Рівняння Дотичної і Рівняння Нормалі до Кривої: Формули та Приклади

Рівняння дотичної і рівняння нормалі до кривої допомагають зрозуміти, як поводиться графік біля заданої точки. Дотична показує напрям кривої та швидкість зміни функції, а нормаль задає перпендикулярний до неї напрям. Далі розглянемо, як записати ці рівняння, які особливі випадки варто враховувати і як за допомогою дотичних знаходити кут між двома кривими.

Рівняння Дотичної: Пряма, Яка Показує Напрям Кривої

Почнемо з дотичної. Нехай крива задана рівнянням \( y=f(x) \), а точка дотику має вигляд \( M_0(x_0,f(x_0)) \). Якщо функція має похідну в точці \( x_0 \), то ця похідна описує нахил графіка в цій точці.

З аналітичної геометрії відомо, що рівняння прямої, яка проходить через точку \( M_0(x_0,f(x_0)) \) і має кутовий коефіцієнт \( k \), записують так:

\[
y-f(x_0)=k\cdot(x-x_0).
\]

Для дотичної кутовий коефіцієнт дорівнює значенню похідної в точці дотику:

\[
k=f'(x_0).
\]

Тому, якщо похідна \( f'(x_0) \) існує і є скінченним числом, рівняння дотичної до кривої \( y=f(x) \) у точці \( M_0(x_0,f(x_0)) \) має вигляд:

\[
y-f(x_0)=f'(x_0)\cdot(x-x_0).
\]

Що показує ця формула? Вона показує локальний напрям кривої в точці. Тобто дотична ніби «замінює» криву біля точки \( M_0(x_0,f(x_0)) \) прямою. А похідна \( f'(x_0) \) показує швидкість зміни функції в цій точці.

Щоб записати рівняння дотичної, потрібно знайти \( f(x_0) \), обчислити \( f'(x_0) \), а потім підставити ці значення у формулу.

Якщо

\[
f'(x_0)=0,
\]

то дотична є горизонтальною. Вона паралельна осі \( OX \), тому її рівняння має вигляд:

\[
y=f(x_0).
\]

Окремо зауважимо: якщо дотична є вертикальною, то її не описують формулою з кутовим коефіцієнтом. У такому випадку рівняння дотичної записують окремо:

\[
x=x_0.
\]

Отже, дотична відповідає на питання: у якому напрямі крива проходить через задану точку? Але часто в задачах важливий ще один напрям — перпендикулярний до цього. Саме так ми переходимо до нормалі.

Рівняння Нормалі: Пряма, Перпендикулярна до Дотичної

Нормаль до кривої — це пряма, яка проходить через точку \( M_0(x_0,f(x_0)) \) і є перпендикулярною до дотичної в цій точці.

Якщо дотична показує, як крива змінюється в точці, то нормаль показує напрям, перпендикулярний до цього локального напряму. Простіше кажучи, дотична йде «уздовж» кривої, а нормаль — «поперек» неї в заданій точці.

Навіщо це потрібно? Нормаль використовують у задачах, де важливо побудувати перпендикуляр до кривої, знайти перпендикулярний напрям, пов’язаний із найкоротшою відстанню, описати напрям сили або розглянути геометричне розміщення прямих біля графіка. Тобто нормаль не дублює дотичну, а доповнює її.

Нехай кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює

\[
k_t=f'(x_0).
\]

Оскільки нормаль перпендикулярна до дотичної, то кутові коефіцієнти цих прямих пов’язані співвідношенням:

\[
k_t\cdot k_n=-1,
\]

де \( k_n \) — кутовий коефіцієнт нормалі. Звідси, якщо \( f'(x_0)\neq 0 \), отримуємо:

\[
k_n=-\frac{1}{f'(x_0)}.
\]

Тому рівняння нормалі до кривої \( y=f(x) \) у точці \( M_0(x_0,f(x_0)) \) має вигляд:

\[
y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}\cdot(x-x_0).
\]

Ця формула працює за умови, що \( f'(x_0)\neq 0 \). Причина проста: у формулі є ділення на \( f'(x_0) \), а на нуль ділити не можна.

