Похідна параметрично заданої функції потрібна тоді, коли залежність між двома змінними задана не прямо, а через параметр. Найчастіше цей параметр позначають буквою \( t \).
У такому випадку ми працюємо не зі звичним записом, де одна змінна прямо виражена через іншу. Натомість крива описується двома рівняннями: одне задає координату \( x \), а друге — координату \( y \). На перший погляд це може здатися складнішим. Але саме такий запис часто зручний, коли точка рухається по кривій, а її координати змінюються залежно від одного спільного параметра.
Похідна Параметрично Заданої Функції: Основна Формула
Нехай крива задана параметрично:
\[
x=\varphi(t), \qquad y=\psi(t).
\]
Тут \( t \) — параметр, а \( x \) і \( y \) залежать від нього. Тоді виникає природне питання: як знайти похідну \( \dfrac{dy}{dx} \), якщо \( y \) не задано явно через \( x \)?
У цьому випадку використовують формулу:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}.
\]
Якщо \( x=\varphi(t) \), \( y=\psi(t) \), то цю саму формулу записують так:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}.
\]
При цьому потрібно враховувати важливу умову:
\[
\varphi'(t)\neq 0.
\]
Чому це важливо? Тому що у формулі є ділення на \( \dfrac{dx}{dt} \). Якщо \( \dfrac{dx}{dt}=0 \), то така формула в цій точці безпосередньо не застосовується.
Отже, щоб знайти похідну параметрично заданої функції, треба продиференціювати \( y \) за параметром \( t \), потім продиференціювати \( x \) за тим самим параметром \( t \), а після цього поділити першу похідну на другу.
Чому Формула Працює: Доведення Через Складну Функцію
Повернемося до параметричного запису:
\[
x=\varphi(t), \qquad y=\psi(t).
\]
Припустимо, що функції \( \varphi(t) \) і \( \psi(t) \) мають похідні на деякому проміжку значень параметра. Також вважатимемо, що \( \varphi'(t)\neq 0 \). За цієї умови параметр \( t \) можна локально розглядати як функцію від \( x \). Позначимо цю залежність так:
\[
t=g(x).
\]
Тоді функцію \( y=\psi(t) \) можна записати як складну функцію від \( x \):
\[
y=\psi(g(x)).
\]
Що це означає? Спочатку через \( x \) визначається параметр \( t \), а вже потім через цей параметр визначається \( y \). Тобто \( y \) залежить від \( x \) через проміжну змінну \( t \).
Тепер продиференціюємо рівність \( y=\psi(g(x)) \) за змінною \( x \). За правилом диференціювання складної функції маємо:
\[
\frac{dy}{dx}=\psi'(g(x))\cdot g'(x).
\]
Далі знайдемо \( g'(x) \). Оскільки \( t=g(x) \), а \( x=\varphi(t) \), маємо рівність:
\[
\varphi(g(x))=x.
\]
Продиференціюємо обидві частини цієї рівності за \( x \):
\[
\varphi'(g(x))\cdot g'(x)=1.
\]
Звідси маємо:
\[
g'(x)=\frac{1}{\varphi'(g(x))}.
\]
Підставимо цей вираз у формулу для \( \dfrac{dy}{dx} \):
\[
\frac{dy}{dx}
=
\psi'(g(x))\cdot \frac{1}{\varphi'(g(x))}.
\]
Тобто
\[
\frac{dy}{dx}
=
\frac{\psi'(g(x))}{\varphi'(g(x))}.
\]
Оскільки \( g(x)=t \), маємо:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}.
\]
Отже, формула випливає з правила диференціювання складної функції та з того, що обидві змінні залежать від одного й того самого параметра.
Похідна Параметрично Заданої Функції: Практичне Застосування Формули
Тепер перейдемо до практики. У прикладах побачимо, як одна й та сама формула працює для многочленів, тригонометричних функцій, показникової функції та дробових виразів. Головне — уважно знайти похідні за параметром, а потім скласти їх відношення.
Приклад 1. Знайти похідну параметрично заданої функції:
\[
x=t^2+1, \qquad y=t^3-2\cdot t.
\]
Маємо параметричний запис, де обидві змінні залежать від параметра \( t \). Для початку використаємо основну формулу:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}.
\]
Спочатку знайдемо похідну \( x \) за параметром \( t \):
\[
\frac{dx}{dt}=\left(t^2+1\right)’=2\cdot t.
\]
Тепер знайдемо похідну \( y \) за тим самим параметром:
\[
\frac{dy}{dt}=\left(t^3-2\cdot t\right)’=3\cdot t^2-2.
\]
Підставляємо знайдені похідні у формулу:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{3\cdot t^2-2}{2\cdot t}.
\]
Отже,
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{3\cdot t^2-2}{2\cdot t}, \qquad t\neq 0.
\]
Умова \( t\neq 0 \) з’являється тому, що в знаменнику маємо \( 2\cdot t \). Якщо \( 2\cdot t=0 \), формулу в такому вигляді застосувати не можна.
Приклад 2. Знайти похідну параметрично заданої функції:
\[
x=\cos(t), \qquad y=\sin(t).
\]
Тут координати точки задано через тригонометричні функції. Діємо за тією самою схемою: спочатку диференціюємо \( x \), потім \( y \), а потім складаємо відношення.
