Периметр п’ятикутника — це сума всіх його сторін.
П’ятикутник — це багатокутник із п’ятьма сторонами, п’ятьма вершинами та п’ятьма внутрішніми кутами, які в сумі дорівнюють \( 540^\circ \).
П’ятикутники можуть бути правильними або неправильними залежно від довжини сторін. Далі розглянемо основні способи обчислення периметра п’ятикутника.
Формули Периметра П’ятикутника: Від Базової Суми до Тригонометрії
Периметр п’ятикутника — це загальна довжина всіх його сторін. Тобто для п’ятикутника \( ABCDE \), зображеного на рисунку нижче, маємо:
\[
P=AB+BC+CD+DE+AE,
\]
де \( P \) — периметр п’ятикутника.
Якщо п’ятикутник правильний, то всі п’ять його сторін однакові. Тоді периметр обчислюється так:
\[
P=5 \cdot AB.
\]
Зауваження. Якщо позначити довжини сторін п’ятикутника буквами \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) та \( e \) відповідно, то формули периметра можна записати у звичнішому вигляді:
\[
P = a + b + c + d + e,\qquad P = 5\cdot a.
\]
Периметр п’ятикутника через радіус описаного кола
Периметр п’ятикутника можна обчислити, якщо задано радіус описаного кола.
Важливо: цей спосіб застосовується саме для правильного п’ятикутника, вписаного в коло.
У цьому випадку радіус — це відрізок від центра \( O \) до вершини. Спочатку знаходимо сторону:
\[
AB = 2\cdot AO\cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{5}\right)=2\cdot AO\cdot \sin(36^\circ).
\]
Після цього периметр обчислюємо за формулою:
\[
P=5\cdot AB.
\]
Периметр п’ятикутника через апофему
Периметр п’ятикутника можна також обчислити, якщо відома апофема.
Зверніть увагу: цей метод також стосується правильного п’ятикутника.
Апофема — це перпендикулярний відрізок, проведений від центра п’ятикутника до його сторони (до точки дотику вписаного кола зі стороною). Якщо апофема відома, довжину сторони можна знайти так:
\[
AB = 2\cdot OF\cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{5}\right)=2\cdot OF\cdot \tan(36^\circ).
\]
Отримавши сторону, периметр обчислюємо за формулою:
\[
P=5\cdot AB.
\]
Периметр П’ятикутника: Приклади з Відповідями
Щоб краще зрозуміти, як обчислювати периметр п’ятикутника, розглянемо кілька прикладів. Кожен приклад має готове рішення. Але радимо спочатку виконати обчислення самостійно, а вже потім звіритися з відповіддю.
Приклад 1. Знайти периметр п’ятикутника, якщо сторони дорівнюють 5 см, 4 см, 7 см, 3 см і 6 см
Щоб знайти периметр неправильного п’ятикутника, додаємо довжини всіх п’яти сторін:
\[
P=a+b+c+d+e=5+4+7+3+6=25.
\]
Отже, периметр дорівнює \( 25 \) см.
Приклад 2. Знайти периметр правильного п’ятикутника зі стороною 10 см
Оскільки п’ятикутник правильний, то:
\[
P=5\cdot a=5\cdot 10=50.
\]
Таким чином, периметр дорівнює \( 50 \) см.
Приклад 3. Якщо периметр правильного п’ятикутника дорівнює 25 см, знайти довжину його сторони
Тут треба знайти сторону за відомим периметром:
\[
P=5\cdot a,\qquad 25=5\cdot a,\qquad a=5.
\]
Отже, сторона правильного п’ятикутника дорівнює \( 5 \) см.
Приклад 4. Знайти периметр правильного п’ятикутника, вписаного в коло радіусом 5 см
Спершу обчислюємо сторону:
\[
AB = 2\cdot AO\cdot \sin(36^\circ)=2\cdot 5\cdot 0.587785 \approx 5.88.
\]
Тоді периметр:
\[
P=5\cdot AB \approx 5\cdot 5.88 \approx 29.39.
\]
Отже, периметр приблизно дорівнює \( 29.39 \) см.
Приклад 5. Знайти периметр правильного п’ятикутника, якщо апофема OF=5 см
Спершу обчислюємо сторону:
\[
AB=2\cdot OF\cdot \tan(36^\circ)=2\cdot 5\cdot 0.726543 \approx 7.27.
\]
Тоді периметр:
\[
P=5\cdot AB \approx 5\cdot 7.27 \approx 36.33.
\]
Отже, периметр приблизно дорівнює \( 36.33 \) см.
Дивіться Також: Корисні Матеріали для Практики
Хочете закріпити тему й швидко розширити знання про п’ятикутники? Ось добірка матеріалів, які логічно доповнюють цю статтю.
- Апофема п’ятикутника: Формула та приклади — Коротко й наочно пояснюємо, що таке апофема та як знаходити її в задачах.
- Площа п’ятикутника: Формули та приклади — Показуємо, як обчислювати площу правильного п’ятикутника через сторону й апофему на прикладах.
- Внутрішні кути многокутника: Формула та приклади — Пояснюємо, як знаходити суму та величину кутів у п’ятикутнику й застосовувати це в задачах.
Геометрія в Коді: Перетворіть Блок-схему на Програму
Якщо вам подобається не лише рахувати, а й програмувати, спробуйте перетворити цю блок-схему на робочий код у вашій улюбленій мові. Це маленька, але дуже показова задача. Вона тренує введення даних, перевірки, розгалуження та акуратний вивід результату. А ще приємно бачити, як геометрична формула стає частиною програми. Напишіть власну версію, протестуйте різні значення — і ви швидко відчуєте, як алгоритм починає працювати на практиці.