Якщо \( f'(x_0)=0 \), то з попереднього розділу маємо горизонтальну дотичну. Тому нормаль у цій точці буде вертикальною прямою:

\[
x=x_0.
\]

Якщо ж дотична в точці \( M_0(x_0,f(x_0)) \) є вертикальною і має рівняння \( x=x_0 \), то нормаль буде горизонтальною:

\[
y=f(x_0).
\]

Отже, нормаль доповнює дотичну: вона дає другий важливий напрям у тій самій точці кривої.

Кут Між Кривими: Порівняння Напрямів Через Дотичні

Тепер зробимо наступний крок. Якщо дотична описує напрям однієї кривої в точці, то дві дотичні допомагають порівняти напрями двох кривих у їхній спільній точці.

Нехай задано дві криві \( y=f_1(x) \) і \( y=f_2(x) \). Нехай вони перетинаються в точці \( M_0(x_0,f_1(x_0)) \). Оскільки ця точка належить обом кривим, то виконується рівність:

\[
f_1(x_0)=f_2(x_0).
\]

Кутом між двома кривими в точці їх перетину називають кут між дотичними до цих кривих, проведеними в цій точці. Зазвичай під кутом між кривими беруть менший кут між їхніми дотичними.

Тобто задача про кут між кривими зводиться до задачі про кут між двома прямими — їхніми дотичними.

Якщо обидві дотичні не є вертикальними, то їхні кутові коефіцієнти дорівнюють:

\[
k_1=f’_1(x_0), \qquad k_2=f’_2(x_0).
\]

Тоді тангенс кута між дотичними, а отже й між кривими, обчислюють за формулою:

\[
\tan(\varphi)=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1\cdot k_2}\right|.
\]

Після підстановки похідних маємо:

\[
\tan(\varphi)=\left|\frac{f’_2(x_0)-f’_1(x_0)}{1+f’_1(x_0)\cdot f’_2(x_0)}\right|.
\]

Ця формула показує, що кут між кривими залежить від нахилів їхніх дотичних у точці перетину. Тобто головну роль відіграють не самі значення функцій, а значення похідних \( f’_1(x_0) \) і \( f’_2(x_0) \).

Якщо

\[
1+f’_1(x_0)\cdot f’_2(x_0)=0,
\]

то дотичні взаємно перпендикулярні. У цьому випадку кут між кривими дорівнює \( 90^\circ \).

Отже, дотична, нормаль і кут між кривими дають зручний спосіб описати локальну геометрію графіків через похідну.

Практична Частина: Рівняння Дотичної, Нормалі та Кут Між Кривими

Тепер перейдемо до практики. Тут важливо не просто запам’ятати формули, а побачити, як вони працюють у задачах. Спочатку знайдемо дотичну й нормаль у заданій точці, потім розглянемо дотичні, що проходять через зовнішню точку, а після цього обчислимо кут між двома кривими.

Приклад 1. Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої \( y=5\cdot x^3+3\cdot x \) у точці \( M_0(1,8) \)

За умовою задачі \( x_0=1 \). Спочатку перевіримо значення функції в цій точці:

\[
f(x_0)=f(1)=5\cdot 1^3+3\cdot 1=8.
\]

Отже, точка \( M_0(1,8) \) справді належить заданій кривій.

Тепер знайдемо похідну в точці \( x_0=1 \). Для наочності зробимо це через означення похідної:

\[
f'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}.
\]

Підставимо задану функцію:

\[
f'(1)=\lim_{h\to 0}
\frac{5\cdot(1+h)^3+3\cdot(1+h)-8}{h}.
\]

Розкриємо дужки та спростимо вираз:

\[
f'(1)=\lim_{h\to 0}
\frac{18\cdot h+15\cdot h^2+5\cdot h^3}{h}.
\]

Скорочуємо на \( h \):

\[
f'(1)=\lim_{h\to 0}(18+15\cdot h+5\cdot h^2)=18.
\]

Отже, кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює \( k=f'(1)=18 \).