Знайдемо похідну \( x \) за параметром \( t \):
\[
\frac{dx}{dt}=\left(\cos(t)\right)’=-\sin(t).
\]
Далі знайдемо похідну \( y \):
\[
\frac{dy}{dt}=\left(\sin(t)\right)’=\cos(t).
\]
Тепер складаємо відношення цих похідних:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{\cos(t)}{-\sin(t)}.
\]
Тому
\[
\frac{dy}{dx}=-\frac{\cos(t)}{\sin(t)}, \qquad \sin(t)\neq 0.
\]
Приклад 3. Знайти похідну параметрично заданої функції:
\[
x=t^2-4\cdot t, \qquad y=t^3+3\cdot t.
\]
Спочатку знайдемо похідну \( x \) за параметром \( t \). Тут маємо многочлен, тому диференціюємо кожен доданок окремо:
\[
\frac{dx}{dt}=\left(t^2-4\cdot t\right)’=2\cdot t-4.
\]
Тепер знайдемо похідну \( y \):
\[
\frac{dy}{dt}=\left(t^3+3\cdot t\right)’=3\cdot t^2+3.
\]
Далі складаємо відношення похідної \( y \) до похідної \( x \):
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{3\cdot t^2+3}{2\cdot t-4}.
\]
Можна винести спільні множники, щоб запис став трохи компактнішим:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{3\cdot \left(t^2+1\right)}{2\cdot \left(t-2\right)}.
\]
Отже,
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{3\cdot \left(t^2+1\right)}{2\cdot \left(t-2\right)}, \qquad t\neq 2.
\]
Тут обмеження \( t\neq 2 \) виникає через знаменник. Якщо \( t=2 \), то \( \dfrac{dx}{dt}=0 \), тому формула безпосередньо не застосовується.
Приклад 4. Знайти похідну параметрично заданої функції:
\[
x=e^t, \qquad y=t^2.
\]
У цьому прикладі одна координата задана показниковою функцією, а друга — степеневою. Але порядок дій не змінюється.
Знайдемо похідну \( x \):
\[
\frac{dx}{dt}=\left(e^t\right)’=e^t.
\]
Тепер знайдемо похідну \( y \):
\[
\frac{dy}{dt}=\left(t^2\right)’=2\cdot t.
\]
Після підстановки у формулу маємо:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{2\cdot t}{e^t}.
\]
Оскільки \( e^t\neq 0 \) для будь-якого \( t \), додаткових обмежень для знаменника тут немає.
Приклад 5. Знайти похідну параметрично заданої функції:
\[
x=t+\frac{1}{t}, \qquad y=t-\frac{1}{t}.
\]
Тут у формулах є дробові вирази, тому треба уважно продиференціювати кожну частину. Спочатку знайдемо похідну \( x \):
\[
\frac{dx}{dt}
=
\left(t+\frac{1}{t}\right)’.
\]
Оскільки \( \dfrac{1}{t}=t^{-1} \), маємо:
\[
\frac{dx}{dt}=1-\frac{1}{t^2}.
\]
Тепер знайдемо похідну \( y \):
\[
\frac{dy}{dt}
=
\left(t-\frac{1}{t}\right)’.
\]
Похідна від \( t \) дорівнює \( 1 \), а похідна від \( -\dfrac{1}{t} \) дорівнює \( \dfrac{1}{t^2} \). Тому
\[
\frac{dy}{dt}=1+\frac{1}{t^2}.
\]
Тепер підставимо ці вирази у формулу:
\[
\frac{dy}{dx}
=
\frac{1+\dfrac{1}{t^2}}{1-\dfrac{1}{t^2}}.
\]
Щоб спростити дріб, помножимо чисельник і знаменник на \( t^2 \). Отже, остаточно маємо:
\[
\frac{dy}{dx}
=
\frac{t^2+1}{t^2-1}.
\]
Тут потрібно врахувати обмеження. По-перше, \( t\neq 0 \), бо у початкових формулах є дроби. По-друге, \( t^2-1\neq 0 \), тобто \( t\neq -1 \) і \( t\neq 1 \), бо знаменник похідної не може дорівнювати нулю.
Що Вивчати Далі: Теми Для Продовження
Після параметричного диференціювання корисно перейти до тем, які часто використовуються поруч із ним. Так буде легше бачити зв’язок між різними способами знаходження похідних і впевненіше працювати з новими задачами.
- Похідна неявно заданої функції: Формула та приклади — У статті йтиметься про знаходження похідної тоді, коли змінні пов’язані рівнянням без явного вираження однієї через іншу.
- Похідна степеневої функції: Формула, доведення, приклади — У статті буде пояснено правило диференціювання степеневих функцій, його обґрунтування та застосування в типових задачах.
- Похідна показникової функції: Формула, доведення, приклади — У статті буде розглянуто, як знаходити похідні показникових функцій і чому ці правила важливі в математичному аналізі.
Похідна Параметрично Заданої Функції: Від Формули до Коду
Якщо вам цікаво не лише розв’язувати задачі вручну, а й перетворювати математичні формули на програмний код, спробуйте реалізувати цей алгоритм у своїй улюбленій мові програмування. Блок-схема вже показує головну логіку: зчитати параметр, обчислити координати точки, знайти похідні за параметром, перевірити знаменник і вивести відповідь. Це просте завдання добре показує, як похідна параметрично заданої функції переходить із теорії в невелику, але цілком робочу програму.
