Апофема п’ятикутника — це перпендикулярна відстань від центра правильного п’ятикутника до однієї з його сторін (тобто до точки дотику вписаного кола зі стороною). Її також можна розглядати як радіус кола, вписаного в правильний п’ятикутник. Найчастіше апофему використовують, коли потрібно обчислити площу правильного многокутника.
У цій статті ми навчимося знаходити апофему правильного п’ятикутника за відомою стороною. А ще — застосуємо формулу на практиці в кількох прикладах.
Крок за Кроком до Формули: Апофема П’ятикутника
Щоб вивести формулу апофеми, розглянемо правильний п’ятикутник \( ABCDE \) з центром \( O \). Проведемо від центра відрізки до всіх вершин — так п’ятикутник розіб’ється на п’ять рівних рівнобедрених трикутників. Візьмемо один із них, наприклад трикутник \( AOB \).
Нехай \( F \) — середина сторони \( AB \). Тоді відрізок \( OF \) перпендикулярний до \( AB \) і є апофемою. Водночас \( OF \) — це висота трикутника \( AOB \), яка ділить основу \( AB \) навпіл, тобто:
\[
AF = FB = \frac{AB}{2}.
\]
Тепер подивімося на центральний кут. Повний кут навколо точки \( O \) дорівнює \( 360^\circ \). Оскільки трикутників п’ять, то
\[
\angle AOB = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ.
\]
Висота \( OF \) ділить трикутник \( AOB \) на два рівні прямокутні трикутники, тому
\[
\angle AOF = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ.
\]
Тепер розглянемо прямокутний трикутник \( AOF \). У ньому:
- Протилежний катет до кута \( 36^\circ \) — це \( AF=\dfrac{AB}{2} \).
- Прилеглий катет — це \( OF \) (апофема).
\[
\tan(36^\circ)=\frac{AF}{OF}=\frac{\dfrac{AB}{2}}{OF}.
\]
Звідси:
\[
OF=\frac{AB}{2\cdot\tan(36^\circ)}.
\]
Зауваження. Якщо позначити довжину сторони правильного п’ятикутника через \( a \), а апофему через \( h \), то формула набуває звичного вигляду:
\[
h=\dfrac{a}{2 \cdot \tan(36^\circ)}.
\]
Апофема П’ятикутника: Приклади з Відповідями
Формула апофеми п’ятикутника використовується для розв’язання наступних прикладів. Кожен приклад має відповідне рішення, але рекомендуємо спробувати розв’язати задачу самостійно, перш ніж дивитися відповідь.
Приклад 1. Яка довжина апофеми п’ятикутника зі стороною 4 см?
За умовою маємо \( a=4 \) см. Використовуючи формулу апофеми, отримаємо:
\[
h=\frac{a}{2\cdot\tan\left(36^\circ\right)}=\frac{4}{2\cdot\tan\left(36^\circ\right)}\approx 2.75.
\]
Звідси апофема п’ятикутника дорівнює \( 2.75 \) см.
Приклад 2. Довжина сторони п’ятикутника дорівнює 5 см. Яка довжина його апофеми?
У цьому випадку \( a=5 \) см. Підставимо це значення у формулу:
\[
h=\frac{a}{2\cdot \tan\left(36^\circ\right)}=\frac{5}{2\cdot\tan\left(36^\circ\right)}\approx 3.44.
\]
Таким чином, апофема п’ятикутника дорівнює \( 3.44 \) см.
Приклад 3. П’ятикутник має сторону 10 см. Яка довжина його апофеми?
За умовою \( a=10 \) см. Підставляємо у формулу \( h=\dfrac{a}{2\cdot\tan(36^\circ)} \):
\[
h=\frac{a}{2\cdot \tan\left(36^\circ\right)}=\frac{10}{2\cdot\tan\left(36^\circ\right)}\approx 6.88.
\]
Звідси довжина апофеми п’ятикутника дорівнює \( 6.88 \) см.
Приклад 4. Апофема п’ятикутника дорівнює 7.6 см. Яка довжина його сторони?
Тут відомо \( h=7.6 \) см. Із формули \( h=\dfrac{a}{2\cdot\tan(36^\circ)} \) знайдемо \( a \):
\[
h=\dfrac{a}{2\cdot \tan(36^\circ)},\qquad
7.6=\dfrac{a}{2\cdot\tan(36^\circ)},\qquad
a=7.6\cdot\bigl(2\cdot\tan(36^\circ)\bigr)\approx 11.04.
\]
Звідси довжина сторони п’ятикутника дорівнює \( 11.04 \) см.
Приклад 5. Яка довжина сторони п’ятикутника з апофемою 6 см?
Маємо \( h=6 \) см. Знайдемо \( a \):
\[
h=\dfrac{a}{2\cdot \tan(36^\circ)},\qquad
6=\dfrac{a}{2\cdot \tan(36^\circ)},\qquad
a=6\cdot\bigl(2\cdot \tan(36^\circ)\bigr)\approx 8.72.
\]
Таким чином, довжина сторони п’ятикутника дорівнює \( 8.72 \) см.
Дивіться Також: Що ще Варто Повторити про П’ятикутник
Хочете краще розібратися з п’ятикутниками та швидше робити обчислення? Тоді ці матеріали будуть дуже доречними:
- Периметр п’ятикутника: Формули та приклади — Коротко й по кроках: як знайти периметр п’ятикутника та не заплутатися у формулах і підстановках.
- Площа п’ятикутника: Формули та приклади — Пояснюємо, як обчислювати площу правильного п’ятикутника через сторону й апофему на прикладах.
- Внутрішні кути многокутника: Формула та приклади — Дізнаєтесь, як знаходити суму й величину кутів у п’ятикутнику та застосовувати це в задачах.
Від Формули до Коду: Спробуєте Запрограмувати Апофему?
А тепер — найцікавіше для тих, хто любить програмування. Подивіться на блок-схему нижче й спробуйте написати програму, яка робить те саме, але вже вашою улюбленою мовою. Це може бути Python, JavaScript, C#, Java або навіть PHP для сайту. Приємний бонус у тому, що результат одразу можна перетворити на маленький «геометричний калькулятор». Зручно, правда? І коли ваш код видасть апофему за введеною стороною, ви відчуєте, що формула справді працює не лише на папері.