Тепер запишемо рівняння дотичної:

\[
y-f(x_0)=f'(x_0)\cdot(x-x_0).
\]

Після підстановки \( x_0=1 \), \( f(x_0)=8 \), \( f'(x_0)=18 \) отримаємо:

\[
y-8=18\cdot(x-1).
\]

Або після спрощення:

\[
y=18\cdot x-10.
\]

Тепер складемо рівняння нормалі. Оскільки \( f'(1)=18\neq 0 \), то можна використати формулу:

\[
y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}\cdot(x-x_0).
\]

Підставляємо знайдені значення:

\[
y-8=-\frac{1}{18}\cdot(x-1).
\]

Або після спрощення:

\[
y=-\frac{1}{18}\cdot x+\frac{145}{18}.
\]

Отже, дотична має рівняння \( y-8=18\cdot(x-1) \), а нормаль має рівняння \( y-8=-\frac{1}{18}\cdot(x-1) \).

Приклад 2. Скласти рівняння всіх дотичних до графіка функції \( y=-3\cdot x^2+5 \), що проходять через точку \( M(-1,5) \)

Тут точка \( M(-1,5) \) не задається як точка дотику. Вона лише повинна належати шуканій дотичній. Тому точку дотику позначимо окремо.

Нехай \( x_0 \) — абсциса точки дотику до графіка функції

\[
y=-3\cdot x^2+5.
\]

Тоді значення функції в точці дотику дорівнює:

\[
f(x_0)=-3\cdot x_0^2+5.
\]

Знайдемо похідну заданої функції:

\[
f'(x)=-6\cdot x.
\]

Тому в точці дотику маємо:

\[
f'(x_0)=-6\cdot x_0.
\]

Запишемо рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою \( x_0 \):

\[
y-f(x_0)=f'(x_0)\cdot(x-x_0).
\]

Підставимо знайдені вирази:

\[
y-(-3\cdot x_0^2+5)=-6\cdot x_0\cdot(x-x_0).
\]

Звідси:

\[
y+3\cdot x_0^2-5=-6\cdot x_0\cdot(x-x_0).
\]

Розкриємо дужки:

\[
y+3\cdot x_0^2-5=-6\cdot x\cdot x_0+6\cdot x_0^2.
\]

Тепер виразимо \( y \):

\[
y=3\cdot x_0^2-6\cdot x\cdot x_0+5.
\]

Це рівняння дотичної, але воно ще містить невідомий параметр \( x_0 \). Як його знайти? Використаємо умову, що дотична проходить через точку \( M(-1,5) \). Отже, координати цієї точки повинні задовольняти рівняння дотичної.

Підставимо \( x=-1 \), \( y=5 \):

\[
5=3\cdot x_0^2-6\cdot(-1)\cdot x_0+5.
\]

Отже,

\[
5=3\cdot x_0^2+6\cdot x_0+5.
\]

Перенесемо все в одну сторону:

\[
3\cdot x_0^2+6\cdot x_0=0.
\]

Винесемо спільний множник:

\[
3\cdot x_0\cdot(x_0+2)=0.
\]

Звідси маємо два значення: \( x_0=0 \) або \( x_0=-2 \). Отже, існують дві дотичні.

Якщо \( x_0=0 \), то

\[
y=3\cdot 0^2-6\cdot x\cdot 0+5=5.
\]

Тому перша дотична має рівняння:

\[
y=5.
\]

Якщо \( x_0=-2 \), то

\[
y=3\cdot(-2)^2-6\cdot x\cdot(-2)+5.
\]

Звідси:

\[
y=12+12\cdot x+5.
\]

Отже,

\[
y=12\cdot x+17.
\]

Таким чином, шукані рівняння дотичних мають вигляд \( y=5 \) і \( y=12\cdot x+17 \).

