Ланцюгове правило — це одна з найважливіших тем диференціального числення, адже саме воно дає змогу знаходити похідну складеної функції. Коли одна функція залежить від іншої, звичайних правил уже недостатньо. Тоді виникає природне запитання: як правильно продиференціювати такий вираз і не втратити зв’язок між його частинами? Саме тут у пригоді стає ланцюгове правило. Воно пояснює, як зміна внутрішнього виразу впливає на зміну всієї функції. Тому в цій статті розглянемо основну формулу, детально простежимо її виведення та побачимо, як вона працює на практиці.
Ланцюгове Правило: Формула для Складеної Функції
Нехай маємо складену функцію
\[
y=f(g(x)).
\]
У такому випадку її похідна обчислюється за формулою
\[
\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x).
\]
Це і є основна формула ланцюгового правила. Вона означає, що спочатку потрібно знайти похідну зовнішньої функції, залишаючи внутрішній вираз без змін, а потім помножити результат на похідну внутрішньої функції. Інакше кажучи, якщо функція складається з двох вкладених частин, то під час диференціювання треба врахувати зміну кожної з них.
Тут особливо важливо не плутати зовнішню та внутрішню функції. У записі \( y=f(g(x)) \) внутрішньою є функція \( g(x) \), бо саме вона стоїть всередині. Зовнішньою є функція \( f \), бо вона застосовується до результату \( g(x) \). Саме тому у формулі з’являється спочатку \( f'(g(x)) \), а вже потім множник \( g'(x) \).
Чому в цій формулі стоїть саме добуток? Тому що зміна всієї функції відбувається у два пов’язані етапи. Спочатку змінюється внутрішній вираз \( g(x) \), а вже через цю зміну змінюється значення зовнішньої функції \( f \). Отже, ланцюгове правило не є просто зручним прийомом. Воно відображає сам механізм зміни складеної функції.
Іноді цю саму формулу записують і в такому вигляді:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}, \qquad u=g(x).
\]
Такий запис часто зручний на початку вивчення теми, бо він чітко показує проміжну змінну. Крім того, він допомагає краще побачити послідовність дій. Спочатку диференціюємо зовнішню функцію за змінною \( u \), а потім множимо на похідну \( u \) за \( x \). За змістом це та сама формула, лише подана в дещо наочнішому вигляді.
Крок за Кроком: Виведення Формули Через Границю
Тепер розглянемо, звідки береться ця формула. Для цього скористаємося означенням похідної через границю. Нехай
\[
H(x)=f(g(x)).
\]
Тоді похідна функції \( H(x) \) за означенням дорівнює
\[
H'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{H(x+h)-H(x)}{h}.
\]
Підставимо сюди вираз для \( H(x) \). Тоді отримаємо
\[
H'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}.
\]
На цьому етапі ми вже отримали правильний вираз для похідної складеної функції. Однак він ще не поданий у вигляді знайомої формули. Тому потрібно виконати таке перетворення, яке дозволить окремо побачити зміну зовнішньої функції і окремо — зміну внутрішньої.
Щоб це зробити, домножимо вираз під знаком границі на дріб
\[
\frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)}.
\]
Цей дріб дорівнює одиниці, тому значення виразу не змінюється. Навіщо виконується таке перетворення? Річ у тім, що таке домноження дає змогу штучно створити два множники, один із яких згодом перетвориться на похідну зовнішньої функції, а другий — на похідну внутрішньої. Саме на цьому кроці починає чітко проявлятися структура майбутньої формули.
Отже, маємо
\[
H'(x)=\lim_{h\to 0}\left(
\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\cdot
\frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)}
\right).
\]
Тепер перегрупуємо множники:
\[
H'(x)=\lim_{h\to 0}\left(
\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}
\cdot
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}
\right).
\]
У такому вигляді вже добре видно зміст кожного множника. Другий множник
\[
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}
\]
є різницевим відношенням для функції \( g(x) \). Тому при \( h\to 0 \) він переходить у похідну внутрішньої функції:
\[
\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x).
\]
Отже, можемо записати
\[
H'(x)=\left(
\lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}
\right)\cdot g'(x).
