Діагоналі трапеції. Прямокутна і рівнобічна трапеція

Трапецією називається чотирикутник, у якого є тільки одна пара паралельних сторін. Так, чотирикутник , зображений на малюнку нижче – трапеція (сторони і – паралельні).

Висота трапеції

Зображення трапеції та її висоти

Паралельні сторони трапеції називаються її основами, непаралельні – бічними сторонами. Паралельні сторони не можуть бути рівними, тому що в противному випадку ми мали б паралелограм. Тому одну з них називають великою, другу – малою основами трапеції. За властивостями паралельних прямих видно, що сума кутів, прилеглих до кожної з бічних сторін, дорівнює двом прямим (у паралелограма двом прямим дорівнює сума кутів, прилеглих до будь-якої сторони).

Відрізок , перпендикулярний до основ, називається висотою трапеції. На малюнку нижче, зображена трапеція, одна з бічних сторін якої перпендикулярна до її основ. Така трапеція називається прямокутною. Іншими словами, всякий чотирикутник, у якого два кута, прилеглі до однієї сторони, прямі, є або прямокутною трапецією (очевидно, щонайменше дві сторони паралельні), або прямокутником.

Прямокутна трапеція

Зображення прямокутної трапеції

Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною трапецією. Також хочеться зазначити, що у такій трапеції є пара рівних і пара паралельних сторін, і тим не меньше вона не є паралелограма.

Відзначимо деякі властивості равнобочної трапеції.

Кути, прилеглі до кожного з основ рівнобічної трапеції рівні.

Кути, прилеглі до кожного з основ рівнобічної трапеції рівні

Доведемо, наприклад, рівність кутів і при великій основі рівнобічної трапеції . Для цієї мети проведемо через вершину пряму, паралельну бічній стороні . Вона перетне велику основу в точці . Чотирикутник – паралелограм, так як, по побудові, він має дві пари паралельних сторін. Отже, відрізок дорівнює її бічній стороні: . Звідси, , трикутник – рівнобедрений, кут , і, отже, . Кути, прилеглі до малої основи, рівні, так як кожен з них в сумі з рівними кутами і становлять два прямих.
Діагоналі рівнобочної трапеції рівні.

Діагоналі рівнобочної трапеції рівні

Розглянемо трикутник і . Їх рівність відразу випливає з другої ознаки рівності трикутників (сторона спільна, сторони і рівні, кути і (містяться між рівними сторонами) рівні по властивості 1). З рівності трикутників робимо висновок, що .
Якщо продовжити сторони рівнобічної трапеції до їх перетину, то разом з великою основою вони утворюватимуть трикутник. Інакше кажучи, рівнобічна трапеція виходить урізанням рівнобедреного трикутника прямою, паралельною до його основи.

Рівнобічна трапеція виходить урізанням рівнобедреного трикутника прямою

Властивість 3 випливає з рівності кутів при великій основі. Висота побудованого рівнобедреного трикутника є віссю симетрії трикутника і разом з тим трапеції: лінія , що з’єднує середини основ і рівнобічної трапеції, перпендикулярна до її основ і служить віссю симетрії трапеції.

Задачі на трапецію – приклад:

Приклад 1: у рівнобічній трапеції висоти і відсікають на основі відрізки і . Знайдіть довжини цих відрізків, якщо і .

Задачі на трапецію приклад

Рівнобічна трапеція ABCD

Виходячи з того, що трапеція рівнобічна, приходимо до висновку, що трикутники і рівні. Справді, за умовою, як висоти трапеції. Значить, прямокутні трикутники і рівні по гіпотенузі і катету. Так як – прямокутник, то , . Звідси, .

Приклад 2: у рівнобічній трапеції кут в три рази більший за кут . Знайти всі кути трапеції.

Як відомо, сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює . Нехай, . Тоді, . Звідси, . Так як трапеція – рівнобічна, то , а .

Приклад 3: висота рівнобічної трапеції дорівнює , а діагоналі перетинаються під кутом . Знайти діагоналі трапеції.

Задачі на трапецію приклад

Рівнобічна трапеція ABCD

Отже, розглянемо рівнобедрений трикутник (оскільки трапеція рівнобічна, то ). Кут – зовнішній для цього трикутника, тому . Через те, що обидва кути рівні, то кожен із них дорівнює .