Трапеція. Властивості і ознаки рівнобічної трапеції

Трапецією називається чотирикутник, у якого є тільки одна пара паралельних сторін. Так, чотирикутник ABCD, зображений на рисунку нижче – трапеція (сторони AD і BC – паралельні).

Висота трапеції

Паралельні сторони трапеції називаються її основами, непаралельні – бічними сторонами.

Паралельні сторони не можуть бути рівними, тому що в противному випадку ми мали б паралелограм. Тому одну з них називають великою, другу – малою основами трапеції.

За властивостями паралельних прямих видно, що сума кутів, прилеглих до кожної з бічних сторін, дорівнює двом прямим (у паралелограма двом прямим дорівнює сума кутів, прилеглих до будь-якої сторони).

Відрізок BH, перпендикулярний до основ – це висота трапеції.

На рисунку нижче, зображена трапеція, одна з бічних сторін якої перпендикулярна до її основ. Така трапеція називається прямокутною.

Іншими словами, всякий чотирикутник, у якого два кута, прилеглі до однієї сторони, прямі, є або прямокутною трапецією (очевидно, щонайменше дві сторони паралельні), або прямокутником.

Прямокутна трапеція

Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною трапецією.

Також хочеться зазначити, що у такій трапеції є пара рівних і пара паралельних сторін, і тим не меньше вона не є паралелограма.

Відзначимо деякі властивості равнобочної трапеції.

Кути, прилеглі до кожного з основ рівнобічної трапеції рівні.

Властивості рівнобічної трапеції

Доведемо, наприклад, рівність кутів A і D при великій основі рівнобічної трапеції ABCD.

Для цієї мети проведемо через вершину C пряму, паралельну бічній стороні AB. Вона перетне основу AD в точці K.

Чотирикутник ABCK – паралелограм, так як, по побудові, він має дві пари паралельних сторін. Отже, відрізок CK дорівнює її бічній стороні (CK = AB).

Звідси, CK = CD, трикутник CKD – рівнобедрений, кут CKD = CDK, і, отже, A = D.

Кути, прилеглі до малої основи, рівні, так як кожен з них в сумі з рівними кутами A і D становлять два прямих.

Діагоналі рівнобочної трапеції рівні.

Властивості рівнобічної трапеції, діагоналі рівнобічної трапеції

Розглянемо трикутники ABC і ACD. Їх рівність відразу випливає з другої ознаки рівності трикутників (сторона AD спільна, сторони AB і CD рівні, кути BAD і ADC (містяться між рівними сторонами) рівні по першій властивості).

З рівності трикутників робимо висновок, що AC = BD.

Якщо продовжити сторони рівнобічної трапеції до їх перетину, то разом з великою основою вони утворюватимуть трикутник.

Інакше кажучи, рівнобічна трапеція виходить урізанням рівнобедреного трикутника прямою, паралельною до його основи.

Властивості рівнобічної трапеції

Властивість 3 випливає з рівності кутів при великій основі.

Висота KL побудованого рівнобедреного трикутника AKD є віссю симетрії трикутника і разом з тим трапеції: лінія MN, що з’єднує середини основ BC і AD рівнобічної трапеції, перпендикулярна до її основ і служить віссю симетрії трапеції.

Приклад 1: висоти рівнобічної трапеції ABCD відсікають на основі AD відрізки AK і LD. Знайдіть довжини цих відрізків, якщо AD = 15 см і BC = 5 см.

Висота трапеції, висота рівнобічної трапеції

Виходячи з того, що трапеція рівнобічна, приходимо до висновку, що трикутники ABK і CLD рівні.

Справді, AB = CD за умовою, BK = CL як висоти трапеції. Значить, прямокутні трикутники ABK і CLD рівні по гіпотенузі і катету.

Так як KBCL – прямокутник, то KL = BC = 5 см, AK = LD = AD - KL = 15 - 5 = 10 см.

Звідси, AK = LD = 5 см.

Приклад 2: у рівнобічній трапеції ABCD кут ABC в три рази більший за кут BAD. Знайти кути трапеції.

Отже, як відомо, сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180 градусів.

Нехай, BAD = x. Тоді, ABC = 3 * x. Звідси, x = 45°. Так як задана трапеція – рівнобічна, то BAD = ADC = 45°, а ABC = BCD = 135°.

Приклад 3: висота рівнобічної трапеції дорівнює 10 см, а діагоналі перетинаються під кутом 60 градусів. Знайти діагоналі трапеції.

Висота рівнобічної трапеції, діагоналі рівнобічної трапеції

Отже, розглянемо рівнобедрений трикутник AOD (оскільки трапеція рівнобічна, то AO = OD).

Кут COD – зовнішній для цього трикутника, тому OAD = ODA = 60°. Через те, що обидва кути рівні, то кожен із них дорівнює 30 градусів.

Розглянемо тепер трикутник BKD. Зазначимо, що даний трикутник є прямокутним, і, виходячи з того, що BDK = 30°, матимемо  BD = 20 см.

Отже, діагоналі трапеції дорівнють 20 см.

Блок-схема алгоритму перевірки чи являється чотирикутник трапецією

Перевірка чи являється чотирикутник трапецією

Ми в соціальних мережах

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*