Площа п’ятикутника — це область, яка оточена всіма сторонами цієї фігури. П’ятикутник — це двовимірна геометрична фігура з п’ятьма сторонами. Його назва походить від грецьких слів «penta», що означає «п’ять», і «gon», що означає «кути». У цій публікації, за допомогою розв’язаних прикладів, ми навчимося знаходити площу п’ятикутника.
Площа П’ятикутника: Використання Апофеми та Сторони
Площу правильного п’ятикутника можна обчислити, використовуючи довжину його апофеми та довжину однієї з його сторін. Для п’ятикутника \( ABCDE \) зображеного нижче, ми можемо використовувати таку формулу:
\[
S = \frac{5}{2} \cdot AB \cdot OF.
\]
Нагадаємо, що апофема — це відрізок, який сполучає центр п’ятикутника з однією з його сторін.
Крім того, площу правильного п’ятикутника можна обчислити за такою формулою:
\[
S = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{5 \cdot (5 + 2 \cdot \sqrt{5})} \cdot AB^2.
\]
Зазначимо, що ця формула дещо складніша, але вона дозволяє обчислити площу правильного п’ятикутника лише за довжиною однієї з його сторін.
Зауваження. Щоб знайти площу неправильного п’ятикутника, потрібно розбити його на інші менші багатокутники. Потім обчислюється та додається площа цих багатокутників.
Доведення формули через розбиття на трикутники
Щоб довести формулу для визначення площі п’ятикутника, скористаємося рисунком, де п’ятикутник розділено на п’ять рівнобедрених трикутників.
Площу будь-якого трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони. У наведених вище рівнобедрених трикутниках основа дорівнює довжині однієї зі сторін п’ятикутника. Висота трикутника дорівнює апофемі п’ятикутника. Отже, площа кожного трикутника в п’ятикутнику \( ABCDE \) обчислюється за формулою:
\[
S_{AOB} = \frac{AB \cdot OF}{2}.
\]
Оскільки у нас п’ять трикутників, площа п’ятикутника дорівнює:
\[
S = 5 \cdot S_{AOB} = 5 \cdot \frac{AB \cdot OF}{2} = \frac{5}{2} \cdot AB \cdot OF.
\]
Зауваження. Якщо позначити довжину сторони та апофеми п’ятикутника буквами \( a \) та \( h \) відповідно, то формули площі перепишуться у більш звичній буквенній формі:
\[
S = \frac{5}{2} \cdot a \cdot h, \qquad S = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{5 \cdot (5 + 2 \cdot \sqrt{5})} \cdot a^2.
\]
Площа П’ятикутника: Приклади з Відповідями
Для кращого розуміння, як визначити площу п’ятикутника, розглянемо декілька прикладів. Попри те, що кожна задача має розв’язання, спробуйте спочатку виконати обчислення самостійно, а вже потім перевірити відповідь.
Приклад 1. Знайти площу правильного п’ятикутника, сторони якого дорівнюють 10 см, а апофема — 6.88 см
Отже, за умовою маємо, що довжина кожної сторони та апофема п’ятикутника дорівнює \( 10 \) см та \( 6.88 \) см відповідно. Підставляючи ці значення у формулу для площі п’ятикутника, матимемо:
\[
S = \frac{5}{2} \cdot a \cdot h = \frac{5}{2} \cdot 10 \cdot 6.88 = 172.
\]
Звідси, площа п’ятикутника дорівнює \( 172\ \text{см}^2 \).
Приклад 2. Яка площа правильного п’ятикутника, сторони якого дорівнюють 8 см, а апофема — 5.51 см?
Зазначимо, що у цьому випадку сторони та апофема п’ятикутника рівні \( 8 \) см та \( 5.51 \) см. Використовуючи ці значення у формулі площі, матимемо:
\[
S = \frac{5}{2} \cdot a \cdot h = \frac{5}{2} \cdot 8 \cdot 5.51 = 110.2.
\]
Таким чином, площа п’ятикутника дорівнює \( 110.2\ \text{см}^2 \).
