Похідна функції — це одне з базових понять математичного аналізу. Саме з цього поняття починається глибше розуміння того, як змінюється функція. Якщо значення функції змінюється, то природно виникає запитання: наскільки швидко це відбувається? Відповідь на нього і дає похідна.
У цій статті розглянемо означення похідної та з’ясуємо, як знайти похідну функції без готових правил диференціювання. Тобто будемо працювати без таблиць похідних, а лише через границю.
Похідна Функції: Означення Через Границю
Нехай функція \( f(x) \) визначена в деякому околі точки \( a \). Це означає, що функція має бути визначена не лише в самій точці \( a \), а й у точках, достатньо близьких до неї.
Візьмемо поруч із точкою \( a \) іншу точку \( a+h \), де \( h\neq 0 \). Тут \( h \) — це приріст аргументу. Простими словами, ми трохи зміщуємося від точки \( a \) вправо або вліво.
Тоді значення функції в початковій точці дорівнює \( f(a) \), а значення функції в новій точці дорівнює \( f(a+h) \). Отже, зміна значення функції має вигляд \( f(a+h)-f(a) \).
Але сама різниця значень функції ще не показує, наскільки швидко змінюється функція. Тому цю різницю порівнюють із приростом аргументу \( h \). Для цього складають відношення:
\[
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
\]
Цей дріб показує середню швидкість зміни функції на проміжку від \( a \) до \( a+h \). Проте нас цікавить не весь проміжок, а поведінка функції саме біля точки \( a \). Що для цього потрібно зробити? Треба наблизити точку \( a+h \) до точки \( a \), тобто спрямувати приріст \( h \) до нуля.
Якщо існує границя
\[
\lim_{h\to 0}
\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
\]
то ця границя називається похідною функції \( f(x) \) в точці \( a \).
Отже, записуємо:
\[
f'(a)=
\lim_{h\to 0}
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
\]
Таким чином, похідна функції в точці \( a \) — це границя відношення зміни значення функції до зміни аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.
Якщо така границя існує і є скінченною, то функцію називають диференційованою в точці \( a \).
Основні позначення похідної
Похідну функції \( y=f(x) \) можна записувати по-різному:
\[
f'(x), \qquad
y’, \qquad
\frac{dy}{dx}, \qquad
\frac{d}{dx}f(x).
\]
Запис \( \frac{d}{dx} \) читають як «взяти похідну функції \( f(x) \) за змінною \( x \)». Якщо потрібно записати значення похідної в точці \( a \), використовують, наприклад, такі позначення:
\[
f'(a), \qquad
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a}.
\]
Отже, різні записи можуть мати різний вигляд, але всі вони пов’язані з однією дією — знаходженням похідної.
Знаходження Похідної: Послідовність Основних Кроків
Тепер перейдемо від похідної в одній точці до загальної формули. Якщо замість конкретної точки \( a \) взяти довільну точку \( x \), то можна шукати вже не лише число \( f'(a) \), а похідну як функцію \( f'(x) \).
Нехай задано функцію \( y=f(x) \). За означенням її похідна має вигляд:
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
\]
Отже, щоб знайти похідну за означенням, діємо послідовно.
Спочатку надаємо аргументу \( x \) приріст \( h \). Тоді замість \( x \) у формулі функції потрібно підставити \( x+h \). Так отримуємо нове значення функції \( f(x+h) \).
Далі знаходимо різницю між новим і початковим значеннями функції: \( f(x+h)-f(x) \).
Після цього складаємо відношення цієї різниці до приросту аргументу:
\[
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
\]
На цьому етапі дуже важливо спростити отриманий вираз. Чому це потрібно? Тому що часто після прямої підстановки \( h=0 \) виникає невизначеність \( \frac{0}{0} \).
Тому спочатку потрібно розкрити дужки, звести подібні доданки, винести спільний множник або скоротити \( h \), якщо це можливо. Лише після цього переходять до границі.
Отже, останній крок — знайти границю:
\[
\lim_{h\to 0}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
\]
Якщо ця границя існує, то вона і є похідною функції:
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
\]
У скороченому вигляді алгоритм можна подати так:
\[
f(x)
\rightarrow
f(x+h)
\rightarrow
f(x+h)-f(x)
\rightarrow
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\rightarrow
\lim_{h\to 0}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
\]
Отже, знаходження похідної за означенням — це послідовний перехід від зміни аргументу до зміни функції, а потім до границі їхнього відношення. Саме такий підхід показує, чому похідна пов’язана з миттєвим темпом зміни функції.
