Навігація по сторінці.
Нагадаємо, що трапецією прийнято називати такий чотирикутник, у якого лише дві сторони паралельні одна одній. Ці сторони є основами трапеції. Дві інші сторони називаються бічними сторонами.
Якщо бічні сторони рівні, то трапеція називається рівнобічною (рівнобедренною).
Трапеція, одна з бічних сторін якої перпендикулярна до основ, називається прямокутною.
Середня лінія трапеції.
Проведемо діагональ трапеції
і побудуємо середні лінії
і
трикутників
і
, на які ця діагональ розбиває трапецію. Не важко переконатись, що ці середні лінії будуть лежати на одній прямій.
Дійсно, обидві вони, за визначенням середньої лінії трикутника, проходять через середину сторони , яка є спільною для обох трикутників. Крім того, кожна з середніх ліній
і
паралельна одній з основ трапеції, а значить, обом основам одночасно.
Так як через точку проходить єдина пряма, паралельна основам, то обидві середні лінії лежать на ній. Вони продовжують одна одну і утворюють відрізок
, який з’єднує середини бічних сторін трапеції. Зазначимо, що такий відрізок називається середньою лінією трапеції.
Зауваження: розглянуте вище твердження є вірним для трапеції будь-якого типу. Тобто середня лінія прямокутної трапеції, як і середня лінія рівнобічної трапеції – це відрізок, що сполучає середини бічних сторін цієї трапеції.
Властивості середньої лінії трапеції.
- Середня лінія трапеції паралельна основам:
.
- Довжина середньої лінії трапеції дорівнює напівсумі її основ.
Для доведення властивості номер два, знову-таки скористаємось рисунком вище.
Отже, по властивості середньої лінії трикутника маємо і
. Звідси, знаходимо
, що і треба було довести.
Середня лінія трапеції – розв’язування прикладів.
Приклад 1: велика і мала основи трапеції рівні і
відповідно. Знайти довжину більшого з відрізків, на які ділить середню лінію трапеції одна з її діагоналей.
Як зазначалося вище, середня лінія трапеції так само є середньою лінією трикутників
і
(проходить через середину однієї з їх сторін і паралельна основі). Отже, з трикутника
маємо:
Приклад 2: основи трапеції дорівнюють і
. Знайти відрізок, що з’єднує середини діагоналей даної трапеції.
З попередньго пикладу ми вже знаємо, що середня лінія трапеції містить точки – середини діагоналей. Тобто – частина середньої лінії
. Більше того,
і
.
Звідси,
Приклад 3: основи трапеції відносяться як . Середня лінія трапеції дорівнює
. Знайти основи трапеції.
Отже, нехай менша основа трапеції . Тоді,
. Запишемо співвідношення для середньої лінії трапеції:
Розв’язавши отримане рівняння, матимемо . Таким чином,
і
.
Приклад 4: знайдіть середню лінію рівнобічної трапеції , якщо її основи дорівнюють
і
.
Отже, за властивістю середньої лінії трапеції отримаємо:
Приклад 5: середня лінія прямокутної трапеції дорівнює
, а менша основа –
. Знайдіть більшу основу трапеції.
Отже, знову-таки, скориставшись другою властивість середньої лінії трапеції, матимемо:
Приклад 6: у рівнобічній трапеції діагоналі перпендикулярні. Висота дорівнює
. Знайти середню лінію рівнобічної трапеції.
Отже, виходячи з того, що діагоналі трапеції перпендикулярні то та
– прямокутні рівнобедрені, трикутники. Висоти
і
цих трикутниках є також і їх медіанами.
Оскільки медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, то для трикутників і
, відповідно, матимемо:
Так як і є висота трапеції, то:
Запитання для самоперевірки на тему середня лінія трапеції.
- Середня лінія трапеції – це відрізок, що сполучає середини її…
- За якою формулою обчислюється середня лінія трапеції?
- Яким властивостям задовільняє середня лінія трапеції?
- Чи правда, що середня лінія прямокутної трапеції дорівнює напівсумі її основ?
- Як знайти середню лінію рівнобічної трапеції?