Механічний і геометричний зміст похідної

Як відомо, похідною функції в точці  називається границя відношення (якщо вона існує) приросту функції в цій точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:

Зазначимо, що рівність (1) можна записати і в дещо іншому вигляді:

тобто похідна функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої в точці з додатним напрямком осі . Це твердження і виражає геометричний зміст похідної.

Ілюстрація до визначення геометричного змісту похідної

Справді, оскільки є неперервною функцією кута , то при . Отже, кутовий коефіцієнт дотичної до кривої  в точці можна обчислити за формулою:

Перейдемо далі до розгляду механічного тлумачення похідної. Отже, нехай точка рухається по прямій за законом , де – довжина шляху, взята від деякої початкової точки  і – час, за який пройдено шлях .

Нехай та  положення точки в момент часу  і відповідно. Тоді  – довжина шляху, пройденого за час .

Ілюстрація до визначення механічного змісту похідної

Відношення в механіці називають середньою швидкістю руху на дільниці , а границю цього відношення при називають швидкістю руху в точці , або миттєвою швидкістю в момент часу . Якщо миттєву швидкість в момент  позначити через , то:

Отже, переконуємося в тому, що миттєва швидкість в момент  дорівнює похідній від шляху за часом. Це твердження і виражає механічний зміст похідної.

Механічний і геометричний зміст похідної – приклади розв’язання:

Приклад 1: знайти кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою .

Як зазначалося вище, кутовий коефіцієнт  дорівнює похідній від функції в точці, тобто . Отже, знайдемо похідну і обчислимо її значення в точці :

Приклад 2: знайти кут нахилу до осі абсцис дотичної, проведеної до графіка функції в точці .

Дотична до кривої f(x)=-1/x в точці М(1, -1)

Знову-таки, скориставшись твердженням, що виражає геометричний зміст похідної, отримаємо:

Приклад 3: рух матеріальної точки задано рівнянням . Визначити момент часу, в який швидкість точки дорівнює нулю.

Отже, на першому кроці, знайдемо швидкість руху точки. Для цього продиференціюємо функцію :

За умовою, в певний момент часу швидкість  дорівнює нулю, тобто . Знайдемо рішення отриманого рівняння: .

Отже, у момент часу швидкість руху матеріальної точки дорівнює нулю.

Блок-схема алгоритму знаходження кутового коефіцієнта дотичної до графіка функції