Приклад 3. Знайти апофему правильного п’ятикутника, площа якого дорівнює 84.3 см², а довжина його сторін дорівнює 7 см
У цьому випадку ми повинні знайти апофему п’ятикутника, знаючи його площу та довжину сторін. Отже, використовуючи ту ж формулу, підставляємо задані значення та знаходимо апофему \( h \):
\[
S = \frac{5}{2} \cdot a \cdot h, \qquad 84.3 = \frac{5}{2} \cdot 7 \cdot h, \qquad 168.6 = 35 \cdot h, \qquad h = 4.82.
\]
Звідси, довжина апофеми правильного п’ятикутника дорівнює \( 4.82 \) см.
Приклад 4. Знайти площу правильного п’ятикутника зі сторонами 5 см
У цьому випадку ми знаємо лише довжину сторін п’ятикутника. Тому ми можемо використовувати другу формулу для площі п’ятикутника:
\[
S = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{5 \cdot (5 + 2 \cdot \sqrt{5})} \cdot a^2 = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{5 \cdot (5 + 2 \cdot \sqrt{5})} \cdot 5^2 = 43.
\]
Отже, площа п’ятикутника дорівнює \( 43\ \text{см}^2 \).
Приклад 5. Чому дорівнює площа п’ятикутника ABCDE, сторони якого AB=4 см, BC=5 см, CD=5 см, DE=4 см, AE=8 см
Ми можемо знайти площу п’ятикутника за допомогою таких кроків: спочатку ми розіб’ємо п’ятикутник на трикутник \( BCD \) і прямокутник \( ABDE \).
На наступному кроці, знайдемо площу трикутника \( BCD \) і площу прямокутника \( ABDE \):
- Оскільки ми знаємо \( 3 \) сторони трикутника (\( BC = 5 \) см, \( CD =5 \) см, \( BD = 8 \) см), його площу можна обчислити за формулою Герона. Отже, підставивши відомі значення у формулу:
\[
S_{BCD} = \sqrt{p \cdot (p – BC) \cdot (p – CD) \cdot (p – BD)} = \sqrt{9 \cdot (9 – 5) \cdot (9 – 5) \cdot (9 – 8)} = \sqrt{144} = 12.
\]
- Площа прямокутника дорівнює добутку довжини на ширину. В даному випадку довжина \( AE = 8 \) см, ширина \( AB = 4 \) см. Отже:
\[
S_{ABDE} = AE \cdot AB = 8 \cdot 4 = 32.
\]
Далі, додамо площі трикутника та прямокутника:
\[
S = S_{BCD} + S_{ABDE} = 12 + 32 = 44.
\]
Таким чином, площа неправильного п’ятикутника \( ABCDE \) дорівнює \( 44\ \text{см}^2 \).
Дивіться Також: Куди Рухатися Далі?
Хочете ще краще розібратися з п’ятикутниками та не плутатися у формулах? Тоді ці матеріали стануть гарним продовженням.
- Апофема п’ятикутника: Формули та приклади — Дізнаєтесь, як знаходити апофему і чому вона напряму пов’язана з площею правильного п’ятикутника.
- Периметр п’ятикутника: Формули та приклади — Навчитесь швидко обчислювати периметр за різними даними та перевіряти розв’язки на практиці.
- Внутрішні кути многокутника: Формула та приклади — Пояснюємо, як знаходити суму й величину кутів у п’ятикутнику та застосовувати це в задачах.
Від Теорії до Коду: Обчислення Площі П’ятикутника
Якщо вам подобається програмування, ця блок-схема — чудова нагода швидко перетворити математичну формулу на робочу програму: оберіть свою улюблену мову (Python, JavaScript, C#, Java чи будь-яку іншу), відтворіть логіку перевірки введення та обчислення площі, а потім додайте зручний формат виводу — і ви отримаєте власний мінікалькулятор площі правильного п’ятикутника, який можна легко розширити для застосунку чи навчального проєкту.