\]
Тепер звернімо увагу на перший множник. У чисельнику стоїть приріст функції \( f \), а в знаменнику — приріст її аргументу. Проте аргументом функції \( f \) тут є не просто \( x \), а вираз \( g(x) \). Саме тому зручно ввести нове позначення:
\[
\Delta u=g(x+h)-g(x).
\]
Тоді перший множник можна переписати так:
\[
\lim_{h\to 0}\frac{f(g(x)+\Delta u)-f(g(x))}{\Delta u}.
\]
Чому такий перехід є коректним? Тому що при \( h\to 0 \) значення \( x+h \) прямує до \( x \), а отже і приріст \( g(x+h)-g(x) \) також прямує до нуля. Тобто
\[
\Delta u\to 0.
\]
Це означає, що ми фактично переходимо від приросту змінної \( x \) до приросту нового аргументу зовнішньої функції. Тому той самий вираз можна записати вже так:
\[
\lim_{\Delta u\to 0}\frac{f(g(x)+\Delta u)-f(g(x))}{\Delta u}.
\]
Але це і є похідна функції \( f \) в точці \( g(x) \). Отже,
\[
\lim_{\Delta u\to 0}\frac{f(g(x)+\Delta u)-f(g(x))}{\Delta u}=f'(g(x)).
\]
Повертаючись до попереднього запису, одержуємо
\[
H'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
\]
Оскільки \( H(x)=f(g(x)) \), остаточно маємо
\[
\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x).
\]
Таким чином, формулу ланцюгового правила виведено з означення похідної через границю. Як бачимо, ця формула не з’являється випадково. Вона природно виникає тоді, коли ми уважно простежуємо, як змінюється складена функція через зміну її внутрішньої та зовнішньої частин.
Ланцюгове Правило: Детальний Розбір Прикладів
Тепер, коли основна формула вже розглянута і виведена, варто перейти до практики. Саме на конкретних прикладах найкраще видно, як працює це правило та як правильно розпізнавати внутрішню і зовнішню функції. У кожному випадку зручно діяти послідовно: спочатку визначити зовнішню функцію, потім внутрішню, після цього знайти їхні похідні й лише тоді записувати остаточну відповідь.
Приклад 1. Знайти похідну функції \( y=(3\cdot x+1)^5 \)
У цьому прикладі маємо складену функцію. Зовнішньою функцією є піднесення до п’ятого степеня, а внутрішньою — вираз \( 3\cdot x+1 \). Для зручності введемо позначення
\[
u=3\cdot x+1.
\]
Тоді функція набуде простішого вигляду:
\[
y=u^5.
\]
Тепер знайдемо похідну зовнішньої функції за змінною \( u \):
\[
\frac{dy}{du}=5\cdot u^4.
\]
Після цього знайдемо похідну внутрішньої функції:
\[
\frac{du}{dx}=3.
\]
Застосовуємо ланцюгове правило:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=5\cdot u^4\cdot 3.
\]
Повертаємося до змінної \( x \):
\[
y’=5\cdot (3\cdot x+1)^4\cdot 3=15\cdot (3\cdot x+1)^4.
\]
Отже,
\[
y’=15\cdot (3\cdot x+1)^4.
\]
Приклад 2. Знайти похідну функції \( y=\sqrt{2\cdot x^2-7} \)
Тут теж маємо складену функцію. Зовнішня функція — квадратний корінь, а внутрішня — вираз \( 2\cdot x^2-7 \). Запишемо
\[
u=2\cdot x^2-7.
\]
Тоді
\[
y=\sqrt{u}.
\]
Тепер знайдемо похідну зовнішньої функції:
\[
\frac{dy}{du}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u}}.
\]
Далі знайдемо похідну внутрішньої функції:
\[
\frac{du}{dx}=4\cdot x.
\]
Застосуємо ланцюгове правило:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}
=\frac{1}{2\cdot \sqrt{u}}\cdot 4\cdot x.
\]
Повертаємося до змінної \( x \):
\[
y’=\frac{1}{2\cdot \sqrt{2\cdot x^2-7}}\cdot 4\cdot x.
\]
Спростимо вираз:
\[
y’=\frac{4\cdot x}{2\cdot \sqrt{2\cdot x^2-7}}=\frac{2\cdot x}{\sqrt{2\cdot x^2-7}}.
