Похідна функції. Як знайти похідну функції

Нехай функція ) визначена в деякому околі точки і нехай – точка цього околу ().

Якщо відношення має границю при , то ця границя називається похідною функції в точці  і позначається . Таким чином,

тобто похідною функції в точці  називається границя відношення (якщо вона існує) приросту функції  в точці  до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Якщо функція  в точці  має скінченну похідну, то вона називається диференційованою в цій точці.

Ілюстрація до визначення похідної функції в точці

Якщо функція диференційована в кожній точці інтервалу , то , де і – приріст аргументу та приріст функції відповідно.

Для того, щоб в точці  існувала похідна функції , необхідно і достатньо, щоб в цій точці існували права та ліва похідні цієї функції і щоб права похідна дорівнювала лівій, тобто .

Якщо , то кажуть, що функція  має в точці нескінченну похідну.

Зауваження: для позначення похідної функції  використовуються й інші символи: . Значення похідної при позначають так: .

Операція знаходження похідної від заданої функції називається диференціюванням цієї функції.

Для безпосереднього знаходження похідної від функції  застосовують наступний, так званий, «загальний» алгоритм:

1. надають аргументу  довільний приріст  і знаходять нарощене значення функції ;
2. знаходять приріст функції ;
3. складають відношення ;
4. знаходять границю одержаного відношення при . Ця границя (якщо вона існує) і дає шукану похідну від функції .

Похідна функції – приклади розв’язання:

Приклад 1: знайти похідну функції .

Отже, скориставшись розглянутим вище алгоритмом, для заданої функції, маємо:

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

Таким чином, .

Приклад 2: знайти похідну функції .

Знову-таки, скориставшись загальним алгоритмом, будемо мати:

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

Отже, .

Зауваження: навіть на простому прикладі видно, що знаходження похідної безпосередньо за означенням забирає багато часу і часто є трудомістким. Тому на практиці, зазвичай, задача знаходження похідної розв’язується за допомогою правил і формул диференціювання.

Приклад 3: знайти значення похідної функції в точці .

Отже, скориставшись формулою (1), отримаємо:

Блок-схема алгоритму знаходження похідної функції в точці