значення та вектори матриці — У статті буде показано, як через характеристичний визначник знаходять власні значення, а потім будують відповідні власні вектори матриці.
- Метод Крилова: Як отримати власні значення матриці — У статті буде показано, як метод Крилова допомагає будувати характеристичне рівняння та знаходити власні значення матриці.
- Власні вектори: Продовження методу Крилова — У статті розглядатиметься, як після знаходження власних значень методом Крилова перейти до побудови власних векторів.
Власні Вектори Матриці: Від Блок-Схеми до Програми
Якщо вам подобається програмування, цей етап може стати найцікавішим у всій темі. Адже тепер метод Данилевського — це вже не лише формули на папері, а готовий алгоритм, який можна реалізувати мовою Pascal, Python, C++, Java або будь-якою іншою мовою, з якою вам зручно працювати. Спробуйте уважно розібрати блок-схему, простежити кожен її крок і перетворити його на програмний код: введення матриці, перевірка власного значення, обчислення координат власного вектора та контроль правильності результату. Хіба не цікаво побачити, як математичний метод перетворюється на справжній робочий інструмент?