\]
Отже,
\[
y’=\frac{2\cdot x}{\sqrt{2\cdot x^2-7}}.
\]
Приклад 3. Знайти похідну функції \( y=\sin(5\cdot x^3) \)
У цьому випадку зовнішньою функцією є синус, а внутрішньою — вираз \( 5\cdot x^3 \). Тому позначимо
\[
u=5\cdot x^3.
\]
Тоді
\[
y=\sin(u).
\]
Похідна зовнішньої функції:
\[
\frac{dy}{du}=\cos(u).
\]
Похідна внутрішньої функції:
\[
\frac{du}{dx}=15\cdot x^2.
\]
Тепер застосуємо ланцюгове правило:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}
=\cos(u) \cdot 15\cdot x^2.
\]
Повертаємося до початкового аргументу:
\[
y’=\cos(5\cdot x^3)\cdot 15\cdot x^2.
\]
Отже,
\[
y’=15\cdot x^2\cdot \cos(5\cdot x^3).
\]
Приклад 4. Знайти похідну функції \( y=e^{x^2+4\cdot x} \)
Тут зовнішньою функцією є показникова функція, а внутрішньою — квадратний тричлен \( x^2+4\cdot x \). Позначимо
\[
u=x^2+4\cdot x.
\]
Тоді
\[
y=e^u.
\]
Похідна зовнішньої функції:
\[
\frac{dy}{du}=e^u.
\]
Похідна внутрішньої функції:
\[
\frac{du}{dx}=2\cdot x+4.
\]
За ланцюговим правилом одержуємо
\[
\frac{dy}{dx}=e^u\cdot (2\cdot x+4).
\]
Повернемося до змінної \( x \):
\[
y’=e^{x^2+4\cdot x}\cdot (2\cdot x+4).
\]
Отже,
\[
y’=(2\cdot x+4)\cdot e^{x^2+4\cdot x}.
\]
Приклад 5. Знайти похідну функції \( y=\ln(x^2-3\cdot x+2) \)
Тут зовнішня функція — натуральний логарифм, а внутрішня — квадратний тричлен \( x^2-3\cdot x+2 \). Позначимо
\[
u=x^2-3\cdot x+2.
\]
Тоді
\[
y=\ln(u).
\]
Похідна зовнішньої функції:
\[
\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}.
\]
Похідна внутрішньої функції:
\[
\frac{du}{dx}=2\cdot x-3.
\]
Тепер застосуємо ланцюгове правило:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot(2\cdot x-3).
\]
Повертаємося до початкового виразу:
\[
y’=\frac{1}{x^2-3\cdot x+2}\cdot(2\cdot x-3).
\]
Отже,
\[
y’=\frac{2\cdot x-3}{x^2-3\cdot x+2}.
\]
Наступні Матеріали: Що Варто Прочитати Далі
Після теми про ланцюгове правило цілком природно перейти до інших базових правил диференціювання, які дуже часто використовують у практичних задачах. Саме ці матеріали допоможуть краще зрозуміти, як працюють похідні в більш складних виразах і як поєднувати кілька правил в одному розв’язанні.
- Степеневе правило: Формула, доведення, приклади — У цій статті йтиметься про похідну степеневих функцій, логіку формули та її застосування в типових навчальних задачах.
- Правило добутку: Формула, доведення, приклади — Тут розглядатиметься, як знаходити похідну добутку двох функцій і як правильно використовувати це правило на практиці.
- Правило частки: Формула, доведення, приклади — У цьому матеріалі буде показано, як обчислювати похідну частки функцій і на що варто звертати увагу під час розв’язування.
Ланцюгове Правило: Від Формули до Власної Програми
Ланцюгове правило корисне не лише під час ручного знаходження похідних, а й у програмуванні, коли потрібно досліджувати поведінку функції чисельними методами. Якщо вам цікаво поєднати математичний аналіз із написанням коду, спробуйте реалізувати алгоритм із наведеної блок-схеми у своїй улюбленій мові програмування та перевірити, як на практиці знаходяться критичні точки для функції \( y=\sin(x^2-4\cdot x) \). Це хороша нагода побачити, як теоретична формула похідної перетворюється на послідовність обчислень, умов і перевірок. Саме так математична ідея переходить у повноцінну програму.
