У геометрії і тригонометрії трикутник є одним з основних геометричних фігур, який складається з трьох сторін і трьох кутів. Коли мова йде про прямокутний трикутник, особлива увага зосереджується на його кутах та відношеннях між сторонами. Один з таких важливих відношень – це тангенс кута.
У цій статті ми розглянемо, що таке тангенс кута, як його знайти в прямокутному трикутнику та як це використовується у тригонометрії.
Навігація по сторінці.
Що таке тангенс кута?
Тангенс кута визначається як відношення протилежного катету до прилеглого катету в прямокутному трикутнику.
Іншими словами, якщо у нас є прямокутний трикутник ABC з кутом BAC який дорівнює α, то тангенс кула α дорівнює довжині протилежного катета BC, розділеної на довжину прилеглого катета AС:
Зауваження: якщо позначити довжину сторін AB, BC та AC трикутника ABC буквами c, a і b відповідно, то формула тангенса кута перепишуться у більш зручному для використання вигляді:
Порівняння тангенсу кута з іншими тригонометричними функціями.
Тангенс кута відрізняється від інших тригонометричних функцій, таких як синус і косинус, в тому, що він вимірює відношення катетів, а не протилежного (прилеглого) катета до гіпотенузи. Тангенс кута можна виразити через синус і косинус за допомогою формули:
Тангенси загальних спеціальних кутів.
Тангенс найпоширеніших кутів знаходять, використовуючи пропорції сторін спеціальних трикутників і той факт, що тангенс це відношення синуса до косинуса. Наприклад, ми будемо використовувати рівнобедрений прямокутний трикутник, у якого кути A, B і C рівні 45°, 45° та 90° відповідно.
Ми можемо скористатися теоремою Піфагора: AB2=BC2+AC2. У цьому випадку дві сторони рівні, тобто BC=AC. Отже, маємо AB2=2·BC2. Це означає, що AB=BC·√2.
Тому і синус, і косинус 45° дорівнюють 1/√2 або √2/2. Оскільки тангенс дорівнює відношенню синуса до косинуса, тангенс 45° дорівнює 1.
Ми також можемо використовувати трикутник 30°–60°–90°, щоб знайти значення синуса 30° і 60°. Пропорції сторін цього трикутника такі: 1:√3:2. Використовуючи ці пропорції, ми маємо sin(30°)=cos(60°)=1/2, а також маємо sin(60°)=cos(30°)=√3/2.
Властивості тангенса кута.
Тангенс кута має кілька властивостей, які можуть бути корисними при використанні його в різних задачах:
- діапазон значень: значення тангенсу кута можуть бути будь-якими числами, включаючи від’ємні та дробові числа;
- періодичність: значення тангенсу кута повторюються через кожних 180 градусів або π радіан;
- неперервність: тангенс кута є неперервною функцією на своєму діапазоні значень.
Обчислення тангенса кута – приклади з відоповідями.
Наступні приклади вирішуються з використанням вивченого про тангенси кутів. Усі приклади стосуються прямокутного трикутника, зображеного вище.
Приклад 1: обчислити тангенс кута прямокутного трикутника, якщо протилежний катет a дорівнює 4, а прилеглий катет b=3.
Отже, щоб знайти тангенс кута, використовуємо розглянуту вище формулу. В результаті будемо мати:
Таким чином, тангенс кута дорівнює 1.333.
Приклад 2: обчислити тангенс кута, якщо прилеглий катет дорівнює 5, а гіпотенуза 12.
Цей приклад подібний до попереднього, з тією різницею, що спочатку потрібно, за теоремою Піфагора, знайти протилежний катет:
Далі, за формулою тангенса для прямокутного трикутника маємо:
Отже, тангенс кута дорівнює 2.18.
Приклад 3: нехай маємо прямокутний трикутник з кутом α=45 градусів та прилеглим катетом b=15. Знайти протилежний катет.
Щоб знайти протилежний катет a, використовуємо формулу тангенса. Підставляємо відомі значення:
Звідси, протилежний катет дорівнює 15.
Дивіться також:
Тема тангенс кута надзвичайно цікава та корисна для розуміння геометрії та тригонометрії. Однак, є й інші важливі теми, які можуть поглибити ваші знання та сприяти кращому розумінню цієї концепції. Отже, в рамках вивчення тангенса кута, вам можуть бути корисні наступні теми:
- Синус кута – формули та приклади.
- Косинус кута – формули та приклади.
- Теорема косинусів – застосування та приклади.
- Теорема синусів – застосування та приклади.
Блок-схема алгоритму обчислення тангенса кута
