Середня лінія трапеції

Нагадаємо, що трапецією прийнято називати такий чотирикутник, у якого лише дві сторони паралельні одна одній. Ці сторони є основами трапеції. Дві інші сторони називаються бічними сторонами.

Якщо бічні сторони рівні, то трапеція називається рівнобічною (рівнобедренною).

Трапеція, одна з бічних сторін якої перпендикулярна до основ, називається прямокутною.

Середня лінія трапеції.

Проведемо діагональ  трапеції  і побудуємо середні лінії  і  трикутників  і , на які ця діагональ розбиває трапецію. Не важко переконатись, що ці середні лінії будуть лежати на одній прямій.

Дійсно, обидві вони, за визначенням середньої лінії трикутника, проходять через середину сторони , яка є спільною для обох трикутників. Крім того, кожна з середніх ліній  і  паралельна одній з основ трапеції, а значить, обом основам одночасно.

Так як через точку  проходить єдина пряма, паралельна основам, то обидві середні лінії лежать на ній. Вони продовжують одна одну і утворюють відрізок , який з’єднує середини бічних сторін трапеції. Зазначимо, що такий відрізок називається середньою лінією трапеції.

Зауваження: розглянуте вище твердження є вірним для трапеції будь-якого типу. Тобто середня лінія прямокутної трапеції, як і середня лінія рівнобічної трапеції – це відрізок, що сполучає середини бічних сторін цієї трапеції.

Властивості середньої лінії трапеції.

1. Середня лінія трапеції паралельна основам: .
2. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює напівсумі її основ.

Для доведення властивості номер два, знову-таки скористаємось рисунком вище.

Отже, по властивості середньої лінії трикутника маємо  і . Звідси, знаходимо , що і треба було довести.

Середня лінія трапеції – розв’язування прикладів.

Приклад 1: велика і мала основи трапеції рівні  і  відповідно. Знайти довжину більшого з відрізків, на які ділить середню лінію трапеції одна з її діагоналей.

Як зазначалося вище, середня лінія трапеції  так само є середньою лінією трикутників  і  (проходить через середину однієї з їх сторін і паралельна основі). Отже, з трикутника  маємо:

Приклад 2: основи трапеції дорівнюють  і . Знайти відрізок, що з’єднує середини діагоналей даної трапеції.

З попередньго пикладу ми вже знаємо, що середня лінія трапеції містить точки – середини діагоналей. Тобто  – частина середньої лінії . Більше того,  і .

Звідси,

Приклад 3: основи трапеції відносяться як . Середня лінія трапеції дорівнює . Знайти основи трапеції.

Отже, нехай менша основа трапеції . Тоді, . Запишемо співвідношення для середньої лінії трапеції:

Розв’язавши отримане рівняння, матимемо . Таким чином,  і .

Приклад 4: знайдіть середню лінію рівнобічної трапеції , якщо її основи дорівнюють  і .

Отже, за властивістю середньої лінії трапеції отримаємо:

Приклад 5: середня лінія прямокутної трапеції  дорівнює , а менша основа – . Знайдіть більшу основу трапеції.

Отже, знову-таки, скориставшись другою властивість середньої лінії трапеції, матимемо:

Приклад 6: у рівнобічній трапеції  діагоналі перпендикулярні. Висота дорівнює . Знайти середню лінію рівнобічної трапеції.

Отже, виходячи з того, що діагоналі трапеції перпендикулярні то  та  – прямокутні рівнобедрені, трикутники. Висоти  і  цих трикутниках є також і їх медіанами.

Оскільки медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, то для трикутників  і , відповідно, матимемо:

Так як  і є висота трапеції, то:

Запитання для самоперевірки на тему середня лінія трапеції.

1. Середня лінія трапеції – це відрізок, що сполучає середини її…
2. За якою формулою обчислюється середня лінія трапеції?
3. Яким властивостям задовільняє середня лінія трапеції?
4. Чи правда, що середня лінія прямокутної трапеції дорівнює напівсумі її основ?
5. Як знайти середню лінію рівнобічної трапеції?

Як знайти середню лінію трапеції – блок-схема

Ми в соціальних мережах

• 
• 
• 
•