Тотожності Піфагора – формули, доведення та приклади

Тотожності Піфагора – це особливі рівняння у тригонометрії, які є розширенням теореми Піфагора. Тотожності Піфагора корисні для спрощення складних тригонометричних виразів. Ці тотожності допомагають отримувати формули для тригонометричних функцій подвійного кута.

Тут ми дізнаємося про тотожності Піфагора і навчимося виводити їх з теореми Піфагора. Потім ми розглянемо деякі практичні завдання, де застосуємо ці тотожності.

Що таке тотожності Піфагора?

Тотожності Піфагора – це рівняння, які містять тригонометричні функції, що є істинними для будь-яких значень змінних. Однією з ключових тотожностей Піфагора є така рівність:

Ця тотожність показує, що квадрат синуса кута плюс квадрат косинуса цього ж кута завжди дорівнює одиниці. Це стосується будь-якого значення кута α.

Також, використовуючи тотожності Піфагора, ми можемо отримати додаткові рівняння, які відображають взаємозв’язок між іншими тригонометричними функціями, такими як тангенс, котангенс, секанс та косеканс. Наприклад, рівняння:

демонструє, як квадрат тангенса кута плюс одиниця дорівнює квадрату секанса цього ж кута. Аналогічно, рівняння:

показує відношення між котангенсом та косекансом кута.

Тотожності Піфагора є необхідним інструментом в тригонометрії, який допомагає розкрити внутрішні зв’язки між різними тригонометричними функціями та спростити розв’язання складних тригонометричних завдань.

Зауваження: кожну з  вище наведених тотожностей можна записати в різних формах за допомогою алгебраїчних операцій. Іншими словами, кожну тотожність Піфагора можна записати в 3 формах, як показано нижче:

Доведення тотожностей Піфагора.

Для доведення тотожностей Піфагора використаємо прямокутний трикутник, який розташований в одиничному колі на декартовій координатній площині.

Зазначимо, що одиничне коло – це коло з радіусом 1 та центром в початку координат. Крім того, координати кожної точки розташованої на одиничному колі відповідають cos(α) по горизонталі та sin(α) по вертикалі, як показано на рисунку нижче:

Це означає, що катети прямокутного трикутника в одиничному колі мають значення sin(α) і cos(α). Гіпотенузою трикутника є радіус кола, який дорівнює 1. Використовуючи теорему Піфагора для цього трикутника, будемо мати:

Таким чином, ми довели одну з основних тотожностей Піфагора. Використовуючи цю тотожність, виведемо ще дві додаткові тотожності. Отже, розглянемо рівняння основної тотожності sin²(α)+cos²(α)=1. Кожен член цього рівняння ділимо на cos²(α):

За визначеннями тригонометричних функцій, ми знаємо, що sin(α)/cos(α)=tg(α), а 1/cos(α)=sec(α). Підставляючи ці значення, отримуємо:

Для доведення другої додаткової тотожності Піфагора, ми ділимо кожен член базової тотожності sin²(α)+cos²(α)=1 на sin²(α) і використовуємо відомі вирази cos(α)/sin(α)=ctg(α) та 1/sin(α)=cosec(α):

Тотожності Піфагора – приклади з відповідями.

Виведені вище тотожності Піфагора використовуються для вирішення наступних вправ. Спробуйте розв’язати вправи самостійно, перш ніж дивитися відповідь.

Приклад 1: використовуючи тотожності Піфагора, спростити наступний вираз sin(x)·cos²(x)-sin(x).

Даний вираз містить як синус, так і косинус, і для його спрощення ми можемо скористатися тотожністю sin²(x)+cos²(x)=1. Отже, почнемо з розкладання даного виразу на множники:

Тепер ми можемо переписати тотожність sin²(x)+cos²(x)=1 у вигляді cos²(x)-1=-sin²(x). Підставивши це значення, отримаємо:

Приклад 2: розкласти тригонометричний вираз cosec²(x)-ctg(x)-3 на множники.

Для розкладення виразу cosec²(x)-ctg(x)-3 на множники, ми можемо використати тотожність 1+ctg²(x)=cosec²(x). Застосовуючи цю тотожність, отримаємо:

Далі, ми можемо спростити вираз ctg²(x)-ctg(x)-2. Однак, для зручності ми можемо виділити спільний множник ctg(x):

Таким чином, ми отримали вираз у розкладеній на множники формі: (ctg(x)-2)·(ctg(x)+1).

Приклад 3: спростіть тригонометричний вираз:

Отже, для спрощення заданого тригонометричного виразу, спершу врахуємо, що sec(x)=1/cos(x) та cosec(x)=1/sin(x). Застосовуючи ці заміни, отримаємо:

Далі, використовуючи основну тотожність Піфагора sin²(x)+cos²(x)=1, ми можемо спростити вираз:

Отже, після спрощення, ми отримали значення 0.

Приклад 4: якщо ми маємо tg(α)=1/3, яке значення 1/sin²(α)+1/cos²(α)?

Для обчислення цього виразу ми можемо скористатися другою та третьою тотожностями Піфагора. Також варто пам’ятати, що секанс дорівнює 1/cos(α), а косеканс дорівнює 1/sin(α). Використовуючи ці заміни, маємо:

Підставляючи це у вихідний вираз, отримуємо:

Тепер ми знаємо, що tg(α)=1/3. Також, оскільки котангенс є оберненою величиною тангенса, то ctg(α)=3. Використовуючи ці значення, маємо:

Отже, при значенні tg(α)=1/3, вираз 1/sin²(α)+1/cos²(α) дорівнює 100/9.

Дивіться також:

Під час вивчення захопливої теми «Тотожності Піфагора», ви отримали міцний фундамент знань у тригонометрії, але світ цієї науки дуже обширний і захоплюючий. Зокрема, вам може бути цікаво дослідити наступні теми:

1. Тотожності подвійного кута – формули, доведення та приклади.
2. Тригонометричні тотожності половинного кута – доведення та застосування.
3. Тригонометричні тотожності суми та різниці – формули та приклади.