Приклад 3. Знайти, під якими кутами перетинаються криві \( y=f_1(x)=x^2 \) і \( y=f_2(x)=x^3 \)

Спочатку знайдемо точки перетину заданих кривих. Для цього прирівняємо праві частини рівнянь:

\[
x^2=x^3.
\]

Перенесемо все в одну сторону:

\[
x^3-x^2=0.
\]

Винесемо спільний множник:

\[
x^2\cdot(x-1)=0.
\]

Звідси, \( x=0 \) або \( x=1 \). Отже, маємо дві точки перетину: \( O(0,0) \) і \( M(1,1) \).

Тепер знайдемо похідні обох функцій:

\[
f’_1(x)=2\cdot x, \qquad f’_2(x)=3\cdot x^2.
\]

Спочатку розглянемо точку \( O(0,0) \). У цій точці:

\[
f’_1(0)=2\cdot 0=0, \qquad f’_2(0)=3\cdot 0^2=0.
\]

Отже, дотичні до обох кривих у точці \( O(0,0) \) мають однаковий кутовий коефіцієнт. Обидві дотичні збігаються з віссю \( OX \). Тому кут між кривими в цій точці дорівнює \( 0^\circ \).

Тепер розглянемо точку \( M(1,1) \). У цій точці кутові коефіцієнти дотичних дорівнюють:

\[
k_1=f’_1(1)=2\cdot 1=2, \qquad k_2=f’_2(1)=3\cdot 1^2=3.
\]

Кут між кривими визначимо як кут між їхніми дотичними. Використаємо формулу:

\[
\tan(\varphi)=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1\cdot k_2}\right|.
\]

Підставимо \( k_1=2 \), \( k_2=3 \):

\[
\tan(\varphi)=\left|\frac{3-2}{1+2\cdot 3}\right|.
\]

Отримаємо:

\[
\tan(\varphi)=\frac{1}{7}.
\]

Тому

\[
\varphi=\arctan\left(\frac{1}{7}\right).
\]

Якщо записати кут наближено в градусах, то маємо \( \varphi\approx 8.13^\circ \).

Отже, криві \( y=x^2 \) і \( y=x^3 \) перетинаються у точці \( O(0,0) \) під кутом \( 0^\circ \), а в точці \( M(1,1) \) під кутом \( 8.13^\circ \).

Що Вивчати Далі: Теми Для Продовження

Далі варто перейти до тем, які допомагають швидше й упевненіше працювати з похідними. Вони потрібні майже в кожній задачі математичного аналізу. Тому ці статті добре продовжують вивчення теми.

1. Правила диференціювання функцій і таблиця похідних: Обчислення без границь — У статті йтиметься про основні правила знаходження похідних і зручну таблицю, яка допомагає швидко обчислювати похідні функцій.
2. Похідна складеної функції: Застосування ланцюгового правила — У статті буде пояснено, як знаходити похідну функції, всередині якої є інша функція, і коли застосовувати ланцюгове правило.
3. Похідна неявно заданої функції: Диференціювання рівнянь — У статті розглядатиметься, як знаходити похідну, коли функцію задано не явно, а через рівняння з двома змінними.

Рівняння Дотичної в Коді: Від Формули до Програми

Якщо вам цікаве програмування, цю тему легко перетворити на невеликий обчислювальний проєкт. Блок-схема нижче показує алгоритм, який для двох кривих перевіряє точку перетину, знаходить кутові коефіцієнти дотичних і обчислює кут між кривими в градусах. Спробуйте реалізувати цей алгоритм у Pascal, Python, C++, JavaScript або будь-якій іншій мові, з якою вам зручно працювати. Так ви не просто повторите формули, а побачите, як рівняння дотичної допомагає будувати реальний обчислювальний інструмент.