З курсу аналітичної геометрії відомо, що рівняння прямої, яка проходить через точку з кутовим коефіцієнтом, що дорівнює , має наступний вигляд: .

Дотична і нормаль до кривої

Дотична до кривої в точці має кутовий коефіцієнт . Отже, рівнянням дотичної буде:

Відзначимо, що коли дотична паралельна осі , то кут її нахилу з додатним напрямком осі абсцис дорівнює нулю і тоді . Якщо дотична в точці паралельна осі ,то і тоді .

Пряма, яка перпендикулярна до дотичної кривої  в точці  і проходить через точку , називається нормаллю до цієї кривої в точці . Оскільки кутові коефіцієнти двох взаємно перпендикулярних прямих на площині пов’язані співвідношенням , то рівняння нормалі до кривої в точці  набуває вигляду:

Зауваження: рівняння (2) має сенс при умові, що . Якщо ж , то рівняння нормалі набуде вигляду .

Ілюстрація до визначення кута між двома кривими

Кутом між двома кривими і в точці їх перетину  називають кут між дотичними до цих кривих в точці , який обчислюють за формулою:

Рівняння дотичної і нормалі до кривої – приклади розв’язання:

Приклад 1: скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої у точці .

За умовою задачі . Тоді . Знайдемо похідну заданої функції в точці . В результаті будемо мати:

Далі, скориставшись формулами (1) і (2), запишемо шукані рівняння дотичної і нормалі:

Приклад 2: скласти рівняння всіх дотичних до графіка функції , що проходять через точку .

Отже, нехай – абсциса точки дотику до графіка заданої функції. Тоді, , , , рівняння дотичної.

Дотичні до кривої, що проходять через точку M

Виходячи з того, що дотична проходить через точку , то її координати повинні задовольняти рівняння дотичної, тобто . Звідси, або . Отже, шукані рівняння дотичних мають наступний вигляд:

Приклад 3: за якими кутами перетинаються криві і .

Отже, на першому кроці, знайдемо точки перетину даних ліній. Для цього, розв’яжемо систему двох нелінійних рівнянь наступного вигляду:

В результаті отримаємо дві точки і . Оскільки дотичні до кривих в точці  збігаються з віссю абсцис, то кут міх кривими, в даній точці, дорівнює нуль градусів.

Кут між кривими y=x^2 і y=x^3

У точці  кут між кривими визначимо за формулою (3):

Отже, .

Блок-схема алгоритму знаходження кута між кривими

Кут між кривими блок-схема

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*