Похідна Функції: Практичне Знаходження за Означенням
Тепер перейдемо до практики. Саме приклади допомагають побачити, як означення похідної працює не лише як формула, а як чіткий алгоритм дій. Рухатимемося поступово: від простіших функцій до тих, де потрібно трохи більше алгебри.
Приклад 1. Знайти похідну функції \( f(x)=3\cdot x-2 \)
За означенням похідної записуємо:
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
\]
Спочатку знайдемо \( f(x+h) \). Для цього замість \( x \) у формулі функції підставляємо \( x+h \):
\[
f(x+h)=3\cdot (x+h)-2.
\]
Розкриємо дужки:
\[
f(x+h)=3\cdot x+3\cdot h-2.
\]
Тепер знайдемо різницю \( f(x+h)-f(x) \):
\[
f(x+h)-f(x)
=
(3\cdot x+3\cdot h-2)-(3\cdot x-2).
\]
Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:
\[
f(x+h)-f(x)
=
3\cdot x+3\cdot h-2-3\cdot x+2=3\cdot h.
\]
Підставляємо отриманий вираз у формулу похідної:
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{3\cdot h}{h}.
\]
Оскільки \( h\neq 0 \), можемо скоротити \( h \):
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}3=3.
\]
Отже, похідна функції \( f(x)=3\cdot x-2 \) дорівнює \( 3 \). Це означає, що ця лінійна функція змінюється з постійним темпом.
Приклад 2. Знайти похідну функції \( f(x)=x^2 \)
За означенням маємо:
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
\]
Знайдемо \( f(x+h) \):
\[
f(x+h)=(x+h)^2.
\]
Розкриємо квадрат суми:
\[
f(x+h)=x^2+2\cdot x\cdot h+h^2.
\]
Тепер знайдемо різницю між новим і початковим значеннями функції:
\[
f(x+h)-f(x)
=
(x^2+2\cdot x\cdot h+h^2)-x^2.
\]
Після зведення подібних доданків маємо:
\[
f(x+h)-f(x)=2\cdot x\cdot h+h^2.
\]
Підставляємо у формулу похідної:
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{2\cdot x\cdot h+h^2}{h}.
\]
У чисельнику винесемо \( h \) за дужки:
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{h\cdot (2\cdot x+h)}{h}.
\]
Скорочуємо \( h \):
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}(2\cdot x+h).
\]
Тепер переходимо до границі. Коли \( h\to 0 \), вираз \( 2\cdot x+h \) прямує до \( 2\cdot x \). Отже,
\[
f'(x)=2\cdot x.
\]
Приклад 3. Знайти похідну функції \( f(x)=x^3 \)
Використовуємо означення похідної:
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
\]
Знайдемо \( f(x+h) \):
\[
f(x+h)=(x+h)^3.
\]
Розкриємо куб суми:
\[
f(x+h)=x^3+3\cdot x^2\cdot h+3\cdot x\cdot h^2+h^3.
\]
Тепер знайдемо різницю:
\[
f(x+h)-f(x)
=
(x^3+3\cdot x^2\cdot h+3\cdot x\cdot h^2+h^3)-x^3.
\]
Скорочуємо \( x^3 \) і \( -x^3 \):
\[
f(x+h)-f(x)=3\cdot x^2\cdot h+3\cdot x\cdot h^2+h^3.
\]
Підставляємо у формулу похідної:
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{3\cdot x^2\cdot h+3\cdot x\cdot h^2+h^3}{h}.
\]
Винесемо \( h \) за дужки:
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{h\cdot (3\cdot x^2+3\cdot x\cdot h+h^2)}{h}.
\]
Скорочуємо \( h \):
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
(3\cdot x^2+3\cdot x\cdot h+h^2).
\]
Коли \( h\to 0 \), доданки \( 3\cdot x\cdot h \) і \( h^2 \) прямують до нуля. Тому
\[
f'(x)=3\cdot x^2.
