Середня лінія трапеції

Нагадаємо, що трапецією прийнято називати такий чотирикутник, у якого лише дві сторони паралельні одна одній. Ці сторони є основами трапеції. Дві інші сторони називаються бічними сторонами.

Якщо бічні сторони рівні, то трапеція називається рівнобічною (рівнобедренною).

Трапеція, одна з бічних сторін якої перпендикулярна до основ, називається прямокутною.

Проведемо діагональ AC трапеції ABCD і побудуємо середні лінії KL і LN трикутників ABC і ACD, на які ця діагональ розбиває трапецію. Не важко переконатись, що ці середні лінії будуть лежати на одній прямій.

Середня лінія трапеції, середня лінія прямокутної трапеції, середня лінія рівнобічної трапеції

Дійсно, обидві вони, за визначенням середньої лінії трикутника, проходять через середину сторони AC, яка є спільною для обох трикутників. Крім того, кожна з середніх ліній KL і LN паралельна одній з основ трапеції, а значить, обом основам одночасно.

Так як через точку L проходить єдина пряма, паралельна основам, то обидві середні лінії лежать на ній. Вони продовжують одна одну і утворюють відрізок KN, який з’єднує середини бічних сторін трапеції. Зазначимо, що такий відрізок називається середньою лінією трапеції.

Зауваження: розглянуте вище твердження є вірним для трапеції будь-якого типу. Тобто середня лінія прямокутної трапеції, як і середня лінія рівнобічної трапеції – це відрізок, що сполучає середини бічних сторін цієї трапеції.

  1. Середня лінія трапеції паралельна основам: KN || AD, KN || BC.
  2. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює напівсумі її основ.

Для доведення властивості номер два, знову-таки скористаємось рисунком вище.

Отже, по властивості середньої лінії трикутника маємо KL = BC / 2 і LN = AD / 2. Звідси, знаходимо Формула середньої лінії трапеції, що і треба було довести.

Приклад 1: велика і мала основи трапеції рівні 4 см і 8 см відповідно. Знайти довжину більшого з відрізків, на які ділить середню лінію трапеції одна з її діагоналей.

Середня лінія трапеції, середня лінія прямокутної трапеції, середня лінія рівнобічної трапеції

Як зазначалося вище, середня лінія трапеції ABCD так само є середньою лінією трикутників ABC і ACD (проходить через середину однієї з їх сторін і паралельна основі). Отже, з трикутника ACD маємо:

LM = 4 см

Приклад 2: основи трапеції дорівнюють 10 см і 20 см. Знайти відрізок, що з’єднує середини діагоналей даної трапеції.

З попередньго пикладу ми вже знаємо, що середня лінія трапеції містить точки – середини діагоналей. Тобто  – частина середньої лінії Середня лінія трапеції. Більше того, KL = MN = BC / 2 і KM = LN = AD / 2.

Звідси,

LM = 5 см

Приклад 3: основи трапеції відносяться як 1 : 3. Середня лінія трапеції дорівнює 30 см. Знайти основи трапеції.

Отже, нехай менша основа трапеції BC = x. Тоді, AD = 3 * x. Запишемо співвідношення для середньої лінії трапеції:

Формула середньої лінії трапеції

Розв’язавши отримане рівняння, матимемо x = 15Таким чином, BC = 15 см і AD = 45 см.

Приклад 4: знайдіть середню лінію рівнобічної трапеції ABCD, якщо її основи дорівнюють 15 см і 5 см.

Середня лінія рівнобічної трапеції

Отже, за властивістю середньої лінії трапеції отримаємо:

Середня лінія рівнобічної трапеції дорівнює 10 см

Приклад 5: середня лінія прямокутної трапеції ABCD дорівнює 10 см, а менша основа – 5 см. Знайдіть більшу основу трапеції.

Середня лінія прямокутної трапеції

Отже, знову-таки, скориставшись другою властивість середньої лінії трапеції, матимемо:

AD = 15 см

Приклад 6: у рівнобічній трапеції ABCD діагоналі перпендикулярні. Висота дорівнює 14 см. Знайти середню лінію рівнобічної трапеції.

Як знайти середню лінію рівнобічної трапеції - задача

Отже, виходячи з того, що діагоналі трапеції перпендикулярні то AOD та BOC – прямокутні рівнобедрені, трикутники. Висоти KO і OL цих трикутниках є також і їх медіанами.

Оскільки медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, то для трикутників AOD і BOC, відповідно, матимемо:

KO = AD / 2; OL = BC / 2

Так як KL і є висота трапеції, то:

Cередня лінія рівнобічної трапеції дорівнює 14 см

  1. Середня лінія трапеції – це відрізок, що сполучає середини її…
  2. За якою формулою обчислюється середня лінія трапеції?
  3. Яким властивостям задовільняє середня лінія трапеції?
  4. Чи правда, що середня лінія прямокутної трапеції дорівнює напівсумі її основ?
  5. Як знайти середню лінію рівнобічної трапеції?

Як знайти середню лінію трапеції – блок-схема

Середня лінія трапеції блок-схема

Ми в соціальних мережах

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*