Все, що потрібно знати про косинус кута – формули та приклади

Якщо ви вивчаєте тригонометрію, то вам, безумовно, доводилось чути про косинус кута. Косинус – це одна з трьох основних тригонометричних функцій, і вона грає важливу роль в математиці та науках, пов’язаних з нею.

В цій статті ми розглянемо все, що вам потрібно знати про косинус кута, його формули та приклади використання.

Що таке косинус кута?

Перш за все, давайте дамо означення косинусу кута. Косинус кута – це співвідношення між довжиною прилеглої до кута сторони трикутника і довжиною гіпотенузи.

Іншими словами, якщо ми маємо прямокутний трикутник ABC, де кут BAC дорівнює куту α, тоді косинус кута α дорівнює довжині сторони BC, розділеної на довжину сторони AB (гіпотенузу):

Це є основним визначенням косинусу кута, і воно може бути застосовано до будь-якого прямокутного трикутника, де ми знаємо довжину сторони прилеглої до кута та довжину гіпотенузи.

Зауваження: якщо позначити довжину сторін AB, BC та AC трикутника ABC буквами c, a і b відповідно, то формула косинуса кута перепишуться у більш зручному для використання вигляді:

Косинуси загальних спеціальних кутів.

Ми можемо отримати результат косинусів спеціальних кутів на основі пропорцій сторін. Наприклад, кут 45° міститься в рівнобедреному прямокутному трикутнику, який має кути 45°, 45° і 90°.

Ми знаємо, що прямокутні трикутники мають відношення AB²=BC²+AC², але в цьому випадку BC=AC, тому ми маємо AB²=2·BC². Це означає, що AB=BC·√2.

Тому і синус, і косинус 45° дорівнюють 1/√2, що можна записати як √2/2.

У випадку прямокутного трикутника з кутами 30°, 60° і 90° пропорції його сторін дорівнюють 1:√3:2. Використовуючи ці пропорції, ми маємо sin(30°)=cos(60°)=1/2, а також маємо sin(60°)=cos(30°)=√3/2.

Властивості косинусу кута.

Косинус кута має декілька властивостей, які можуть бути корисними при використанні його в математичних розрахунках.

• косинус кута зменшується зі збільшенням кута: якщо ми збільшуємо кут α, то косинус кута зменшується. Наприклад, якщо кут α дорівнює 0 градусів, то косинус кута дорівнює 1. Якщо кут α дорівнює 90 градусів, то косинус кута дорівнює 0. Якщо кут α дорівнює 180 градусів, то косинус кута дорівнює -1;
• косинус кута максимальний при α=0: якщо кут α дорівнює 0 градусів, то косинус кута має максимальне значення, рівне 1;
• косинус кута симетричний відносно кута 90 градусів: якщо ми розглядаємо кут α та його доповнення до 90 градусів, косинус кута α і косинус кута його доповнення є симетричними відносно прямої, що проходить через точку (0,1) на графіку функції косинуса.

Обчислення косинуса кута – приклади з відоповідями.

Наведені нижче приклади можна використовувати для спостереження процесу вирішення задач, пов’язаних з косинусами. Зазначимо, що ці приклади стосуються прямокутного трикутника, який було згадано раніше.

Приклад 1: обчислити косинус кута, якщо прилеглий катет дорівнює 3, а гіпотенуза 5.

Отже, за формулою косинуса для прямокутного трикутника маємо:

Таким чином, косинус кута дорівнює 0.6.

Приклад 2: обчислити косинус кута, якщо протилежний катет дорівнює 4, а гіпотенуза 5.

Цей приклад подібний до попереднього, з тією різницею, що спочатку потрібно, за теоремою Піфагора, знайти прилеглий катет:

Далі, за формулою косинуса для прямокутного трикутника маємо:

Отже, косинус кута дорівнює 0.6.

Приклад 3: нехай маємо прямокутний трикутник з кутом α=45 градусів та гіпотенузою с=10. Знайти прилеглий катет.

Щоб знайти прилеглий катет b, використовуємо формулу косинуса. Підставляючи відомі значення матимемо:

Звідси, прилеглий катет дорівнює 7.07.

Дивіться також:

Якщо ви зацікавилися темою косинуса кута, можливо ви захочете дізнатися більше про інші тригонометричні функції та їх застосування. Ось декілька тем, які можуть бути корисними для поглиблення знань у цій галузі:

1. Синус кута – формули та приклади.
2. Тангенс кута – властивості та застосування.
3. Теорема косинусів – застосування та приклади.
4. Теорема синусів – застосування та приклади.

Блок-схема алгоритму обчислення косинуса кута