\]
Приклад 4. Знайти похідну функції \( f(x)=\frac{1}{x} \)
Розглядаємо випадок \( x\neq 0 \). Також потрібно враховувати, що \( x+h\neq 0 \), бо вираз \( f(x+h) \) має бути визначеним.
За означенням похідної:
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
\]
Знайдемо \( f(x+h) \):
\[
f(x+h)=\frac{1}{x+h}.
\]
Тепер підставляємо у формулу:
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}.
\]
У чисельнику маємо різницю дробів. Зведемо їх до спільного знаменника:
\[
\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}
=
\frac{x-(x+h)}{x\cdot (x+h)}.
\]
Спрощуємо чисельник:
\[
x-(x+h)=x-x-h=-h.
\]
Тому
\[
\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}
=
\frac{-h}{x\cdot (x+h)}.
\]
Повертаємося до формули похідної:
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{\frac{-h}{x\cdot (x+h)}}{h}.
\]
Ділення на \( h \) можна замінити множенням на \( \frac{1}{h} \):
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{-h}{x\cdot (x+h)}\cdot \frac{1}{h}.
\]
Скорочуємо \( h \):
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{-1}{x\cdot (x+h)}.
\]
Коли \( h\to 0 \), маємо \( x+h\to x \). Отже,
\[
f'(x)=
-\frac{1}{x^2},
\qquad x\neq 0.
\]
Приклад 5. Знайти похідну функції \( f(x)=\sqrt{x} \)
Для цієї функції потрібно пам’ятати про область визначення: \( x\geq 0 \). Похідну за означенням будемо знаходити для \( x>0 \), щоб вирази під коренем були коректними біля точки \( x \).
За означенням:
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
\]
Знайдемо \( f(x+h) \):
\[
f(x+h)=\sqrt{x+h}.
\]
Тоді
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}.
\]
Якщо одразу підставити \( h=0 \), отримаємо невизначеність \( \frac{0}{0} \). Тому потрібно перетворити вираз. Для цього помножимо чисельник і знаменник на спряжений вираз \( \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \):
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}
\cdot
\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.
\]
У чисельнику отримуємо різницю квадратів:
\[
(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})
=
(x+h)-x.
\]
Тобто чисельник дорівнює \( h \). Тому маємо:
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{h}{h\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}.
\]
Скорочуємо \( h \):
\[
f'(x)=
\lim_{h\to 0}
\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.
\]
Коли \( h\to 0 \), то \( \sqrt{x+h}\to \sqrt{x} \). Отже,
\[
f'(x)=
\frac{1}{2\sqrt{x}},
\qquad x>0.
\]
Зауваження. Навіть на простих прикладах видно, що знаходження похідної безпосередньо за означенням потребує багато часу і часто є досить трудомістким. Тому на практиці похідні зазвичай знаходять за допомогою правил і формул диференціювання.
Що Читати Далі: Теми Для Продовження
Після означення похідної логічно перейти до тем, які показують, як це поняття працює в різних задачах. Так навчання буде послідовним: спочатку зміст похідної, далі правила, а потім складніші випадки диференціювання.
- Механічний і геометричний зміст похідної: Як зрозуміти її сенс — У статті йтиметься про те, як похідна описує швидкість руху та нахил дотичної до графіка функції в заданій точці.
- Правила диференціювання функцій і таблиця похідних: Обчислення без границь — Матеріал пояснить основні правила диференціювання та покаже, як таблиця похідних спрощує розв’язування типових задач.
- Похідна складеної функції: Застосування ланцюгового правила — У статті буде розглянуто, як знаходити похідну складеної функції та правильно визначати зовнішню й внутрішню частини.
Похідна Функції: Блок-схема Для Програмної Реалізації
Якщо вам цікаве програмування, спробуйте піти на крок далі й реалізувати блок-схему нижче у своїй улюбленій мові: Pascal, Python, C++, JavaScript чи будь-якій іншій. Ідея проста, але дуже корисна. Програма обчислює похідну функції \( y=x^2+3\cdot x-5 \) у заданій точці двома способами: аналітично, за формулою \( f'(x)=2\cdot x+3 \), і наближено, за означенням \( \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \). Потім вона порівнює результати та показує різницю між ними. Хіба це не цікавий спосіб побачити, як математична ідея перетворюється на робочий алгоритм?
